Дифференциальные уравнения фильтрации

По идее Слихтера, все шарообразные частицы, образующие данную пористую среду, уложены во всем ее объеме одинаковым образом по элементам из восьми шаров.

Более поздние исследования Дарапского показали, что пространственные соотношения значительно более сложны, чем принимал Слихтер. Недостаточно рассмотреть элемент из восьми шаров и предположить симметричную картину для всех остальных шаров.

Параметр, характеризующий размер порового пространства – эффективный диаметр dэф, который определяется в результате механического анализа грунта. Эффективным диаметром частиц, слагающих реальную пористую среду, называется такой диаметр шаров, образующих фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково.

Объемным расходом Q называется объем жидкости, прошедший через поперечное сечение за единицу времени:

Q =V/t

Массовым расходом Qm называется масса жидкости, прошедшая через поперечное сечение за единицу времени:

Qm =m/t

Массовый расход равен произведению плотности ρ на объемный расход:

Qm =ρQ

Скоростью фильтрации u называется отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения:

u =Q/ω

Скорость фильтрации - это скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m = 1).

В действительности фильтрация жидкости или газа происходит по просветам, поэтому действительная скорость v больше скорости фильтрации и определяется:

v =Q/ωпр= ωQ/ωпрω=u/n=u/m

При плоскопараллельном потоке векторы скоростей параллельны друг другу, поэтому фильтрация происходит только вдоль одной оси, которую можно принять за ось x. В любом поперечном сечения плоскопараллельного потока давление, скорость и её направление одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией координаты этой оси p(x), u(x). Плоскопараллельное движение имеет место в двух следующих случаях:                                                                              1. В лабораторных условиях при фильтрации через цилиндрический керн, или в трубе диаметром D, заполненной пористой средой. Площадь поперечного сечения представляет собой площадь круга и равна:

ω=πD2/4

2. На некоторых участках  продуктивного пласта, которые можно представить в виде параллелепипеда, верхние и нижние грани (кровля и подошва пласта), а также ближняя и дальняя грань - непроницаемы для жидкости. Во всех точках левой грани поддерживается постоянное давление pк, а во всех точках правой грани поддерживается постоянное давление pг. Расстояние между кровлей и подошвой пласта называется толщиной пласта и обозначается h. Расстояние между ближней и дальней гранью называется шириной и обозначается B. Расстояние между левой и правой гранью называется длиной и обозначается L. Этот случай плоскопараллельного движения часто называют галереей, а величины h, B и L называют толщиной, шириной и длиной галереи.

Площадь поперечного сечения галереи равна: ω =B h

При плоскорадиальном потоке в любой горизонтальной плоскости продолжения векторов скоростей сходятся (или расходятся) в одной точке. На практике плоскорадиальной поток встречается в случае вскрытия горизонтального пласта вертикальной скважиной с круговым контуром питания. Если вскрыт весь пласт и приток происходит по всей боковой поверхности скважины, то скважина называется гидродинамически совершенной. Расстояние от оси скважины до какой – либо точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой боковую поверхность цилиндра, высота которого равна толщине пласта h, а радиус – расстоянию от центра скважины до данной точки пласта:

ω =2 π r h

В любом поперечном сечении этого потока давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

При радиально-сферическом потоке продолжения векторов скоростей в пространстве сходятся (или расходятся) в одной точке. Расстояние от этой точки, которую называют источником или стоком, до любой точки пласта называется радиусом r. Площадь поперечного сечения представляет собой поверхность сферы радиусом r:

ω =4 π r2

В любом поперечном сечении этого потока давление и скорость одинаковы, но в разных поперечных сечениях они разные и являются функцией радиуса p(r), u(r).

На практике радиально–сферический поток встречается в случае вскрытия скважиной кровли пласта бесконечно большой толщины скважиной с полусферическим контуром питания. В общем случае давления и скорости фильтрации зависят от координаты точки и времени:

p = p(x, y, z, t);

u = u(x, y, z, t).

