Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство образования и науки Российской Федерации

Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального обучения

 

 

 

«Высшая школа предпринимательства (институт)»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

по дисциплине «Математика»,

раздел

 «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

 

 

Выполнила: студентка 1 курса

заочного отделения

с  применением дистанционных

технологий

                                                                         Вышинская О.А.

 Вариант №9

 

Группа № БУАиА35/12А(Д)

 

Проверил:

 

доцент кафедры

 

кандидат технических наук,

 

 доцент Дресвянкин В.В.

 

Тверь  2013                                                    

Содержание

                                                                                                                         Стр.

Задача № 1……………………………………………………………………3

Задача № 2…………………………………………………………………....3

Задача № 3……………………………………………………………………4

Задача № 4……………………………………………………………………5

Задача № 5……………………………………………………………………5

Задача № 6……………………………………………………………………7

Задача № 7……………………………………………………………………7

Задача № 8……………………………………………………………………8

Задача № 9……………………………………………………………………9

Задача № 10 ………………………………………………………………….12

Список использованной литературы ………………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1

В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 1). Какова

вероятность того, что из взятых наугад т изделий к изделий являются де-

фектными? (Для варианта 9 : N9=18, n9=6, т9=5, к9=3).

Решение:

Имеем неупорядоченную выборку без повторений. По классической формуле искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Воспользуемся формулой гипергеометрического распределения .

«Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из   элементов. Предположим, что   (defective) из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся   этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из   элементов. Пусть   - случайная величина равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда  имеет вид:

,         [3]                  

Где                 обозначает биномиальный коэффициент.»

Подставив     N=N9=18, D=n9=6, n=т9=5, k=к9=3 в формулу   гипергеометрического распределения, получим искомую вероятность:

P(Y=k) =( C(из 6 по 3)*С(из 12 по 2))/(C из 18 по 5) = (20*66)/8568=0,154

Ответ: P=0,154

 

Задача №2

В магазине выставлены для продажи n изделий, среди которых к изделий

некачественные (табл.2).

Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий, будут

некачественными? (Для варианта9: n9=25, k9=7, m9=2).

Решение:

По классической вероятностной схеме:

P(Y=m)=C(из 7 по 2)/С(из 25 по 2)=21/300=0,07

Ответ: P=0,07

 

Задача №3

На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: N1 с первого завода, N2 со второго, N3  с третьего (табл3)

Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе равна

P1, втором P2, на третьем – Р3. Какова вероятность того, что взятое

случайным образом  изделие будет качественным?

(Для варианта9: N1=15; P1=0,9; N2=45; P2=0,8; N3=40; P3=0,9).

Решение:

N=N1+N2+N3=15+45+40=100;

где, N – общее число комплектующих, поступивших со всех трех заводов.

Событие А - взятое случайным образом изделие оказалось качественным.

Гипотезы:

Н1 - изделие произведено на первом заводе

Н2 - изделие произведено на втором заводе

Н3 - изделие произведено на третьем заводе

Р(Н1)=N1/N =15/100=0,15

Р(Н2)=N2/N=45/100=0,45

Р(Н3)=N3/N=40/100=0,40

Р(А/Н1)=P1=0,9

Р(А/Н2)=P2=0,8

Р(А/Н3)=P3=0,9

По формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н1)*Р(А/Н1)+Р(Н2)*Р(А/Н2)+Р(Н3)*Р(А/Н3)=

=0,15*0,9+0,45*0,8+0,4*0,9=0,135+0,360+0,360=0,855

Ответ: P(A)=0,855

 

Задача №4

Дано распределение дискретной случайной величины X (табл. 4). Найти

математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Для Варианта9:

Xi     2| 3| 10

Pi   0,1| 0,4| 0,5

Решение:

Математическое ожидание = M(X)=<X>=2*0,1+3*0,4+10*0,5 = 6,4

M(X^2)=<X^2>=4*0,1+9*0,4+100*0,5 = 54

Дисперсия = D(X)= M(X^2)- [M(X)]^2, из свойства дисперсии.

