Картография

   

 

5) Псевдоконические – параллели - дуги концентрических окружностей, общий центр которых лежит на осевом меридиане или его продолжении; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана. Наиболее выгодны для изображения территорий, имеющих форму квадрата с вогнутыми сторонами. (проекция Бонна – применяется для карты Франции).

       

 

6) Псевдоцилиндрические – параллели - Параллельные прямые, перпендикулярные осевому меридиану. В большинстве случаев равноразделенные; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана.

Используются для изображения  всей земной поверхности. Наиболее выгодны  для изображения территорий растянутых вдоль среднего меридиана и экватора (равновеликая синусоидальная проекция Сансона, равновеликая синусоидальная проекция Эккерта, равновеликая эллиптическая проекция Мольвейде).

 

 

7) Поликонические – параллели - дуги окружностей (окружности), центры которых лежат на осевом меридиане сетки или на его продолжении; меридианы – некоторые кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана. Широко применяются для мелкомасштабных обзорных карт, выгодны для изображения территорий, растянутых вдоль среднего меридиана. (простая поликоническая проекция, видоизмененная поликоническая проекция для международной карты мира в масштабе 1:1 000 000).

    

 

По положению  полюса нормальной системы координат

P0 - полюс нормальной  системы координат совмещается  с центральной точкой картографируемой территории. Это делается для того, чтобы уменьшить величины искажений в пределах картографируемой территории. В зависимости от величины φ0 все проекции классифицируются:

1) Полярные (нормальная) – полюс нормальной системы координат совпадает с географическим - φ0=90°

      

 

2) Поперечные (трансверсионные) – полюс нормальной системы совпадает с экватором - φ0=0°

 

3) Косые (наклонные) – полюс нормальной системы координат располагается между географическим полюсом и экватором - 0°< φ0<90°

 

По способу  использования

1) Сплошные – вся картографируемая территория проектируется на плоскость по одному закону

2) Многополосные – территория разбивается на ряд широтных зон, каждая из которых проектируется на плоскость по одному и тому же закону, но с разными параметрами для каждой из зон. Преимущества - малые величины искажений; недостатки – невозможно получить сплошное изображение. (трапецивидная проекция Мюфлинга, применялась для карт крупного масштаба до 1928г. Для СССР)

3) Многогранные – территория разбивается на ряд меридианальных зон, каждая из которых проектируется на плоскость по одному и тому же закону, но с разными параметрами для каждой из зон. Преимущества - малые величины искажений; недостатки – невозможно получить сплошное изображение. (проекция Гаусса-Крюгера)

4) Составные – часть территории проектируется по одному закону, а оставшаяся часть по другому.

4. Перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения и принципы их получения

 

Рассмотрены теоретические  аспекты получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на основе метода визирования.

Рассмотрим метод (принцип) получения перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения на примере проекции с негативным изображением на секущем цилиндре в нормальной ориентировке.

Пусть на рис. 1 показан эллипсоид вращения с полуосями a и b. Его пересекает цилиндр, ось вращения которого совпадает с осью вращения эллипсоида. А_k (φ_k, λ) – точка пересечения поверхности эллипсоида и цилиндра. Точка зрения g лежит произвольно, ее положение задается расстоянием Og=D и углом α. А (φ, λ) – текущая точка на поверхности эллипсоида. Визирный луч gA пересечет образующую цилиндра A’A_k в точке A’.

Пусть начало системы  координат лежит в точке О (0,0), тогда в системах координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0;        A: x = N(1-e²)sinj;         A_k: x = N_k(1-e²)sinj_k;          g:  x = Dsinα;

у = 0;             y = - Ncosj;                      y = - N_kcosj_k;                    y = Dcosα.

Рис. 1. Схема получения перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

 

Уравнение визирного луча gA запишется  в следующем виде:

(x-Dsinα)(-Ncosj-Dcosα) = (y-Dcosα)(N(1-e²)sinj-Dsinα), а уравнение образующей цилиндра: y = - N_k(1-e²)sinφ_k.

Из совместного решения  уравнений визирного луча и образующей цилиндра, получим формулы прямоугольных координат проекции.

х = Dsinα+(Dcosα+N_kcosj_k)(N(1-e²)sinj-Dsinα)/(Dcosα+Ncosj);

y=N_kcosj_kλ.                                                       (1)

В этих формулах: x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

D – расстояние от точки зрения до центра эллипсоида;

α – угол между плоскостью экватора и линией Оg;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N=a/(1-e²sin²j)^1/2;

e – первый эксцентриситет эллипсоида вращения; e=(1-(b/a)²)^1/2;

a, b – большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Картографическая сетка  проекции показана на рис. 2.

Рис. 2. Сетка перспективной цилиндрической проекции эллипсоида вращения с негативным изображением с произвольным положением точки зрения

 

Подробно рассмотрено получение различных вариантов перспективных цилиндрических проекций: с негативным и позитивным изображениями, на касательном и секущем цилиндрах, с различным положением точки зрения, в том числе проекции типа Брауна (точка зрения лежит на поверхности эллипсоида в плоскости экватора), типа Уэтча (точка зрения лежит в центре эллипсоида), проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности. Приведены варианты получения комбинированных проекций с негативным и позитивным изображениями, построены картографические сетки.

