Механические колебания

Механические колебания

Размещено на /

 

Механические колебания

 

Содержание

 

1. Механические колебания

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания

1.2 Автоколебания

1.3 Разложение колебаний в гармонический  спектр. Применение гармонического  анализа для обработки диагностических  данных

1.4 Механические волны, их виды  и скорость распространения

1.5 Энергетические характеристики  волны

Список использованных источников

 

1. Механические колебания

 

1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные  колебания

 

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Мы будем рассматривать механические колебания. Колебания, происходящие при отсутствии трения и внешних сил, называются собственными; их частота зависит только от свойств системы.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонического колебания

Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.

 

В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние х, то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещению шарика х:

 

F=-kx, (1)

 

где k — жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Сила F обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия; 2) она всегда направлена к положению равновесия.

В нашем примере сила по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность, то есть оказывается равной - kx. Силы такого вида, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:

 

, или  .

 

Так как k и m — обе величины положительные, то их отношение можно приравнять квадрату некоторой величины w0, т.е. мы можем ввести обозначение  . Тогда получим

 

(2)

 

Таким образом, движение шарика под действием силы вида (1) описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Легко убедиться подстановкой, что решение уравнения имеет вид:

(3)

 

где (w0 t + a0) = a — фаза колебаний; a0 — начальная фаза при t = 0; w0 — круговая частота колебаний; A — их амплитуда.

Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.

 

 

Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания показан на рисунке. Период этих колебаний находится из формулы:

 

.

 

Для пружинного маятника получаем:

 

.

 

Круговая частота связана с обычной n соотношением:  .

Энергия при гармоническом колебании

Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:

 

, (4)

 

где k = m w02.

Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):

 

EП.   (5)

 

Складывая (4) и (5), с учетом соотношения  , получим:

 

E = EK + EП =  . (6)

 

Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.

Затухающие колебания

Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:

 

 . (7)

 

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

 

 , (8)

 

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что Fтр и V имеют противоположные направления.

Подставим (8) в (7). Тогда

 

 или

 

Обозначим

,

 

где b — коэффициент затухания, w0 — круговая частота собственных колебаний. Тогда

(9)

 

Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w2 = w02 -b2, где w — круговая частота затухающих колебаний. При условии w02 -b2 > 0, w является действительной величиной и решение (3) будет следующим:

 

(10)

 

График этой функции дан на рисунке.

 

Рис. 2. Затухающие колебания.

 

Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A0e-bt.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:

 

 (11)

 

При незначительном сопротивлении среды (b2 << w2) период практически равен  . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так:

 

.

 

Отношение этих амплитуд равно:

 

. (12)

 

Это отношение называют декрементом затухания.

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма

 

этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F0 cosW t , где F0 - амплитуда, W - круговая частота вынуждающей силы.

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

 

.

 

Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d2x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

 

 

где   — коэффициент затухания,   — собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

 

 

(13)

 

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом, происходящие при этом колебания - резонансными, а их частота w рез — резонансной частотой колебаний.

Расчет дает значение резонансной частоты:

 

wрез = 

 

Если b очень мало, то wp » w0 . Подставив wрез вместо W в (13), получим максимальную величину амплитуды колебаний при резонансе:

 

Арез = . (14)

 

Чтобы определить резонансную частоту wрез, нужно найти максимум функции (2.13) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по W и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее wрез:

-4(w02 -W 2)W + 8b 2W = 0.

 

Это уравнение имеет три решения: W = 0 и  .

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение: wрез = . Подставив это значение частоты в (13), получим выражение для амплитуды при резонансе:

 

Арез = 

 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний) показана графически на рисунке: b1 < b2 <b3

Это резонансные кривые.

 

Рис. 3. Резонансные кривые.

1.2 Автоколебания

 

Системы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнего источника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодические процессы - автоколебаниями. Такими системами являются часы, электрический звонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.

 

1.3 Разложение колебаний  в гармонический спектр. Применение  гармонического анализа для обработки  диагностических данных

 

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления, одинаковой частоты и с одинаковыми амплитудами, но с разными начальными фазами a01 и a02 . Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x1 и x2:

 

x = x1 + x2 = Acos(w0t + a01) + Acos(w0t + a02).

 

Используя известную из тригонометрии формулу для суммы косинусов двух углов,   имеем:

 

Aрез  ,

то есть получается гармоническое колебание той же частоты с начальной фазой   и амплитудой Aрез .

Как видно, амплитуда Aрез результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Рассмотрим два крайних случая:

А) Колебания происходят в фазе, то есть a01 = a02, тогда   и  , поэтому Aрез = 2A.

Если амплитуды не равны, Aрез = A1 + A2.

Б) Колебания происходят в противофазе, то есть a01 = a02 ± p, тогда  . Следовательно, и Aрез = 0. Если амплитуды не равны, например, A1 > A2 , то Aрез = A1 - A2.

Таким образом, при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одного периода и с равными амплитудами получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой, которая в зависимости от соотношения фаз складываемых колебаний может изменяться от удвоенного значения, если колебания происходят в фазе, до нуля, если они находятся в противофазе.

При сложении гармонических колебаний с разными частотами результирующее колебание не будет гармоническим, а будет являться сложным колебанием (Рис.4.).

 

Рис. 4. Сложение гармонических колебаний с разными частотами:

А) исходные колебания, Б) результирующее колебание.

 

Сложное колебание и его гармонический спектр.

Согласно теореме Фурье, любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых (гармонических) колебаний (гармоник), периоды или частоты которых кратны основному периоду или частоте сложного колебания.

Совокупность простых колебаний, на которые можно разложить данное сложное колебание, называется его гармоническим спектром.

В гармоническом спектре сложного колебания указываются частоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний. Обычно спектр изображается в виде графика, на горизонтальной оси которого откладываются частоты; затем для каждой из частот простых колебаний имеющихся в спектре, строится ордината, соответствующая амплитуде этого колебания. Если гармонический спектр сложного колебания содержит только небольшое число простых колебаний и график его состоит из отдельных ординат, то такой спектр называется линейчатым (рис. 5.).

Если спектр содержит простые колебания практически всех частот в каких-то пределах, то он называется сплошным и график его строится в виде сплошной огибающей кривой.

Установление гармонического спектра является основным приемом при анализе сложного колебания. Этот анализ делается с помощью специальных приборов —гармонических анализаторов. Они применяются и в медицине при исследовании, например, колебаний биопотенциалов головного мозга и др. Многие процессы человеческого организма являются периодическими: сердечные сокращения, дыхание, кровенаполнение сосудов и т. п

 

 

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

В результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний различного периода тело движется по сложным фигурам, форма которых зависит от соотношения периодов, амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний и которые называются фигурами Лиссажу.

 

Рис. 6. Фигуры Лиссажу для колебаний различающихся начальными фазами Da.

 

1.4 Механические волны, их  виды и скорость распространения

 

Колебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил. Если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляют ее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.