Использование индексного метода в статистике

 

Не взвешенный средний индекс цен

 

 

 Среднее значение веса 

 

Взвешенный средний индекс цен 

 

 

Результат совпадает с простой средней. Между тем вариация весов значительна, стандартное отклонение

 

 

Коэффициент вариации весов

 

  , т.е. 57%.

 

Б. Неравенство взвешенной и простой средних при слабой вариации весов.

В табл. (1.2) представлены данные примера Б.

Таблица 1.2 – Данные примера Б

№ товара	Цены		Индекс ip	Доля в базисной выручке d0	ip×d0	Вариация долей
	Р0	Р1				(dj0 – d0)	(dj0–d0)^2
1	10	11	1,1	0,15	0,165	-0,05	0,0025
2	15	30	2,0	0,26	0,520	0,06	0,0036
3	20	28	1,4	0,19	0,266	-0,01	0,0001
4	25	40	1,6	0,25	0,400	0,05	0,0025
5	30	27	0,9	0,15	0,135	-0,05	0,0025
Итого	X	X	1,4	1,00	1,486	0	0,0112

 

 

Не взвешенный средний индекс цен:

 

 

взвешенный средний индекс цен

 

вариация весов   

 

vd = 0,2366 или 23,7%, т. е. вариация весов намного слабее, чем в примере А.

Рассмотрим соотношения между индексами (1.19) и (1.21) на примере табл. (1.3).

 

 

 

Таблица 1.3 - Данные розничной торговли города N

	Выручка в мае		Отношение цен в июне к ценам в мае, % ip=p1/p0	Выручка с учетом изменения цен, млн руб. q0p1=q0p0ip
	абс. млн. руб.	относит.
	q0p0	d0
1	2	3	4	5
Мясо и мясопродукты	2352,0	0,271	110,5	2599,0
Рыба и рыбопродукты	735,0	0,085	112,2	824,7
Масло животное	2058,0	0,237	103,2	2123,8
Масло растительное	9,8	0,001	105,6	10,4
Молоко и молочные продукты	882,0	0,102	102,4	903,2
Сахар	2644,0	0,304	107,3	2837,0
Итого	8680,8	1,000	641,2*	9298.1

 

* Обычно  ip  не суммируются

Следует обратить внимание на данные гр. 5 табл. (1.3): произведение q0p0ip имеет не просто техническое значение взвешивания индивидуального индекса, но дает определенный содержательный результат -показатель условных затрат на покупку с учетом изменения цен  q0×p0×ip  = q0×p1

Это дает право представить формулу (1.21) в виде:

 

                                                                                    (1.22)

 

где р1,р0 – цена за единицу продукции в отчетном и базисном периодах;

q0 – потребительская корзина (базисный период);

j - номер товара.

Выражение (1.22) получило известность как индекс Ласпейреса, предложившего эту формулу в 1864 г. По данным табл. (1.3)

 

 

 

т. е. цены возросли в среднем на 7,1%.

Мы рассмотрели определение среднего изменения на основе средней арифметической из индивидуальных, но ведь могут использоваться и другие виды средних: средняя геометрическая, средняя гармоническая и т. д. – не взвешенные и взвешенные. Используя среднюю геометрическую не взвешенную, получаем:

 

 

 

Средняя гармоническая всегда дает результат, меньший средней арифметической. Применяя среднюю гармоническую не взвешенную, получаем:

 

 

 

Опять-таки деление единицы на каждый индекс предполагает равное значение изменения цен на товары, что не соответствует практике.

Используя в качестве весов затраты на покупку в отчетном периоде, получаем сводный индекс цен как средний гармонический взвешенный из индивидуальных индексов цен:

 

                                               ,                                      (1.23)

 

где q1 – потребительская корзина (отчетный период);

р1 – цена за единицу продукции за отчетный период;

ip – индивидуальный индекс потребительских цен.

В формуле (1.23) и далее для простоты мы опустили подстрочный значок, соответствующий номеру товара (элемента), хотя, конечно же, суммирование и в числителе, и в знаменателе производится по всему набору товаров (элементов).

Рассчитаем этот индекс по данным табл. (1.3). Кроме того, нам потребуются дополнительные данные. Как всегда, лучшей формой представления цифровых данных является таблица. Представим все необходимые данные в табл. (1.4), используя вместо названий номера продуктов.

Таблица 1.4 - Данные розничной торговли города  

№ п/п	Относительное изменение количества купленных продуктов в июне по сравнению с маем, % ip=q1÷q0	Выручка в июне, млн руб. q1×p1	Условная выручка без учета изменения цен, млн руб., q1×p0=q1×p1÷ip
1	98,5	2560,0 .	2316,7
2	100,3	827,2	737,3
3	97,8	2077,1	2012,7
4	102,0	10,6	10,0
5	100,0	903,2	882,0
6	98,0	2780,3	2591,1
Итого	596,6*	9158,4	8549,8

 

* Обычно iq не суммируется.

