Оптимизационные задачи электроэнергетики

 

1. Основные понятия

Достаточно часто исходная информация или ее часть представляют собой случайные величины или случайные функции. В частности, мощности нагрузок в проектируемой системе электроснабжения можно считать случайными величинами, а изменения во время напряжений в узлах существующей системы электроснабжения – случайными функциями. Для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией используются методы стохастического программирования.

Известно, что случайными величинами занимается раздел высшей математики – теория вероятностей. Поэтому прежде чем перейти к методам решения оптимизационных задач напомним некоторые понятия этой теории.

Случайно величиной s называется такая величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина s может быть непрерывной или дискретной. В заданном диапазоне изменения случайной величины количество значений дискретной случайной величины ограничено, а количество непрерывной случайно величины не ограничено. Примером непрерывной случайной величины является величина напряжения в некотором узле системы электроснабжения. Примером дискретной случайно величины является количество генераторов, одновременно работающих в энергосистеме.

Математическим ожиданием случайно величины называется ее среднее значение, полученное в результате n реализаций:

,                                                                                            (4.1.1)

где si – значение случайной величины в i-й реализации.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания:

.                                                                                    (4.1.2)

Важной характеристикой случайной величины служит вероятность Р появления этой случайной величины в конкретном интервале значений.

Для количественной оценки вероятности случайно величины вводится функция распределения вероятности. Допустим, что случайная величина s может принимать значения от -∞ до +∞. Функция распределения Р(s) этой случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от -∞ до s. Следовательно,

Р(-∞) = 0, Р(+∞) = 1.                                                                                     (4.1.3)

Наибольшее распространение на практике получил нормальный закон распределения. В соответствии с этим законом с вероятностью 0,999 случайная величина s(-∞ < s < +∞) находится в интервале

M[s] - 3σ[s] ≤ s ≤ M[s] + 3σ[s],                                                                     (4.1.4)

что и принимается за действительные пределы изменения случайной величины s.

При решении практических задач достаточно применяют нормальный стандартный закон распределения. Этот закон описывает вероятность появления стандартной случайной величины ƞ, имеющей математическое ожидание M[ƞ] = 0, а также среднеквадратичное отклонение σ[ƞ] = 1, в интервале -3 ≤ [ƞ] ≤ 3.

От функции распределения нормального стандартного закона можно перейти к функции распределения нормального закона любой случайно величины s оптимизационной задачи. Связь между этой случайной величиной s и стандартной случайной величиной ƞ выражается зависимостью

S = M[s] + ƞσ[s].                                                                                            (4.1.5)

 

2. Математические модели стохастических задач

Следует иметь в виду, что универсальных методов решения задач стохастического программирования, пригодных для всех классов оптимизационных задач, нет. Поэтому ограничимся рассмотрением математических моделей только одного класса стохастических задач, а именно, стохастических задач линейного программирования.

Вспомним, что математическая модель задачи линейного программирования включает в себя целевую функцию, ограничения и граничные условия (2.1.1), а также граничные условия задающих диапазон изменения переменных (2.3.3).

В детерминированной постановке оптимизационной задачи коэффициенты zi, bj, aji, (i = 1,2, ... n; j = 1, 2, ... m) и границы di и Di диапазона изменения переменных однозначно определены.

Если коэффициенты zi целевой функции являются случайными величинами, ищется экстремальное значение математического ожидания целевой функции

M[Z] → extr;                                                                                                  (4.2.1)

Если коэффициенты aij и (или) bi системы ограничений являются случайными величинами, то для каждого j-го ограничения задается значение вероятности Рзад j, с которой должно выполняться это ограничение. Вероятность выполнения каждого j-го ограничения должна быть не меньше заданной

Р(aj1x1 + aj2x2 + … +ajnxn ≤ bj) ≥ Pзад j, j = 1, 2, … m.                                   (4.2.2)

Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения.

Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид:

M[Z] → extr;

Р(aj1x1 + aj2x2 + … +ajnxn ≤ bj) ≥ Pзад j, j = 1, 2, … m.                                   (4.2.3)

di ≤ xi ≤ Di, i=0,1,2, ... n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел V. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

 

В реальных оптимизационных задачах часто приходится искать решение в условиях неопределенности. Основной причиной неопределенности. Основной причиной неопределенности является недостаток исходной информации. Применительно к области электроэнергетики примером неопределенной (недетерминированной) информации может служить перспективный рост мощностей в развивающейся электроэнергетической системе.

Для решения оптимизационных задач с недетерминированной информацией методы математического программирования не пригодны. Здесь используется вычислительный аппарат теории игр.

В соответствии с этой теорией оптимизационная задача представляется игрой двух игроков. Первый игрок – человек, который принимает решение по расположению в энергосистеме новых электростанций, строительству линий электропередачи и подстанций. Человек – разумный игрок. Его стратегия – максимальный выигрыш или минимальный проигрыш. Другими словами – человек минимизирует затраты.

