Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

 

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

5 0 0 1.51 0 0.93 0 1.07 0 0 0.43 1.1

 

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

1 0 0 0.3 0 1 0 1.15 0 0 1 2.56

 
 

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.

x 1  =   0.3

x 2  =   1.15

x 3  =   2.56

 

 

 

 

6. Предварительная оценка погрешности ручного счета 

 

         Зная все неизвестные, вычислим аппроксимирующую функцию:

   

φ₁ (х₁) = 0,34*1+1,15*0,0998+2,56*0,904 = 2,768

φ₂ (х₂) = 0,34*1+1,15*0,717+2,56*0,449 = 2,313

φ₁ (х₁) = 0,34+1,107+0,696 = 2,143

φ₁ (х₁) = 0,34+0,992+0,312 = 1,644

φ₁ (х₁) = 0,34+0,047+0,115 = 0,502

Теперь можно подсчитать ошибку аппроксимации:

δ_i = у_i – φ_i (х_i)

δ₁ =2,5 – 2,768 = 0,268; δ₂ = 2,9 – 2,313 = 0,587;

δ₃ = 2-2,143 = -0,143; δ₄ = 1,2 – 1,644 =0,444

δ₅ = 0,6 – 0,502 = 0,098

Теперь можно  рассчитать уже критерий:

I = (0,268)² +(0,587)²+(-0,143)²+(0,444)²+(0,098)²  = 0,071+0,344+0,02+0,197+0,009 = 0,641

 

 

Текст программы:

 

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#define eps 0.01f

#define  m 5

#define  n 3

 

int Gauss(float A[n][n], float B[n], float *C)

{

    int i, j, k;

float M[3][3], t;

for(i = 0; i < n; i++)

{

for(j = 0; j < n; j++)

{

M[i][j] = A[i][j];

}

}

for(i = 0; i < n; i++)

{

C[i] = B[i];

}

for(i = 0; i < n; i++)

{

j = i;

while(!M[j][i])

{

if(j++ >= n) return 1; //det = 0

}

for(k = 0; k < n; k++)

{

t = M[i][k];

M[i][k] = M[j][k];

M[j][k] = t;

}

t = C[i];

C[i] = C[j];

C[j] = t;

for(j = 0; j < n; j++)

{

if(j == i) continue;

t = M[j][i] / M[i][i];

for(k = i + 1; k < n; k++)

{

M[j][k] -= M[i][k] * t;

}

C[j] -= C[i] * t;

}

}

for(i = 0; i < n; i++)

{

C[i] /= M[i][i];

}

return 0;

}

 

int PrintMatrix(float *M, char *Name, int x, int y)

{

    int i, j, AdrIJ = 0;

    printf("Array %s:\n", Name);

    for(i = 0; i < y; i++)

    {

        for(j = 0; j < x; j++)

        {

            printf("%5.3f\t", M[AdrIJ++]);

        }

        putchar(10);

    }

    putchar(10);

    return 0;

}

 

int main()

{

    int i,j,k, Imax;

    float X[m],Y[m],F[n][m],FI[m],x,A[n][n],B[n],C[n],D[m],Dmax,I;

    printf("vvedite:\n");

    for (i=0; i<m; i++)

    {

        printf("X[%i]= ",i+1);

        scanf("%f",&X[i]);

        printf("Y[%i]= ",i+1);

        scanf("%f",&Y[i]);

    }

   for (i=0; i<m; i++)

    {

        x=X[i];

        F[0][i]=1;

        F[1][i]=sin(x);

        F[2][i]=exp(-x);

 

    }

    for (i=0; i<n; i++)

    {

         for (j=0; j<n; j++)

         {

            A[i][j] = 0;

            for (k=0; k<m; k++)

            {

            A[i][j] += F[i][k] * F[j][k];

            }

         }

    }

    for(k=0; k<n; k++)

    {

        B[k]=0;

        for (i=0; i<m; i++)

        {

            B[k]=B[k]+Y[i]*F[k][i];

        }

    }

Gauss(A, B, C);

    for (i=0; i<m; i++)

    {

        x = X[i];

        FI[i] = C[0] * (1) + C[1] * sin(x) + C[2] * (exp(-x));

        D[i]=fabs(Y[i]-FI[i]);

    }

    Dmax=D[0];

    Imax=0;

    for (i=0; i<m; i++)

    {

        if (fabs(D[i])>fabs(Dmax))

        {

            Dmax=D[i];

            Imax=i;

        }

    }

    I=0;

    for (i=0; i<m; i++)

    {

        I += D[i]*D[i];

    }

    PrintMatrix(*A, "A", n, n);

    PrintMatrix(B, "B", n, 1);

    PrintMatrix(C, "C", n, 1);

    PrintMatrix(FI, "FI", m, 1);

    PrintMatrix(D, "D", m, 1);

    printf("Dmax = %5.3f\nImax = %i\n", Dmax, Imax+1);

    printf("I = %5.4f\n", I);

    system ("pause");

    return 0;

}

 

Глава V. Результаты контрольного расчета.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение 

 

В ходе выполнения курсовой работы были проведены  расчеты, которые показали, что аппроксимация  заданной функции произошла успешно, без критических отклонений. По расчетным  значениям можно проводить аналитические работы. В проекте так же разрабатывался программный продукт, решающий данные цели и задачи. Полученные значения критерия в ручным счете совпадают с машинным результатом.

Курсовой  проект выполнен в полном объеме в  соответствии данному техническому заданию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованных источников

 

1. Методические разработки по дисциплине «вычислительная математика и программирование»
2. Вешев В.А., Доброславский С.В., Розе С.Н. Высшая математика. Производные. Методические указания
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика           в упражнениях и задачах. Том 1 and 2