Cреднеквадратическое отклонение=С.К.О. =S= SQRT(D(X))=

=SQRT(<X^2> - (<X>)^2)=SQRT(54-40,96)= SQRT(13,04)=3,6;

где, SQRT(X) - функция извлечения корня квадратного от X.

Ответ:   M(X)=6,4;    С.К.О. = 3,6

Задача № 5.

В городе имеется N оптовых баз (табл. 5). Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Для варианта 9:

N=3; p= 0,24

Решение:

Закон распределения дискретной случайной величины (Y) задается таблицей

значений случайной величины(Yi) и соответствующими вероятностями (Pi)

Y | Y1 Y2 Y3

P  | P1 P2  P3

где, Y – случайная дискретная величина — число баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Случайная величина Y принимает значения 1, 2, 3, т.е. для Y=Y1=1 товар отсутствует на одной базе, для Y=Y2=2 товар отсутствует на двух базах, для Y=Y3=3 товар отсутствует на трех базах.

Пронумеруем базы числами 1,2,3

Определим простые события:

A1 – товар отсутствует на базе номер 1;

A2 - товар отсутствует на базе номер 2;

A3 - товар отсутствует на базе номер 3;

Определим сложные события:

B1 – товар отсутствует на одной базе (в данный момент);

B2 – товар отсутствует  на двух базах (в данный момент);

B3 — товар отсутствует на трех базах (в данный момент).

Вычислим вероятности сложных событий B1, B2, B3 через вероятности простых событий A1, A2, A3:

P(A1)=P(A2)=P(A3)=p, по условию задачи;

P1=P(B1)=P(A1,не A2,не A3)+P(не A1,A2,не A3)+P(не A1,не A2,A3)=

= p(1-p)(1-p)+(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p=3p(1-p)(1-p)=3*0,24*0,76*0,76=0,4159= ~0, 42

P2=P(B2)=P(не A1,A2,A3)+P(A1,неA2,A3)+P(A1,A2,не A3)=

= (1-p)pp+p(1-p)p+pp(1-p)=3(1-p)p^2=3*0,76*0,24*0,24=0,1313=~0,13

P3=P(B3)=P(A1,A2,A3)=p^3=0,24*0,24*0,24=0,0138=~0,01

Ответ:  Закон распределения числа баз (Y), на которых искомый товар отсутствует в данный момент запишется в виде:

Y | 1          2               3

P  | 0,42    0,13          0,01

 

Задача № 6.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание равно M(x), а среднеквадратичное отклонение (СКО) равно … (табл. 6). Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение в интервале (a,b).

Для варианта 9:

Mx |ско| a| b

38| 2| 35| 40

Решение:

P(a<x<b)=Ф[(b-Mx)/ско]-Ф[(a-Mx)/ско];

Ф(x) — табулированная функция Лапласса, её значение находим по таблицам.

P(35<x<40)=Ф[(40-38)/2]-Ф[(35-38)/2]=Ф(1)-Ф(-1,5)=

= Ф(1)+Ф(1,5)=0,3413+0,4332=0,7745

Ф(-x)=-Ф(x), в силу свйства нечетности функции Ф(x)

Ответ: Вероятность того, что нормально распределенная, непрерывная случайная величина X, с параметрами Мх=38, СКО=2 в результате испытания примет значение в интервале (35,40) равна 0,7745.

Задача №7.

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным (табл.7), где m – частота попадания в промежуток

(xi,xi+1). Для Варианта 9:

 

i |xi < X<xi+1| mi

1 11 – 14 3

2 14 – 17 8

3 17 – 20 14

4 20 – 23 15

5 23 - 26 10

Решение:

««Гистограммой относительных частот» называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению Wi/h – плотности относительной частоты.

При этом, площадь i-го частичного прямоугольника равна

h*(Wi/h)= Wi– относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал,

а площадь всей Гистограммой относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.» [5].

