Картография

 

Поскольку перспективный  способ изыскания проекций основан  на решении прямой задачи математической картографии, свойства получаемых проекций (характер искажений, их величины и распределение) нельзя определить заранее. Эти свойства определяются после получения формул прямоугольных координат проекций и вычислений на их основе частных масштабов длин, площадей и искажений углов. На основании построенных сеток и вычисленных искажений перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида можно сделать следующие относящиеся к ним выводы:

• в проекциях параллели изображаются в виде кривых, т.к. являются

        функциями и широты, и долготы;

• меридианы изображаются в виде равноотстоящих параллельных прямых;
• сетки проекций не ортогональны;
• в проекциях полюс изображается в виде прямой линии или уходит в

         бесконечность (проекции типа Уэтча);

• сетки проекции симметричны относительно среднего меридиана;
• изоколы масштабов площадей и искажений углов имеют вид кривых.

Оценка искажений. В пределах всей картографируемой территории для оценки всех типов искажений использовался критерий вариационного типа

Е² = 1/Sòε²dS,                                                       (4)

где S – площадь территории;

ε² – критерий Эйри, являющийся мерой комплексного искажения в отдельной точке;

ε² = ((a/b-1)²+(ab-1)²)/2;                                         (5)

a, b – экстремальные масштабы длин.

Определить Е² в явном виде трудно, но его приближенное значение можно получить, заменив интеграл суммой ε_i², взятых в отдельных точках проекции

Е² = 1/KSε_i².                                                 (6)

Для определения характера искажений полученных проекций использовался критерий Г. И. Конусовой, определяющий соотношение искажений форм и площадей:

tgα = (a/b-1)/(ab-1),                                           (7)

α = 0 – для равноугольных проекций;

α = π/2 – для равновеликих проекций;

0<α<π/2 – для произвольных проекций.

Результаты оценки искажений  по критериям Эйри и Г. И. Конусовой представим в табл. 2.

     Табл. 2. -   Оценка перспективных цилиндрических проекций

  трехосного эллипсоида по критериям Эйри и Конусовой       

 

Положение точки зрения		Критерий
		Эйри	Конусовой (˚)
1	В бесконечности	0,698	77
2	В центре эллипсоида	8,993E+30	33
3	На поверхности эллипсоида	0,662	69
4	Произвольное	0,691	76

 

Из таблицы видно, что наибольшие искажения наблюдаются в проекциях типа Уэтча. Наименьшие искажения в проекциях типа Брауна. Искажения в проекциях с произвольным положением точки зрения и с точкой зрения, лежащей в бесконечности примерно одинаковые.

Анализ проекций по критерию Конусовой показал, что они произвольны по характеру искажений, но наиболее близки к равновеликим, кроме проекций типа Уэтча (в этих проекциях, характер искажений ближе к равноугольному).

В практике математической картографии нашли применение проекции, получаемые комбинацией уравнений  известных проекций. Уравнения таких проекций задаются как: Х = К₁Х₁+К₂Х₂, Y = К₁Y₁+К₂Y₂,

где К₁+К₂ = 1,

К₁ – доля проекций с негативным изображением;

К₂ – доля проекций с позитивным изображением;

Х₁, Y₁, Х₂, Y₂ - координаты исходных проекций.

В работе рассмотрены проекции, получаемые комбинированием перспективных цилиндрических проекций с позитивным и негативным изображением. Для определения их оптимального соотношения, т.е. коэффициентов К₁, К₂, использовались критерии Эйри и Г. И. Конусовой, изменения которых представлены на рис. 9.

 

Рис. 9. Изменения критериев Г. И. Конусовой и Эйри в зависимости от изменения коэффициентов проекций

 

Анализ изменений критериев показал, что при увеличении доли проекции с негативным изображением происходит незначительный рост суммарных искажений, и по характеру искажений проекция приближается к равновеликой. Наиболее близкой к равновеликой комбинированная проекция будет при K₁ = 0,6.

Перспективные конические проекции трехосного эллипсоида.

Принципиальная схема  получения прямоугольных координат перспективных конических проекций на основе метода визирования сводится к последовательному нахождению:

• прямоугольных координат х, у точек проекции трехосного эллипсоида

         на поверхность вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана;

• прямоугольных координат x_p, y_p вершины вспомогательного конуса;
• полярных радиусов ρ и полярных углов δ;
• постоянного параметра проекции С;
• прямоугольных координат X, Yперспективной конической проекции на

         плоскости.

Рассмотрим пример получения нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем конусе с произвольным положением точки зрения. На рис.10, точка g – точка проектирования, А – проектируемая точка (текущая точка) на поверхности трехосного эллипсоида, РА’ – образующая секущего конуса. R – радиус основания конуса в плоскости экватора, β – угол между образующей конуса и его основанием. Возьмем начало системы координат в т. О, тогда в системах координат плоскости каждого меридиана получим:

Рис. 10. Схема получения  нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на секущем  конусе

 

О: х = 0;                               g: x = Dsinα;                           A: x = N(1-р²)sinВ;

    y = 0;                                    y = Dcosα;                               y = - NcosВ.