Второй игрок – энергосистема, а точнее перспективные мощности потребителей энергии. Как будет развиваться энергосистема, каковы будут мощности потребителей в перспективе – однозначно неизвестно. Стратегия энергосистемы – случайная. Она не стремится к максимальному выигрышу. Следовательно, энергосистему нельзя считать разумным игроком.

При решении оптимизационной задачи составляется платежная матрица, которая представляет собой таблицу затрат в игре двух игроков. Строки матрицы соответствуют решениям (ходам), которые может принять первый игрок. Столбцы – ходам, которые может сделать второй игрок. Процесс составления платежной матрицы достаточно сложен и в каждом конкретном случае может быть различным.

Допустим, что платежная матрица составлена (табл. 5.1).

Имеется набор ходов человека x1, x2, … xn. Имеется набор ходов энергосистемы y1, y2, … ym. Если человек выберет ход xi, а система ответит ходом yj, то затраты при таком раскладе составят zij. Оптимальное решение выбирается в случае анализа платежной матрицы.

Таблица 7.1
	y1		y2	…	yj	…	ym
x1	z11		z12	…	z1j	…	z1m
x2	z21		z22	…	z2j	…	z2m
…	…		…	…	…	…	…
xi	zi1		zi2	…	zij	…	zim
…	…		…	…	…	…	…
xn	zn1		zn2	…	znj	…	znm

 

Рассмотрим основные стратегии выбора решения:

1. Стратегия минимума средних затрат. В соответствии с этой стратегией для каждого хода xi человека определяются средние затраты по всем ходам системы:

.                                                                                         (5.1)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i = 1, 2, … n средних затрат:

             n

xi → min Zср i,                                                                                                    (5.2)

            i=1

При этой стратегии считается, что все ходы системы имеют одинаковую вероятность, равную 1/m. Для реальных задач такое предположение, как правило, не является истиной.

2. Миниминная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход xi человека система ответит ходом yj, соответствующим минимальным затратам:

                  m

Zmin i = min zij.                                                                                                   (5.3)

                  j=1

Выбирается решение, отвечающее минимуму совокупности i = 1, 2, … n минимальных затрат:

              n       m

xi → min min zij.                                                                                                (5.4)

             i=1    j=1

Принятие решения по этой стратегии может привести к крупным просчетам, поскольку здесь учитывается самая благоприятная ситуация. Систему нельзя считать разумным игроком, однако она не будет играть и в поддавки.

3. Минимаксная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход xi человека система ответит ходом yj, соответствующим максимальным затратам:

                   m

Zmax i = max zij.                                                                                                  (5.5)

                   j=1

Выбирается решение, отвечающее минимуму совокупности i = 1, 2, … n минимальных затрат:

             n       m

xi → min max zij.                                                                                               (5.6)

           i=1      j=1

В этой стратегии учитывается самая неблагоприятная ситуация. Считается, что система является разумным игроком и стремится к максимальному выигрышу. Такое предположение не соответствует действительности.

4. Стратегия Гурвица. Это стратегия учитывает как самую благоприятную, так и самую неблагоприятную ситуации. Здесь решение выбирает по условию

               n            m                                m

xi → min (k max zij + (1-k) k min zij),                                                               (5.6)

             i=1          j=1                              j=1

где коэффициенты k и (1-k) играю роль весовых коэффициентов, с которыми учитываются минимаксная и миниминная стратегии. При k=1 имеем минимаксную стратегию, а при k=0 – миниминную.

Наибольшую трудность при применении этой стратегии представляет определение весовых коэффициентов k и (1-k). Теория игр ответа на этот вопрос не дает. Для каждой конкретной задачи весовые коэффициенты определяются индивидуально, на основе имеющегося опыта.

Таким образом, для решения оптимизационной задачи при недетерминированной исходной информации теория игр выдвигает ряд стратегий. Поскольку формально все стратегии равноправны, окончательное решение должно выбираться на основе:

• анализа решений;
• опыта проектировщика;
• особенностей конкретной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

При проектировании и эксплуатации систем электроснабжения часто приходится иметь дело с многовариантными задачами, т.е. с задачами в которых из некоторого множества допустимых по техническим условиям  решения нужно выбрать одно, которое является лучшим по какому либо критерию.

Такое решение принято называть оптимальным, а задачи, в которых производится поиск такого решения, получили название оптимизационных задач.

В качестве критериев оптимальности в большинстве практических задач электроснабжения используются экономические показатели (себестоимость, прибыль, финансовые затраты и т.п.), хотя в некоторых случаях могут быть использованы и другие: минимум потерь напряжения (энергии), надежность электроснабжения,  качество электроэнергии и т.л.

Таким образом, критерием оптимальности является количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Соответственно, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Для решения оптимизационных задач используют специальные математические приемы и методы, которые получили название методов математического программирования.

В соответствии с характером зависимости между переменными в выражении целевой функции оптимизационные задачи классифицируются на задачи линейного программирования и задачи нелинейного программирования.