Оценка погрешностей результатов измерений

В качестве примера, получим  формулу для расчета систематической  погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные  по переменным d и h будут равны

, .

Таким образом, формула  для определения абсолютной систематической  погрешности при измерении объема цилиндра имеет следующий вид                  

,

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра.

Исключение погрешностей устранением источников погрешностей, а также внесением поправок в результат измерения дает хорошие результаты, но, к сожалению, невозможно в полной мере устранить все систематические погрешности. Часто даже для хорошо изученных средств измерений и условий проведения измерений не удается внести поправки в результат. Так, для интегрирующих измерительных приборов, представителем которых является, например, индукционный счетчик электрической энергии, систематическая погрешность в значительной мере зависит от токов, потребляемых нагрузкой, причем зависимость погрешности от нагрузки имеет ярко выраженный нелинейный характер. Если представить себе ситуацию, при которой счетчик измерял бы энергию при неизменных потребляемых мощностях, то в этом случае теоретически возможно было бы внести известную поправку в результат измерения. Но такой режим работы счетчика электрической энергии практически маловероятен, чаще всего нагрузка носит переменный характер и, соответственно, систематические погрешности также будут непостоянными. Влияющие величины в процессе измерения могут изменяться, и систематические погрешности, являющиеся их следствием, сложно отследить.

Таким образом, полное исключение систематических  погрешностей практически невозможно, какая-то часть погрешности остается неустраненной, поэтому следует  определять границы доверительного интервала неисключенных остатков систематической погрешности. Приведем порядок нахождения границ систематических погрешностей. Величина неисключенного остатка погрешности, вызванного i-й влияющей величиной, определяется неточностями измерения этой величины и определения ее коэффициента влияния.

Если неисключенная  систематическая погрешность имеет  место только у одной из составляющих и известен лишь один источник погрешности, то неисключенную систематическую  погрешность результата определяют границами этой погрешности:

-Δ_с1≤ϴ≤Δ_с1 .

Распределение элементарных систематических погрешностей принято считать равномерным. При  наличии нескольких неисключенных  систематических погрешностей суммарную  границу неисключенной систематической  погрешности результата измерения можно вычислить по формуле

ϴ=s∙√(Σ₁^MΔ_i²)

где M - число  элементарных неисключенных систематических  погрешностей; s - поправочный коэффициент.

При малом числе  слагаемых (2 ... 3) вычисленное таким образом значение может превысить арифметическую сумму Δ_сi, что противоречит физическому смыслу. Поэтому при малом числе слагаемых систематической погрешности следует сравнить значение, найденное по вышеприведенной формуле, с арифметической суммой слагаемых и в качестве оценки границы результирующей не исключенной систематической погрешности принять наименьшее. Таким образом:

ϴ=s∙√(Σ₁^MΔ_с,i²) , если s∙√(Σ₁^MΔ_с,i²)<Σ₁^MΔ_с,i 

ϴ=Σ₁^MΔ_с,i , если s∙√(Σ₁^MΔ_с,i²)>Σ₁^MΔ_с,i .

 

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых  измерений достаточно хорошо выполняется  так называемый нормальный закон  случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1. погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
2. при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,
3. чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального  закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

,                                            

где - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует  процесс измерений. Если условия  измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так  называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

,                                                            

где - результат i-го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (см. рис. 1)

Все это справедливо  для достаточно большого числа измерений, когда  близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

.                                                                   

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ², а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения  табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении  строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

n	α				n	α
	0,8	0,9	0,95	0,98		0,8	0,9	0,95	0,98
3	1,9	2,9	4,3	7,0	6	1,5	2,0	2,6	3,4
4	1,6	2,4	3,2	4,5	7	1,4	1,9	2,4	3,1
5	1,5	2,1	2,8	3,7	8	1,4	1,9	2,4	3,9

 

Пользуясь данными таблицы, можно:

1. определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
2. выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции  вычисляют по формуле

.                                                             

Доверительный интервал и доверительная вероятность  определяются так же, как и в  случае прямых измерений.

 

 

4. Методика расчета погрешностей измерений.

 

1. Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу.
2. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются.
3. Вычисляется среднее арифметическое из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины

.                                                             

Находятся абсолютные погрешности  отдельных измерений

4. Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх_i)²
5. Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

.

6. Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95.
7. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см.табл.)
8. Определяется случайная погрешность

.

9. Определяется суммарная погрешность

.

10. Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

11. Записывается окончательный результат в виде

, с  α=… Е=…%.

 

 

Целью обработки результатов измерений (наблюдений) является установление значения измеряемой величины и оценка погрешности результатов измерения.

Методы обработки  результатов наблюдений могут быть разными в зависимости от предварительной  информации, которой располагает  экспериментатор об источниках и  характере проявления погрешностей, условиях эксперимента, свойствах используемых средств измерений, от вида измерений, числа выполненных наблюдений и других причин.

Погрешность измерения  проявляет себя как случайная  величина. Следовательно, и результаты отдельных измерений одного и того же значения измеряемой величины случайны. Если систематическая погрешность при измерении этой величины постоянна, что является весьма распространенным случаем на практике, то вид закона распределения отдельных результатов измерения определяется видом закона распределения случайных погрешностей. При этом математическое ожидание этого закона распределения смещено с истинного значения измеряемой величины на систематическую погрешность, а дисперсия этого закона распределения равна дисперсии случайной составляющей погрешности. Отсюда следует, что для получения оценки измеряемой величины. Максимально близкой к истинному значению, необходимо по экспериментальным данным найти оценку математического ожидания отдельных результатов наблюдений, оценить систематическую погрешность и исключить ее из оценки математического ожидания. В более общем случае, когда отдельные результаты наблюдений содержат разные систематические погрешности, необходимо оценить каждую из погрешностей, исключив ее из соответствующего результата измерения и получив таким образом ряд наблюдений, не содержащих систематических погрешностей, и на основании этого оценить математическое ожидание.

Точность оценки математического ожидания ряда наблюдений зависит от количества выполненных измерений и от дисперсии случайной составляющей погрешности. Поэтому по экспериментальным данным приходится оценивать не только математическое ожидание, но и дисперсию.

При обработке  результатов наблюдений необходимо пользоваться следующими основными правилами, разработанными в теории вероятностей и математической статистике:

Математическое  ожидание суммы (разности) случайных  величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих величин

М[х±у±z±...] = М[х]±М[у]±М[z]±.. 

Постоянное (неслучайное) число можно выносить за знак математического ожидания

M[ax] = aM[x] 

Математическое  ожидание постоянного (неслучайного) числа  равно этому числу:

М[а]=а.

Дисперсия суммы (разности) случайных величин определяется выражением

D[x±y±z±....] = D[x] + D[y] + D[z]+....+ 2{± rxy√D[x]D[y] ± rxz√D[x]D[z] ± ryz√D[y]D[z] ± .... (13.4) 
где rxy, rxz, ryz – коэффициенты корреляции соответствующих пар ху, хz, yz,... случайных величин, входящих в рассматриваемую сумму (разность) этих величин; знак «+» или « - » перед коэффициентами корреляции определяется знаком произведения соответствующей пары ху, хz, уz,... Если все величины, входящие в сумму (разность), независимы, то для любой пары коэффициент корреляции равен нулю и, следовательно, дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.