Основные понятия теории вероятностей: вероятность наступления случайного события, закон распределения и числовые характеристики случа

 

Системы, занимающиеся обслуживанием  заявок называются системами массового обслуживания. Процессы происходящие  в таких системах наз-ся процессами обслуживания. В СПМ имеются специальные единицы, обслуживающие заявки, напр продавцы, комп, прибор. Эти единицы наз-ся каналами обслуживания. В завис от числа обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СМО.

Заявки на обслуживание в систему  поступают не регулярно, образуя  случайный поток заявок. Время  обслуживания заявок тоже может варьироваться. Поэтому система бывает загружена  неравномерно. В одни периоды времени  система может быть перегружена, тогда чать заявок останется не обслуженной, а предприятие недополучит прибыль. В другие моменты система может  длительное время оставаться незагруженной , соотв вложенные в систему  средства небудут себя оправдывать.

Целью ТМО явл построение математич модели СМО и расчет параметров эффективности СМО. В качестве показателей эффективности СМО выступают след:

• среднее число заявок, обслуживаемых в ед времени
• среднее число заявок в очереди
• среднее время ожидания обслуживания
• вероятность отказа в обслуживании
• вероятность того, что число заявок в очереди не превысит определенного значения.

Классификация СМО:

1. По числу каналов обслуживания: одноканальные и многоканальные
2. По возможности обслуживания заявки: системы с отказами или сист с ожиданием (очередью).

СМО с отказами – это сист, в кот  заявка получает оказ, если все каналы обслуживания заняты.

СМО с очередью – в таких системах заявка, поступившая в момент занятости  каналов встает в очередь. Системы  с очередью можно подразделить след образом:

1. В зависимости от организации очереди:

- система с ограниченной или неограниченной очередью

- система с органич или неорг временем обслуживания

2. По дисциплине обслуживания:

- системы, очередь в кот построена на принципе 1 пришел – 1 обслужен

- системы, очередь в кот построена по принципу 1 пришел –последним обслужен

- обслуживание с приоритетом:

А. абсолютный приоритет – заявка получает полное преимущество

Б. относительный приоритет – из приоритетных заявок выстраивается очередь

Марковским случайным  процессом (процессом без последствий) наз-ся процесс, для котв любой момент времени характеристики системы зависят только от предыдущего состояния системы и не зависят от того, когда система перешла в это состояние.

Любое решение задачи теории массового  обслуживания сводится к построению уравнения Калмагорова, кот позволяет рассчитать предельные вероятности состояний системы. Предельная вероятность показывает среднее относительное время пребывания системы в соотв состоянии.

Правило формирования ур-й К : слева в системе уравнений стоит вероятность данного состояния умноженная на сумму интенсивностей потоков, выводящих систему из данного состояния. С правой стороны стоит сумма произведений интенсивностей потоков на вероятности соответствующих состояний, приводящих систему в данное состояние.

 

   (1)  , где        (2)

 

 

При этом сумма вероятностей = 1.В  практической реализации ур-я К, одно из ур-й системы (1) заменяют на нормированное  ур-е (2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.  Теория игр: назначение. Определения оптимальных стратегий  в теории игр (порядок решения  игровых задач).

 

Математическая модель конфликтной  ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

1. варианты действия игроков;
2. объем информации каждого игрока о поведении партнера;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной, если в ней участвуют 2 игрока, и множественной, если число игроков больше 2-х. Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Стратегией игрока – варианты действий игрока, определяемые правилами игры. Целью теории игр является определение оптимальной стратегии каждого игрока.

У нас есть 2 игрока. Пусть А стремится  получить макс выигрыш, а В – мин  проигрыш. Гарантированным выигрышем  для А будет min значение выигрыша в каждой стратегии. Но для А выгодна та стратегия, в кот гарантированный выигрыш больше – это нижняя цена игры. Для В гарантированным проигрышем будет maxзначение проигрыша в каждой стратегии. Но для В выгодна та стратегия, в кот его гарантированный проигрыш минимален – это верхняя цена игры. Если верхняя цена игры = нижней цене игры, говорят что игра обладает чистой ценой. Достигается чистая цена игры только в седловой точке.

При решении произвольной конечной игры размера m x n рекомендуется придерживаться следующей схемы:

1. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней (нижней) ценой. Если седловой точки нет, то решение следут искать в смешанных стратегиях игроков.
2. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки (столбцы) с элементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).
3. Если платежная матрица сократилась до размерности 2х2, то решение можно найти по формулам:

 

                    a₂₂ – a₂₁

 

 

 

4. Для игр размера 2 х 2, 2 x n, m x 2 возможно геометрическое решение.
5. Для игр размера m x n рекомендуется симплексный метод.

 

9.  Матричное моделирование  экономических процессов. Использование  матричных моделей в оперативном  планировании.

 

Матричная модель – это один из видов эк-матем моделей, предст собой таблицу каждый эл кот имеет определ эк смысл. Для преобразования матр моделей используются обычные правилаработы с матрицами. Матр модели исп-ся когда требуется отобразить балансовое соотношение между затратами на производство и результатами, между нормами расхода и фактич расходом, для соотношения деят-ти отдельных отраслей. С помощью информационных матричных моделей можно отобразить  связь и потоки инф между отдельными участками предприятия.

Рассмотрим применение матричных  моделей в производстве и планировании.