Прямоугольные координаты х, у точек проекции трехосного эллипсоида на поверхности вспомогательного конуса можно получить из совместного решения  уравнений образующей конуса и визирного луча.

Уравнение визирного луча gA запишется:

(x-Dsinα)( - NcosB-Dcosα) = (y-Dcosα)(N(1-p²)sinB-Dsinα).

Уравнение образующей конуса:

- R(x-Rtgβ) = - Rtgβ.

Из решения этих уравнений  получим формулы прямоугольных  координат точек на поверхности  вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана:

x = ((Rtgβ+Dcosαtgβ)(N(1-p²)sinB-Dsinα)+Dsinαtgβ(NcosB+Dcosα))/

/(tgβ(NcosB+Dcosα)+N(1-p²)sinB-Dsinα);                               (8)

y = (x-Rtgβ)/tgβ.

Прямоугольные координаты вершины вспомогательного конуса х_р, у_р запишутся в виде: х_р = Rtgβ; у_р = 0.

На основе общих формул конической проекции и из Рис. 9 формулы прямоугольных координат перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на плоскости запишутся в виде:

X = ρ_ю - ρcosδ; Y = ρsinδ;                                      (9)

В этих формулах:

X, Y – прямоугольные координаты точек проекции на плоскости;

x, y – прямоугольные координаты точек проекции в плоскости каждого

меридианного сечения;

ρ = [(х - х_р)² + (y - у_р)²]^1/2 – полярный радиус;

δ = Сλ – полярный угол;

С = cosβ – параметр проекции.

Получены формулы прямоугольных координат 6-и проекций и из них построено 5. На рис. 11, 12 представлены картографические сетки 2-х из них, рассчитанные для Амальтеи.

Рис. 11. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности с изоколами масштабов площадей

 

Рис. 12. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей на поверхности эллипсоида в плоскости экватора с изоколами масштабов площадей

 

На основании построений и вычисления искажений длин, площадей и углов можно сделать следующие выводы:

• в проекциях параллели изображаются в виде кривых (в некоторых случаях экватор изображается дугой окружности), меридианы изображаются в виде прямых, сходящихся в одной точке;
• сетки проекций не ортогональны;
• в проекциях полюс изображается в виде дуги окружности;
• сетки проекций симметричны относительно среднего меридиана;
• изоколы масштабов площадей и искажений углов имеют вид кривых.

Для выявления характера искажений проекций был проведен анализ по критериям Г. И. Конусовой и Эйри, результаты которого представлены в табл. 3.

             Табл 3.  Оценка перспективных конических проекций

      трехосного  эллипсоида по критериям Эйри и Конусовой   

 

Положение точки зрения		Критерий
		Эйри	Конусовой (˚)
1	В бесконечности	0,158	62
2	В центре эллипсоида	0,238	52
3	На поверхности эллипсоида	0,099	61
4	Произвольное	0,181	55

 

Критерий Эйри показывает что, наибольшие искажения наблюдаются в проекциях с точкой зрения, лежащей в центре трехосного эллипсоида. Наименьшие искажения – в проекциях с точкой зрения на поверхности трехосного эллипсоида в плоскости экватора. Анализ проекций по критерию Конусовой показал, что проекции произвольны по характеру искажений.

Были также рассчитаны варианты комбинированных проекций с различным значением коэффициентов  К₁ и К₂. Динамика критериев Г. И. Конусовой и Эйри при получении комбинированных проекций представлена на рис 13.

 

Рис. 13. Изменение критериев Г. И. Конусовой и Эйри в зависимости от изменения коэффициентов проекции

 

Оптимальной в соответствии с критерием Эйри, является проекция, полученная комбинацией конических проекций с негативным (К₁) и позитивным (К₂) изображениями, в соотношении К₁ = 0,6 и К₂ = 0,4. С увеличением доли проекции с негативным изображением характер искажения приближается к равновеликому. Картографическая сетка комбинированной проекции представлена на рис. 14.

Рис. 14. Картографическая сетка комбинированной перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей произвольно, с нанесенными на нее изоколами масштабов площадей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В ходе работы решена главная задача – разработана теория перспективных проекций трехосного эллипсоида разных классов, подтвержденная вычислениями координат и искажений, а также построением картографических сеток. Основные результаты работы состоят в следующем:

• разработаны перспективные цилиндрические проекции эллипсоида вращения, дополняющие существующие классы (азимутальные и конические), что дает возможность представить теорию перспективных проекций эллипсоида вращения в завершенном виде;
• определена методика получения перспективных проекций трехосного эллипсоида разных классов, базирующаяся на общей теории перспективных проекций (метод визирования);
• впервые получены формулы различных вариантов перспективных цилиндрических и перспективных конических проекций трехосного эллипсоида;
• разработаны комбинированные проекции эллипсоида вращения и трехосного эллипсоида на основе перспективных проекций с позитивным и негативным изображением. Предложен способ определения оптимального соотношения исходных проекций;
• выполнен анализ искажений полученных проекций и их вариантов по различным критериям. Построены картографические сетки.