Дифференциальные уравнения фильтрации

 

2.2 Отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации

В опытах, проведенных в конце прошлого века с тонкозернистыми грунтами при малых скоростях, было обнаружено увеличение скорости фильтрации с ростом градиента давления более быстрое, что это дает линейный закон Дарси. Однако объяснение этого факта не приводилось.

Начиная с 50-х годов XX в. появилось большое число теоретических и экспериментальных работ, подтвердивших нарушения закона Дарси в области малых скоростей. Это явление заметнее всего при движении воды в глинах, но наблюдается также и при фильтрации в песках и песчаниках не только воды, но и нефтей. При этом во всех экспериментах обнаруживалась существенная нелинейность закона фильтрации при малых скоростях.

Объяснение этого явления заключается в том, что при малых скоростях фильтрации становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом породы и фильтрующимся флюидом, которое может дать преобладающий вклад в фильтрационное сопротивление. При весьма малых скоростях потока сила всякого трения кренобразного мало, тогда как сила межфазового взаимодействия остается при этом конечной величиной, поскольку она не зависит от скорости и определяется только свойствами контактирующих фаз. В результате такого взаимодействия нефть, содержащая поверхностно-активные компоненты, в присутствии пористого тела с развитой поверхностью образует устойчивые коллоидные растворы (студнеобразные пленки), частично пли полностью перекрывающие поры. Чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления. В случае фильтрации воды в глинизированных породах аналогичные соображения относятся к образованию коллоидных глинистых растворим, при этом структурообразующий компонент-глинистые частицы можно заимствовать из самого материала твердого скелета.

Приведенные факты показывают, что многие жидкости (нефть, пластовая вода). не проявляющие аномальных свойств вне контакта с пористой средой, при малых скоростях фильтрации могут образовывать неньютоновские системы, взаимодействуя с пористой породой. Наличие начального градиента давления g, при достижении которого начинается фильтрации, было обнаружено и при движении флюидов в газовода насыщенных пористых средах. При этом было установлена, в изменяется широких пределах и в большинстве случаев тем выше, чем больше глинистого материала содержится в пористой среде и чем выше остаточная вода насыщенность газо-водяной смеси.

Наряду с этим неньютоновские свойства пластовых нефтей с повышенном содержанием высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов и.т.) могут проявляется в широком диапазоне изменения скоростей.

Движение однородной жидкости в пористой среде определяется силами давления и силами тяжести. Основное соотношение теории фильтрации – закон Дарси – устанавливает связь между величиной скорости фильтрации вдоль линии тока и силами, действующими в жидкости. Рассмотрим вывод закона Дарси на примере схемы опытной установки. Пусть по трубе, диаметром D и длиной L, заполненной пористой средой, фильтруется жидкость со скоростью u. Выберем два поперечных сечения: 1 и 2. Центры тяжести поперечных сечений расположены на высотах z1 и z2. Давление p1 и p2 в сечениях замеряем пьезометрами. Как и в трубной гидравлике запишем уравнение Бернулли для этих сечений:

H1 =H2+h12

где H1=z1+p1/ρ g+α1 u21/ρ g – гидродинамический напор;

h12 = h(u) – потери напора  между сечениями, которые зависят  от скорости фильтрации и не могут рассчитываться по формулам трубной гидравлики.

Скорости фильтрации жидкости в пористой среде малы, поэтому скоростным напором можно пренебречь. Разрешая уравнение относительно скорости фильтрации, получим:

u = f(H1 – H2 )

Рассмотрим зависимость скорости фильтрации от расстояния между сечениями и площади поперечного сечения. При прочих равных условиях с увеличением расстояния увеличиваются сопротивления движению жидкости и скорость фильтрации должна уменьшатся. Наиболее простая зависимость – обратно пропорциональная u ~1/L. Предположим, что скорость фильтрации зависит от площади поперечного сечения, тогда во всем образце она будет одинаковая. Проделаем мысленный  эксперимент. Разделим поперечное сечение пополам и рассмотрим одну половину. Площадь поперечного сечения изменилась, значит должна измениться и скорость, но в одном и том же реальном образце не могут быть две различные скорости фильтрации. Поэтому наше предположение не верно, и скорость фильтрации не зависит от площади. Кроме того, скорость фильтрации зависит от свойств фильтрующейся жидкости и свойств пористой среды. Учтем эти свойства коэффициентом фильтрации – kф.

