Теория вероятностей и математическая статистика

1. По критерию произведений, исходную матрицу потерь следует дополнить справа столбцом произведений соответствующих элементов строки.

ᶿ1 ᶿ2 ᶿ3      П

A1 1 5 7    35

A2 3 2 6    36

A3 5 4 3    60

Выбирается стратегия с наименьшим значением в столбце произведений элементов матрицы потерь, т.е. стратегия A1.

2. По критерию Байеса, без проведения эксперимента,  исходную матрицу потерь следует дополнить справа столбцом математических ожиданий, соответствующих стратегий. Далее, в добавленном столбце нужно найти наименьший элемент - (наименьшее математическое ожидание потерь). Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией.

 

q1 q2 q3

0,3 0,5 0,2

ᶿ1 ᶿ2 ᶿ3      M

A1 1 5 7    4,2

A2 3 2 6    3,1

A3 5 4 3    4,1

M1=1*0,3+5*0,5+7*0,2=4,2

M2=3*0,3+2*0,5+6*0,2=3,1

M3=5*0,3+4*0,5+3*0,2= 4,1

В нашем случае наименьший элемент 3,1 (в матрице он выделен). Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией по критерию Байеса, без проведения эксперимента будет А2.

Для сравнения результатов по п.1 и п.2 дополним последнюю таблицу справа столбцом СКО – среднеквадратичных отклонений от математического ожидания М.

ᶿ1 ᶿ2 ᶿ3      M            S

A1 1 5 7    4,2        2,23

A2 3 2 6    3,1         1,51

A3 5 4 3    4,1         0,7

M1(X^2)=1*0,3+25*0,5+49*0,2=22,6;   (M(X))^2=  4,2*4,2=17,64   

D1(X)= [M1(X^2)-(M1(X))^2]= 22,6-17,64=4,96;    S1=SQRT(D1)=~2,23

 

M2(X^2)=9*0,3+4*0,5+36*0,2=11,9 ;   (M2(X))^2= 3,1*3,1=9,61

D2(X)= [M1(X^2)-(M1(X))^2]= 11,9-9,61=2,29;    S2=SQRT(D1)=~1,51

 

M3(X^2)=25*0,3+16*0,5+9*0,2= 17,3 ;   (M3(X))^2 =4,1*4,1=16,81

D3(X)= [M1(X^2)-(M1(X))^2]=17,3-16,81=0,49;    S3=SQRT(D1)=~ 0,7

3. Сравнивая результаты по п.1 и п.2, замечаем, что для нашего Варианта 9 стратегия по п.2 (A2) более оптимальна, в условиях природы с вероятностями q1=0,3; q2=0,5;q3=0,2, чем по п.1., так как она имеет меньшую дисперсию. Хотя мы и уступили в произведении потерь 1 единицу по сравнению с п.1, мы выиграли в устойчивости стратегии к большим отклонениям от средних потерь.

Мы получили более устойчивую стратегию (A2) при небольшой уступке в потерях (в условиях многократной повторяемости состояний природы и выборе режима технологического процесса).

Ответ: Оптимальной  для Варианта 9 в Задаче 8 является стратегия A2:

 А2-провести капитальный ремонт.

Задача № 10

Решить задачу выбора оптимального режима работы технологической линии по критерию Байеса.

На технологическую линию может поступать сырье с малым (ᶿ1) и с большим (ᶿ2)количеством примесей. Априорные вероятности q1 и q2 природы ᶿ1 и ᶿ2 заданы (табл. 10). Для случаев использования различных видов сырья предусмотрены три режима работы технологической линии: A1, A2, A3 . потери, отражающие качество выпускаемой продукции и расходы сырья в зависимости от качества сырья и режима работы линии, приведены в таблице (Вар-т 9):

 

     ᶿ1  ᶿ2

A1 0  5

A2 1   3

A3 3   2

q1      q2

0,8    0,2

 

Решение:

Критерий Байеса.

«Этот критерий предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша.. 
ZБ= . Для матрицы выигрышей. qj- вероятности состояний Природы.

 

(Если у нас  матрица потерь, то мы выбираем то решение, которое обеспечивает наименьшее значение потерь). 
 
Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы.» [4]

 

Исходную матрицу необходимо дополнить справа еще одним столбцом, в который нужно внести значения математических ожиданий всех стратегий:

 

     ᶿ1  ᶿ2       M

A1 0   5       1,0

A2 1   3       1,4

A3 3   2       2,8

M1=0*0,8+5*0,2=1,0

M2=1*0,8+3*0,2=1,4

M3=3*0.8+2*0,2=2,8

 

Далее, в добавленном столбце нужно найти наименьший элемент - (наименьшее математическое ожидание потерь). Строка, в которой он стоит и будет оптимальной стратегией.

 

В нашем случае наименьший элемент 1,0 (в матрице он выделен). Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А1.

 

Ответ: Оптимальный режим работы для Варианта 9 задачи 10: А1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1. Лабскер Л.Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом.– М.:Дело, 2001,464 с.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /под ред. В.И. Ермакова. - М.: Инфра-М, 2001.
3. http://ru.wikipedia.org Биномиальные коэффициенты. Теория принятия решений
4. А.И. Орлов. Теория принятия решений.  Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004

5.    В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.

       М. «Высшая школа», 1972