 

Рассчитаем Гистограмму относительных частот:

H =	3
№ интервала	Частичный интервал, длиною h=3	Частота попадания в частичный интервал, mi	Относительная Частота попадания в частичный интервал, Wi	Плотность относительной частоты, Wi/h
1	11-14	3	0,06	0,02
2	14-17	8	0,16	0,05
3	17-20	14	0,28	0,09
4	20-23	15	0,3	0,10
5	23-26	10	0,2	0,07
Итого:		50	1

 

Построим Гистограмму относительных частот:

Wi/h
0,20
0,10
0,09
0,05
0,02
								X
0	11	14	17	20	23	26

 

 

Задача №8.

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного

распределения выборки (Табл.8). Для Варианта 9:

Xi 0,02 0,05 0,08

ni 32 29 39

Решение: Определим объем выборки: n=32+29+39=100

Несмещенная выборочная дисперсия s^2 рассчитывается по формуле:

s^2=Сумма(ni*(Xi-<Xв>)^2)/(n-1));                                                       [5]

суммирование от 1 до k, где:

k=3; Xi и ni берутся из условия задачи 8; <Xв> - выборочное среднее.

<Xв>=Сумма(ni*Xi)/n, суммирование от 1 до k, k=3.

Таким образом:

<Xв>=(32*0,02+29*0,05+39*0,08)/100=0,0521=~0,05

Окончательно:

s^2=(32*(0,02-0,05)^2+29*(0,05-0,05)^2+39*(0,08-0,05)^2)/99=

= (32*(-0,03)^2+29*0+39*(0,03)^2)/99=

= (32*0,0009+0+39*0,0009)/99=

=0,0009*(32+39)/99=0,0009*71/100=0,0639/99=0,000645=~0,00064

Примечание:

Исправленное СКО=SQRT(s^2)=~0,025, т.е. порядка Xi

Ответ:  Несмещенная выборочная дисперсия для Задачи 8, вариант 9 равна

s^2=0,00064.

Задача № 9

Решить задачу о замене оборудования, используя метод статистической игры без проведения эксперимента по критерию Байеса.

Оборудование после k лет может оказаться в одном из трех состояний: … -

оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта;

… - требуется серьёзный капитальный ремонт; … - дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна. Вероятности этих состояний q1, q2, q3 ( табл. 9). Для предприятия ( для статистика ) возможны три стратегии: A1 – оставить оборудование в работе еще на год, проводя незначительный ремонт; A2 – провести капитальный ремонт; A3 – заменить оборудование. Потери, которые несет предприятие при различных стратегиях, даны в таблице:

 

ᶿ1 ᶿ2 ᶿ3

A1 1 5 7

A2 3 2 6

A3 5 4 3

 

Для Варианта 9:

q1 q2 q3

0,3 0,5 0,2 

«В статистической игре с природой осознанно действует только один игрок, а именно лицо, принимающее решение (ЛПР); обозначаемое как игрок А. Природа, обозначаемая П, является вторым игроком, но не противником игрока А, так как она не действует осознанно против игрока А, а принимает неопределенным образом то или иное состояние, не преследуя конкретной цели и безразлично к результату игры. Игрока А в игре с природой называют иногда Статистиком, а теорию игр с природой — теорией статистических решений.

В теории игр с природой, в зависимости от имеющейся или добываемой информации различают две ситуации. 
Одна из них характеризуется тем, что известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из своих возможных состояний, либо эти вероятности неизвестны, но имеются сведе-ния об их относительных значениях, или вероятности состояний природы устанавливаются в результате опроса экспертов и усреднений их показаний. В этой ситуации говорят о «принятии решения в условиях риска» (это наш случай). 
Если эти вероятности неизвестны и отсутствует всякая возможность получения о них какой-либо статистической информации, то в этом случае говорят о «принятии решения в условиях неопределенности».

Оптимальная стратегия для принятия решений в условиях риска выбирается по критериям Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана, Гермейера, Критерию произведений.» [2]

Рассмотрим эту задачу 9, как статистическую игру. При этом выбираем последовательно два критерия: Критерий произведений и критерий Байеса без проведения эксперимента, уточняющего априорные вероятности.