U=kф (H – H )/L

Эта формула впервые была экспериментально получена французским инженером Дарси и подтверждается для многих жидкостей и газов в широких пределах изменения скоростей. Но для некоторых жидкостей и значений скоростей фильтрации эта формула не подтверждается. Коэффициент фильтрации kф используется в тех случаях, когда фильтруется вода. При фильтрации нефти, газа, воды, их смесей желательно учитывать свойства породы и жидкости отдельно. Свойства жидкости характеризуются коэффициентом динамической вязкости μ и плотностью ρ, тогда коэффициент фильтрации можно записать в виде:

kф = k/μ ρg

Коэффициент проницаемости зависит только от свойств пористой среды и определяет способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы. Коэффициент проницаемости имеет размерность площади и качественно представляет собой площадь поперечного сечения отдельного капилляра, поэтому проницаемость горных пород очень мала.

Z- расстояние от плоскости сравнения до данной точки считается положительным, если точка лежит выше плоскости сравнения, и отрицательной, если ниже. За плоскость сравнения можно принять любую горизонтальную плоскость. Обычно принимают границу газонефтяного (ГНК) или водонефтяного (ВНК) контакта. При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), значит, второе слагаемое в приведенном давлении постоянно и при подстановке в формулу обращается в нуль.

 

 

 

 

 

 

3 НАРУШЕНИЕ ЗАКОНА ДАРСИ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

При малых и больших скоростях фильтрации закон Дарси не выполняется. Нарушение закона Дарси при малых скоростях обычно связано с неньютоновскими свойствами нефти. При больших скоростях начинают проявляться инерционные силы, которые возникают при движении жидкости по извилистому пористому каналу.

Проведем аналогию с трубной гидравликой. Потери давления пропорциональны скорости, как при ламинарном режиме движения жидкости в трубе, так и при фильтрации жидкости по закону Дарси. Потери давления пропорциональны квадрату скорости, как при сильно развитом турбулентном режиме движения жидкости в трубе, так и при больших скоростях фильтрации (закон Дарси не выполняется).

В трубной гидравлике режим движения определяется по числу Рейнольдса:

Re =V D ρ/ μ

где V – средняя скорость в трубе;

D – диаметр трубы.

Если число Рейнольдса меньше критического Reкр = 2320, то режим движения ламинарный, а если больше, то турбулентный. При ламинарном движении потери давления пропорциональны скорости ∆p~u, а при турбулентном режиме потери давления пропорциональны квадрату скорости ∆p~u2. По аналогии введем число Рейнольдса и при фильтрации. Различными авторами предложено несколько формул для определения числа Рейнольдса, но приведем одну из них – формулу Щелкачева, в которой за характерную скорость принята скорость фильтрации u, за характерный поперечный размер капилляра – корень квадратный из проницаемости пласта. Кроме этого добавлен множитель, который частично учитывает структуру пористой среды –10/m2,3.                                                                                                                                                               Формула Щелкачева имеет вид:

Re = 10 u k ρ/ μ m2,3

Так как при одной и той же пористости и проницаемости структура пористой среды может быть разной, то широк разброс в значении критического значения числа Рейнольдса Reкр = 0,032 – 14. Обычно принимают Reкр = 1. Если вычисленное значение числа Re оказывается меньше нижнего критического значения, то закон Дарси справедлив, если больше верхнего значения, то закон Дарси заведомо нарушен. Скорость фильтрации, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации (uкр). Однако нарушение линейного закона фильтрации еще не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному. Закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости за счет извилистости каналов и изменения площади их поперечных сечений, становятся при u > uкр соизмеримыми с силами трения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Подземная гидравлика. К.С. Басниев, А.М. Власов, В.М. Максимов «Недра» Москва 1993 г.

2. Подземная гидромеханика. К.С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг Москва 2005 г.