Движение называется установившимся (стационарным), если в любой точке пласта давления и скорости фильтрации не зависят от времени. В противном случае движение называется неустановившимся (нестационарным).

 

2 ЗАКОН ДАРСИ

2.1 Верхняя граница применимости закона Дарси

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением   числа Рейнольдса

где d- некоторый характерный линейный размер пористой среды;

v-кинематический коэффициент  вязкости флюида 

Многочисленные экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н.М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления l от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты Ч. Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру dэф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса

Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н.Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах

Достаточно узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные образцы пористых сред.

Для удобства обработки результатов многочисленных экспериментов различных авторов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством

Отсюда видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления. Сравнивая равенство и закон Дарси (для случая горизонтального пласта, когда р* = р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то

Таким образом, равенство должно выполняться при 

Введение параметра   упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс откладывать   а по оси ординат   то поскольку   при   графиком зависимости   от   будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока  .

Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям  ). Значение   при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим значением. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.5 на логарифмической сетке приведены зависимости   от  , представляющие результат обработки опытов по формулам В. Н. Щелкачева. Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации   для различных образцов пористых сред.

Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения   в подземной гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса   соответствующих верхней границе применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления приведены в табл. 1.1. В первых двух строках таблицы даны соответственно формулы для   и коэффициента гидравлического сопротивления l, полученные разными авторами. В четвертой и пятой строках приведены соответственно критические значения   полученные самими авторами, и их уточненные значения.

Наличие третьей строки табл. 1.1, в которой дано произведение   объясняется следующим. В области линейного закона фильтрации   справедливо равенство. Поэтому если произведение   зависит только от параметра  , то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если   И только в этом случае можно получить «универсальный» прямолинейный график в координатах  соответствующий фильтрации различных флюидов через различные по свойствам пористые среды. Результаты обработки опытов подтверждают этот вывод.

На основе анализа данных, приведенных в табл. 1.1, можно сделать следующие выводы.

1. Несмотря на отмеченные  недостатки результатов Н. Н. Павловского, есть основания для их сопоставления  с соответствующими результатами  трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа  Рейнольдса, подсчитанные по формуле, намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения  ) не следует связывать с турбулизацией течения. Отсутствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, изложенными Г. Шнебели.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра   в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений   , мало обоснованы.

2. Во все другие формулы табл. 1.1 в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные   (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения   для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения   не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений   можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

Итак, при значениях числа Рейнольдса   линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших   основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный закон.

 

 

 

Таблица 1.2

№ п/п	Образец пористой среды	Диапазон критических значений
1.	Однородная дробь	13-14
2.	Однородный крупнозернистый песок	3-10
3.	Неоднородный мелкозернистый песок с преобладанием фракций диаметром менее 0,1 мм	0,34-0,24
4.	Сцементированный песчаник	0,05-104

 

Интервалы критических значений   для образцов пористых сред фильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее. В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения без учета силы тяжести) в следующем виде:

 

где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.

Первое слагаемое в правой части учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов. Из следует, что при малых скоростях фильтрации квадратом скорости w2 можно пренебречь, и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого, т.е. движение будет безынерционным, соответствующим закону Дарси. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся существенными и будут сопоставимы или даже преобладать над силами вязкости.

Хорошая согласованность соотношения с данными промысловых и экспериментальных наблюдений была установлена в много численных работах советских и зарубежных исследователей. Это свидетельствует о том, что данное соотношение представляет нечто большее, чем простую эмпирическую формулу, поскольку оно хорошо выполняется даже для весьма больших значений скорости фильтрации. Физический смысл этого заключается в том, что при больших скоростях быстропеременное движение в порах вследствие «извилистости» поровых каналов сопряжено с появлением значительных инерционных составляющих гидравлического сопротивления. С увеличением числа Рейнольдса квадратичный член в выражении оказывается преобладающим, силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с силамиинерции, и сводится тогда к квадратичному закону фильтрации, предложенному А. А. Раснопольским. Он справедлив в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.