 

 

Результат совпал с тем значением, которое было получено по формуле (1.21). Но это случайное совпадение, которое оказалось возможным из-за слабой корреляции между изменением уровня цен и объема продаж отдельных товаров. Это может быть при сравнении за короткий период. В рыночной экономике взаимосвязь между колебаниями цен и объема продаж проявляется при сравнении за более длительный период. Ниже будет показано, как измерить величину этой корреляции.

Итак, мы рассмотрели применение разных форм и видов средних величин для определения среднего изменения цен по всем товарам. Люди всегда в первую очередь интересовались ценами и их изменениями. Но такой же подход может быть применен к оценке сводных изменений других характеристик, например объема (количества) покупок товаров. Кстати заметим, что используемые нами обозначения цен (р), количества (q) неслучайны и соответствуют начальным буквам английских слов price (цена) и quantity (количество). Это закрепленные обозначения в статистике.

Таким образом, общее изменение количества проданных товаров формируется как среднее по отношению к изменениям объема покупок отдельных товаров, т. е.

 

                                                       ,                                          (1.24)

 

где   ,

где q1, q2 – потребительская корзина за отчетный и базовый период, соответственно.

Возникает вопрос о порядке расчета средней из индивидуальных (iq): средняя арифметическая - простая или взвешенная - или другая форма средней. Ограничимся рассмотрением только средней арифметической.

По данным табл. (1.4) простая средняя арифметическая из индивидуальных индексов количества равна:

 

= 0,994·100% = 99,4%(- 0,6%),

 

где iq – индивидуальный индекс количества;

Используя в качестве весов для изменений объема покупок удельный вес покупок в общей сумме затрат, получаем:

 

                                                            (1.25)

 

где iq – индивидуальный индекс количества;

q0 – потребительская корзина за базовый период;

р0 – цена за единицу продукции за базовый период;

d0 – удельный вес.

т. е. индекс (Iq) - средний арифметический взвешенный из индивидуальных iq.

По данным нашего примера (табл. 1.3 и 1.4) общий индекс количества равен:

 

 

Получилось, что объем покупок продовольственных товаров сократился в среднем на 1,5%. Это более значительная оценка снижения, нежели полученная при расчетах по простой средней арифметической (0,6%). Так что мы еще раз получили подтверждение зависимости результата от использованной формулы.

Зная среднюю величину изменения показателя и индивидуальные индексы, можно проводить анализ методами вариационной статистики: анализировать распределение товаров по изменению цен, объема покупок, сравнивать модальное и среднее изменение, максимальное и минимальное; по показателям эксцесса распределений делать выводы о том, насколько однородны изменения цен и количества по отдельным товарам, группировать товары по уровню цен и степени их изменения и т. д.

 

 

4. Свойства индексов

 

Как было показано, в построении индексов возникает много дискуссионных вопросов. Индексы считаются построенными правильно, если они удовлетворяют ряду тестов. Эти тесты были сформулированы американским статистиком И. Фишером (1867 - 1947). Основные тесты таковы:

1. Тест обратимости во времени. Индексы, исчисленные в «прямом» и «обратном» направлениях, должны быть взаимообратными числами. Например, если индекс показывает, что уровень цен в отчетном периоде по сравнению с базисным повысился в два раза, то он должен отражать, что в базисном периоде цены были вполовину ниже, чем в отчетном, т. е.

 

                                           

  ,                                          (1.26)

 

где а и b — сравниваемые периоды.

Очевидно, что наличие этого свойства желательно у любого индекса, ибо в таком случае сравнение между двумя состояниями не будет зависеть от того, какое из них принято за базу, особенно это важно при территориальных сравнениях.

2. Тест обратимости по факторам. Если поменять местами в индексе цен символы для цен и для количества, то мы должны получить индекс количества, который, будучи умножен на индекс цен, должен дать изменение общей стоимости товаров. Например, имеем:

 

 

Если теперь поменять местами (р) и (q), то получим:

 

 

Произведение этих индексов

 

не равно индексу общей стоимости . Следовательно, индексы этого типа не отвечают тесту обратимости факторов. Тесту обратимости отвечает средний геометрический индекс. По этой причине он был назван И. Фишером идеальным индексом.

3. Тест кружного испытания (циркулярность). Если построен некоторый индекс для года (а) при базисном годе (b) и для года (b) при базисном годе (с), то из них можно получить индекс года а при базисном годе с. Тест кружного испытания требует, чтобы (Ia/c), основанный на промежуточных сравнениях, совпал с тем, какой мы получили бы при непосредственном сравнении «а» с «с», т. е.