Пусть предпр заключены договора на поставку m видов изделий в известных кол-вах. Аim – выпуск изделий. Как правило изделия состоят из деталей Þ расход деталей можно представить след таблицей, где Дmn – расход дет j-ого вида на i-ое изделие. Перемножив первые 2 матрицы узнаем какое кол-во деталей нужно выпустить предприятию для обеспечения всего выпуска. КДin = Aim * Дmn  - кол-во деталей на весь выпуск по видам.

Изделия (детали) могут изготавливаться  из материала разного вида. В завис  от того какой расход нам известен, общий расход материала можно  рассчитать разными способами.

 

 

 

 

Rmp – расходный материал по видам на 1 изделие. KMip = Aim * Rmp – кол-во материала по видам на весь выпуск. 2 способ. Если известен  расх матер на деталь: KM’ip = КДin * Rnp.

Сравнив значение материала КМ и  КМ’ и реальными поставками матер (запаса матер) можно определить наличие  дефицита в материале и сделать  выводы о возможности выполнения заказа.

Выпуск изделия производится с  использованием определенных видов  оборудования. В зависимости от того какое время обработки нам  известно изделия или детали, расчет фонда рабочего времени можно  произвести разными способами.

 

Если известно время обработки  изделия Tmk – время обработки одного изделия на 1 станке.

KTik = Aim *  Tmk – фонд работы станков по видам на обработку всего выпуска

Если известно времяобработки1детали Tnk – время обработки 1 детали на 1 станке. KT’ik = КДin *  Tnk.

Сравнив полученные матрицы КТ и  КТ’ с фактическим фондом работы оборудования можно определить достаточно ли у нас времени единиц оборудования для обеспечения всего выпуска.

Аналогичным образом можно рассчитать число рабочих по категориям для  обеспечения выпуска, время выполнения операций на заказ и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.  Постановка общей  задачи линейного программирования (ЛП) и сущность симплексного метода  решения задач ЛП.

 

В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом.

Максимизировать (минимизировать) функцию

(1)

при ограничениях

 (2)

 (3)

 (4)

где x_j,j = 1,...,n —управляющие переменные или решения задачи (1 - 4). b_j, a_ij, i = 1,...,m, j = 1,...,n —параметры,

f — целевая функция или критерий эффективности задачи.

Наиболее распространенный метод  решения задачи линейного программирования — симплекс-метод.

Для применения симплекс-метода задачу следует записать в канонической форме:

В канонической форме записи все  переменные неотрицательны, ограничениями являются уравнения, и требуется найти такие значения x_j, j = 1,...,п , при которых целевая функция имеет максимум.

Переход к  канонической форме записи производится с помощью следующих простых действий.

1. Если требуется найти минимум  f, то заменяя f на (—f) переходят к задаче максимизации, так как min f= — max(—f).

2. Если ограничение содержит  неравенство со знаком <, то от него переходят к равенству, добавляя в левую часть ограничения дополнительную неотрицательную переменную.

3. Если ограничение содержит  неравенство со знаком > , то  от него переходят к равенству, вычитая из левой части дополнительную неотрицательную переменную.

4. Если в задаче какая-либо  из переменных произвольна, то  от нее избавляются, заменяя ее разностью двух других неотрицательных переменных. Например, для произвольной переменной х_k,, х_k= х’_k - х”_k, где ' х’_k >0,  х”_k>0.

Алгоритм решения задачи линейного  программирования с использованием симплекс-таблиц

1. Задачу линейного программирования записывают в канонической форме, как задачу максимизации.
2. Выбирают базисные (количество базисных переменных совпадает с числом ограничений) и свободные переменные (остальные).
3. Через свободные переменные выражают базисные переменные и целевую функцию.
4. Составляют таблицу вида:

Базис	Свободные элементы	х1	х2	...	хn
х1	bi, i=1,...m	aij, i=1, ...m;  j=1,...,n  - коэффициенты при неизвестных в системе ограничений
хm
F		cj, j=1,...,n - оценки (коэффициенты целевой функции)

5. Выбирают разрешающий столбец р исходя из условия: оценка с_j (коэффициент при переменной) в уравнении целевой функции) отрицательна, но при этом есть хотя бы один положительный коэффициент a_ij в столбце.
6. Выбирают разрешающую строку k исходя из условия:

b_k / a_kp = min { b_i / a_ip }

7. Производят пересчет элементов разрешающей строки по формуле:

a’_kj = a_kj / a_kp (j=1,...,n)

8. Пересчитывают элементы  остальных строк по формуле:

a’_ij = a_ij - a_kp * a’_kj (j=1,...,n)

9. Условия продолжения / окончания расчета:

• Если найдется хотя бы одна отрицательная оценка и в этом же столбце хотя бы один положительный элемент, расчет продолжают.

• Если отрицательная оценка имеется, а положительных элементов в соответствующем столбце нет, то целевая функция неограничена в области допустимых решений.
• Если все оценки стали положительными, оптимальное решение достигнуто.

11.  Сущность транспортной  задачи линейного программирования.

 

Среди задач линейной оптимизации  могут быть выделены два класса задач  со специальной структурой: транспортная задача и задача о назначениях. Эти  задачи используются для моделирования и оптимизации экономических проблем, связанных с формированием оптимального плана перевозок, оптимального распределения индивидуальных контрактов на транспортировки, составления оптимального штатного расписания, определения оптимальной специализации предприятий, рабочих участков и станков, оптимального назначения кандидатов на работы, оптимального использования торговых агентов.