Анализ вида картографических сеток всех перспективных цилиндрических проекций эллипсоида вращения показал:

• параллели представляют собой прямые линии, а меридианы – ортогональные параллелям равноотстоящие прямые;
• в проекциях полюс изображается прямой линией или уходит в бесконечность (проекции типа Уэтча);
• сетки проекций ортогональны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора (рис. 2);
• изоколы имеют вид прямых линий, параллельных экватору;
• проекции являются произвольными по характеру искажений, ближе к равноугольным;

Разработанные перспективные  цилиндрические проекции эллипсоида вращения дополняют существующие, что дает возможность представить теорию перспективных проекций эллипсоида вращения в завершенном и полном виде (см. табл. 1).

 

4.1 Исследование и разработка теории перспективных проекций

трехосного эллипсоида

 

В главе освещены особенности  систем координат трехосного эллипсоида, введены понятия о широтах и долготах в связи с тем, что геодезическая система координат не является однозначной для трехосного эллипсоида.

Вопросами установления систем координат трехосного эллипсоида занимались: А. Кларк, Н. Ф. Красовский, Н. А. Беспалов и другие.

В работе используются понятия  условно-геодезической и геодезической  систем координат, приведенные в  работе Л. М. Бугаевского «Теория  картографических проекций регулярных поверхностей». В обеих системах координат долготы определяются одинаково, как двугранный угол между плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, начальный и текущий пункты. А понятия условно-геодезической и геодезической широт не совпадают.

Под условно-геодезической  широтой В понимается угол между нормалью АК к эллипсу РАР₁ в т. А и линией OD. Однако линия АК не является нормалью к его поверхности (рис. 3).

Под геодезической широтой φ трехосного эллипсоида понимается угол между нормалью к поверхности трехосного эллипсоида в т. А и плоскостью экватора.

Рис. 3. Условно геодезическая система координат трехосного эллипсоида

 

Формулы связи геодезической  и условно-геодезической систем координат имеют следующий вид:

sinB = sinφ[(1+z²)/(1+z²sin²φ)^1/2]; cosB = cosφ[(1+z² sin²φ)^-1/2], где

z = - d_λ/d = k²sin2λ/[2(1-k²cos²λ);

d_λ = - ab(a²-b²)sin2λ/[2(a²sin²λ+b²cos²λ)^1/2];

d = b(1-k²cos²λ)^-1/2; k² = 1-(b/a)²,

a, b –полуоси трехосного эллипсоида,

φ – геодезическая широта данной точки,

В – условно-геодезическая широта данной точки,

λ – геодезическая долгота данной точки.

Различия в величинах  условно-геодезических и геодезических широт не велики и наглядно представлены на рис. 4, на примере проекции типа Брауна.

Рис. 4. Проекция типа Брауна в различных системах координат (сплошная сетка построена с использованием геодезической системы координат; штриховая сетка построена с использованием условно-геодезической системы координат)

 

В дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с получением формул прямоугольных координат проекции использовалась условно-геодезическая система координат. Расчеты всех проекций выполнены для спутника Юпитера Амальтеи, т.к. его форма аппроксимируется трехосным эллипсоидом.

Перспективные цилиндрические проекции трехосного эллипсоида.

Получим формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на основе метода визирования.

Рассмотрим рис. 5, на котором представлена схема получения нормальных перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения.

 

Рис. 5. Схема получения перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

 

Пусть положение точки  зрения g определяется расстоянием Og=D от центра трехосного эллипсоида и углом α. А (В, λ) – текущая точка на поверхности трехосного эллипсоида. А_k – точка пересечения образующей цилиндра и трехосного эллипсоида. R – радиус вспомогательного цилиндра. Возьмем начало прямоугольных координат в т. О. Тогда в системе координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0;                     A: x = N(1-p²)sinB;                     g: x = Dsinα;

     y = 0;                          y = - NcosB;                               y = Dcosα.

Запишем уравнения визирного луча gA и образующей цилиндра A_kA’:

(x-Dsinα)(-NcosB-Dcosα) = (y-Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα); y = - R.

Совместное решение  этих уравнений, позволяет получить формулы прямоугольных координат проекции на секущем цилиндре:

x = Dsinα+(R+Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα)/(NcosB+Dcosα); y = Rλ.       (2)  

Если в качестве вспомогательной  поверхности использовать касательный цилиндр, то формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением будут иметь следующий вид:

x = Dsinα+(а+Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα)/(NcosB+Dcosα);                   (3) 

y = аλ.

В этих формулах:

x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

В, λ – условно-геодезические  координаты;

R – радиус вспомогательного цилиндра;

D – расстояние от точки зрения до центра трехосного эллипсоида;

α – угол между направлением Og и плоскостью экватора;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N = d/(1-p²sin²B)^1/2, где

d = b/(1-k²cos²l)^1/2; k² = 1-(b/a)²; p² = 1-(c/d)².

a, b, с – полуоси трехосного эллипсоида.

Рис. 6. Сетка прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения для спутника Юпитера Амальтеи с изоколами масштабов плошадей (Расчет производился по значениям: a=135000 (м), b=85000 (м), с=77500 (м); D=100000 (м), α=25˚; Rцилиндра=100000 (м))

 

В работе приведены 6 формул для нахождения прямоугольных координат перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным и позитивным изображением с различным положением точки зрения, а также формулы комбинированных перспективных цилиндрических проекций с негативным и позитивным изображением.

На основании расчетов прямоугольных координат проекций было построено 6 вариантов сеток разработанных проекций для спутника Юпитера – Амальтеи на рис. 7, 8 представлены 2 из них.

Рис. 7. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Уэтча с изоколами масштабов площадей

 

Рис. 8. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Брауна с изоколами масштабов площадей