Оценка погрешностей результатов измерений

Постоянное (неслучайное) число можно выносить за знак дисперсии, возведя это число в квадрат:

D[ax] = a²D[x]

Дисперсия постоянного (неслучайного) числа равна нулю:

D[a] = 0 

Оценкой математического  ожидания случайной величины х по результатам отдельных наблюдений этой величины является среднее арифметическое:

Ã=(x1+x2+...+xn)/n=∑xi/n  
где п -  число наблюдений величины х. 
При неограниченно большом числе наблюдений x стремится к математическому ожиданию М [х], основные характеристики которой (математическое ожидание и дисперсия) можно получить на основании сформулированных выше правил.

Оценку дисперсии  случайной величины x по результатам отдельных наблюдений х₁, х₂, .... х_л этой величины можно найти по формуле

S²[x] = ∑(xi –Ã)²/(n – 1) 

Оценка среднеквадратического  отклонения случайной величины х равна S[x] со знаком плюс.

При неограниченно  большом числе наблюдений оценки S²[x] и S[x] стремятся, соответственно, к σ² [x] и σ [x]. При ограниченном n эти оценки являются случайными величинами.

Сформулированные  правила позволяют оценить результат  измерения и дисперсию случайной составляющей погрешности. Что касается систематической погрешности, то следует иметь в виду, что обнаружить и оценить ее в общем случае непросто, особенно если причины возникновения этой погрешности неизвестны. Например, постоянная систематическая погрешность от эксперимента к эксперименту может не проявляться, оставаясь не обнаруженной. Для обнаружения систематической погрешности, природа которой неизвестна, необходима постановка специального эксперимента для измерения искомой величины того же размера с использованием более точных методов и средств измерений. Сравнение результатов измерения х1. и x2, полученных в первом и во втором (более точном) эксперименте, позволяет оценить систематическую погрешность первого эксперимента. Если результат измерения х1 содержит только постоянную систематическую погрешность, то она может быть оценена по однократным результатам измерения x1 и x2 как ∆xc = x1 – x2. Погрешность этой оценки определяется погрешностью результата измерения x2.

Если причины  возникновения систематической  погрешности известны, то в первую очередь необходимо постараться  исключить или уменьшить влияний  этих причин. При невозможности устранения источников погрешности необходимо на основании теоретического анализа или путем постановки специальных экспериментов получить количественные оценки систематических погрешностей. Например, путем предварительной поверки используемых средств измерений можно выявить систематическую погрешность этих средств при разных значениях измеряемой величины. Анализируя влияние внешних факторов, можно составить таблицы или графики зависимости систематической погрешности от внешних факторов. В этом случае для введения поправки на систематическую погрешность необходимо в процессе измерения контролировать значение соответствующего влияющего внешнего фактора.

Существуют приемы, позволяющие путем постановки специальных  экспериментов исключить систематическую  погрешность, не производя ее количественной оценки. Наиболее распространены следующие способы исключения из результата измерения постоянной систематической погрешности: замещение, компенсация погрешности по знаку, противопоставление.

При способе  замещения сначала получают результат измерения x1, при подключенном объекте исследования. Затем вместо объекта исследования подключают регулируемую меру, изменением параметра которой добиваются точно такого же результата измерения x1. За окончательный результат измерения принимают значение меры x0.

Способ компенсации  погрешности по знаку предполагает измерение одной и той же величины два раза при изменении условий  эксперимента второго измерения  таким образом, чтобы систематическая  погрешность проявлялась в нем  с противоположным знаком. Примером этого способа является исключение погрешности, обусловленной влиянием постоянного внешнего магнитного поля. Результат первого измерения х1 получают при произвольном положении прибора; результат второго измерения x2получают, изменив положение прибора в горизонтальной плоскости на 180º. Так как оба результата измерения искажены одной и тон же систематической погрешностью, но с разными знаками, то среднее значение этих результатов х = (х1+ x2)/2 не содержит систематической погрешности, обусловленной влиянием внешнего магнитного поля.

Способ противопоставления также предполагает двукратное измерение  одной и той же величины. Условия  экспериментов должны различаться  таким образом, чтобы по известным  закономерностям возникновения  систематической погрешности ее можно было исключить

Если систематическую  погрешность удалось оценить, то ее сразу нужно исключить из результата измерения. При необходимости следует  оценить погрешность найденной  оценки систематической погрешности, что позволит установить границы  неисключенного остатка систематической погрешности. Если систематическую погрешность оценить не удается, то для нее также нужно оценить границы возможных ее значений.

В практике измерений часто встает задача определения результирующей (суммарной) погрешности по известным значениям составляющих этой погрешности.

При рассмотрении составляющих погрешности как случайных  величин, результирующую погрешность  следует определять по правилу суммирования случайных величин. Это правило  основано на известных из теории вероятностей положениях:

1) математическое  ожидание (систематическая погрешность)  результирующей погрешности определяется  алгебраической суммой математических  ожиданий (систематических погрешностей) составляющих 

2) дисперсия  результирующей погрешности определяется согласно выражением

σ∑ ² [x] = ∑ σi ² + 2∑,rij σi σj (13.10)

где σi ² - дисперсия i-той составляющей погрешности; n – число суммируемых составляющих погрешностей; rij - коэффициент корреляции между i – той и j – той составляющими.

Нахождение результирующей систематической погрешности по известным систематическим погрешностям суммируемых составляющих не вызывает трудностей. Использование же вышеприведенного выражения для расчета σ∑ ² затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают r равным нулю, если случайные составляющие можно считать независимыми, или равным единице со знаком плюс или минус, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей. Рассмотрим подробнее суммирование случайных погрешностей.

При нормальных законах их распределения. Будем считать, что результирующая погрешность измерения состоит из п случайных составляющих, имеющих нормальный закон распределения; ±δim - границы доверительного интервала i-й случайной составляющей.

Зная доверительную  вероятность и доверительный  интервал для каждой составляющей погрешности, можно найти среднее квадратическое отклонение каждой из них по формуле

σi = δim / zpi 

где zpi - коэффициент, взятый из таблиц для нормального распределения и соответствующий доверительной вероятности Рi. Если доверительная вероятность для всех составляющих одинакова и равна Р, то получаем:

а) для коррелированных  составляющих ( равен +1 или -1)

σ∑ = √(∑ σi ² ± 2∑,rij σi σj) = ∑ ± δim / zpi

б) для независимых  составляющих

σ∑ = √ ∑ δim² / zpi

При суммировании составляющих, имеющих нормальный закон  распределения, результирующая погрешность  будет тоже нормальный закон распределения. Поэтому границы доверительного интервала результирующей погрешности с доверительной вероятностью Р

δ∑ = ± zp σ∑ 

а) для коррелированных  составляющих

δ∑ = ± ∑ ± δim

б) для независимых  составляющих

σ∑ = √ ∑ δim²

Если в выражении все составляющие имеют положительную корреляцию, то

δ∑ = ± ∑ δim

Действительные  значения коэффициентов корреляции по абсолютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому  арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности.

Если для суммируемых  составляющих погрешностей известны их предельные значения, то предельное значение результирующей погрешности находят путем арифметического суммирования предельных значений составляющих.

Суммирование случайных погрешностей при их законах распределения, отличных от нормального. Трудность нахождения суммарной погрешности в этом случае заключается в том, что закон ее распределения зависит от конкретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Например, при сложении двух независимых случайных погрешностей, имеющих равномерные законы распределения с одинаковыми дисперсиями, результирующая погрешность будет распределяться по треугольному закону. Если же эти равномерные законы имеют разные дисперсии, то результирующая погрешность будет распределяться по трапецеидальному закону. Поэтому для установления доверительного интервала результирующей погрешности необходимо в каждом конкретном случае искать методами теории вероятностей закон распределения результирующей погрешности.

Зная закон  распределения результирующей погрешности, можно найти доверительный интервал этой погрешности:

δ∑ = ± k∑p δim ,

где k∑p - коэффициент, зависящий от закона распределения результирующей погрешности и доверительной вероятности Р.

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления закона распределения результирующей погрешности.

Первый способ базируется на центральной предельной теореме: если число суммируемых  независимых составляющих достаточно велико ( n ≥ 5 ), то закон распределения результирующей погрешности близок к нормальному и в качестве коэффициента k∑p можно принимать zp.

Второй способ основан на исследовании, показавшем, что при суммировании независимых  составляющих, имеющих законы распределения, изложенные в ГОСТ 8.011 – 72, можно пользоваться приближенными значениями k∑p: при доверительной вероятности Р = 0,90 коэффициент k∑p =1,6, а при доверительной вероятности Р=0,95 - 1,8. При этом погрешность в определении δ∑ не превышает ± 10 %.

 

Заключение

 

Интерес к более точной оценке погрешностей результатов измерений особо возрос в последние годы, так как современное дорогое, быстродействующее и совершенное оборудование, включая ЭВМ, измерительные информационные системы (ИИС), измерительно-вычислительные комплексы (ИВК), требует наиболее рационального его использования, что невозможно осуществить без должной оценки возникающих погрешностей. Без такой оценки невозможно и оптимальное или рациональное планирование измерений.

Дело это, однако, достаточно сложное. Лишь только при самых простейших расчетах погрешностей результатов измерений по паспортным данным СИ оказывается возможным обойтись без использования теории вероятностей и математической статистики. В более же сложных случаях без этого обойтись нельзя, так как погрешность измерений приходится рассматривать как случайную величину, а следовательно, достоверная оценка погрешностей может быть выполнена лишь на основе теории вероятностей.

 

Список  используемой литературы

 

1) Письменный Д.Т. Конспект  лекций по теории вероятностей и математической статистики / Письменный Д.Т. - М.: Айрис пресс, 2004. - 252с.

2) Колде Я.К. Практикум  по теории вероятностей и математической  статистике / Колде Я.К. - М.: Высш. школа, 1991. a - 157с.

3) Сергеев А.Г., Крохин  В.В. Метрология: Учеб. пособие для вузов / Сергеев А.Г., Крохин В.В. - М.: Логос, 2001. - 408 с.: ил.

4) Аристов А.И. Метрология, стандартизация, сертификация / Аристов  А.И. - М.: Академия, 2008. - 384с.

5) Радкевич Я.М. Метрология, стандартизация, сертификация / Радкевич  Я.М. - М.: Высшая школа, 2010 - 792 с.

6) Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация / Димов Ю.В. - СпБ.: Питер, 2010- 464с