Одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде

 

Зная конкретные зависимости плотности р и функции Лейбензона Р от давления для различных флюидов, а также выражения R_1s, R₁₂. ω(s) для разных одномерных потоков, можно рассчитать распределение давления p(s), скорости фильтрации w(s), получить формулы для массового и объемного расходов. По распределению давления в дальнейшем найдем средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление, определяемое по формуле:

 

,                                   (2.15)

 

где Vn- общий объем порового пространства пласта.

 

Время движения отдельных  частиц флюида определяется решением уравнения:

 

.

 

При условии, что в  начальный момент t = 0 частица имела координату s = s₀, получим:

 

                                            (2.16)

 

Запишем теперь полученные в общем виде формулы (2.10), (2.12), (2.14) в конкретном виде для каждого из одномерных потоков жидкости и газа.

 

1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток

 

Площадь поперечного  сечения ω = Bh = const; на контуре питания х₁ = 0, Р₁ = Р_к на галерее х₂ = L, Р₂ =Р_г , из R_1s = x/(Bh), из (2.11) R₁₂ = L/(Bh).

 Тогда

 

.                                      (2.17)

 

,                                        (2.18)

 

.                                      (2.19)

 

 

2. Плоскорадиальный фильтрационный поток

 

Перейдем от координаты s к координате r, отсчитываемой от центра

скважины. Для добывающей скважины s = R_к - r , так что ds = -dr; площадь фильтрационной поверхности ω(s) = 2πrh – боковая поверхность цилиндра; на контуре питания r₁ =R_k, P₁=P_k на забое скважины r₂ =r_c, P₂=P_k . Тогда

 

 

,

 

 

,

 

Из (2.10)

 

                                  (2.20)

 

Из (2.12)

,                             (2.21)

 

Из (2.14)

 

.                                            (2.22)

 

 

2.3  Радиально-сферический фильтрационный поток

 

В этом случае для добывающей скважины с полусферическим забоем имеем: s = Rx - r, ds = - dr, ω(s) = 2πr² - площадь поверхности полусферы с радиусом r; r₁= R_k, P₁ = P_k, r₂ = r_c, P₂ = P_с (смотри рисунок 1.4). Вычисляем фильтрационные сопротивления по формулам (2.7) и (2.11):

 

 

, так как r_c << R_k.

 

Далее из (2.10), (2.12, (2.14) находим:

 

                                 (2.23)

 

;                        (2.24)

 

.                                (2.25)

 

3.  Установившееся движение газированной жидкости в пористой среде.

 

Под неоднородной жидкостью  в подземной гидравлике понимается газированная жидкость (смесь жидкости и пузырьков газа), смесь нефти и воды, смесь нефти, воды и газа. Последняя, в отличие от первых двух, представляющих двухкомпонентные системы, является трехкомпонентной системой, поскольку она содержит три разных фильтрующихся компонента нефть, воду и газ.

 

Уравнения (3.1) в дифференциальной форме имеют вид:

 

                                     (3.1)

 

где (Qж — объемный расход жидкой фазы газированной жидкости;

Qг — объемный расход газа в каждой секции пласта.

 

 

                                       (3.2)

 

                         (3.3)

 

где (Qж - объемный расход жидкой фазы газированной жидкости, движущейся в направлении L;

F — площадь нормального к направлению L сечения пласта, причем F = F(L);

Qг - приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа (свободного и растворенного) через сечение F пласта; Р, причем р - атмосферное давление.

Процесс фильтрации газированной жидкости принят изотермическим, кроме того, предполагается, что газ подчиняется закону идеальных газов, растворение газа в жидкости происходит по закону парциальных давлений и вязкости газа µ_г и жидкости µ_ж меняются при изменении давления.

Обозначим через Г=Qж/Qг газовый фактор. Разделив расход газа (3.3) на расход жидкости (3.2) и учитывая, что в условиях установившейся фильтрации газовый фактор постоянен, имеем:

 

                              (3.4)

 

отсюда

 

                                          (3.5)

 

 

Уравнение (3.5) выражает связь между эффективными проницаемостями для газа kг и жидкости kж, газовым фактором Г и давлением р.

 

Обозначим

                                                      (3.6)

и введем функцию G(S), определяемую условием (7, XIII). Тогда уравнение (3.4) приводится к виду:

 

                                          (3.7)

 

Обозначая левую часть  уравнения (3.7) через постоянную ξ:

 

                                                     (3.8)

получим:

 

                                               (3.9)

 

Из формулы (3.9) имеем:

 

                                                 (3.10)

 

или

 

                                                (3.11)

 

Формула (3.11) позволяет построить зависимость между безразмерным давлением р* и насыщенностью жидкостью порового пространства S. Задаваясь различными значениями S и соответствующими им значениями G(S) (в зависимости от того, какими породами представлена пористая среда) и зная величину α для данных жидкости и газа, вычисляем по уравнению (3.11) давление р*. На рисунке 3.4 показана кривая р* = p*(S), построенная нами на основании кривых (рисунок 3.1), причем α = 0, 015.

Располагая графиками  кривых k’ж = k’ж(S) и k'г= k'г(S) (рисунок 3.1, 3.2 или 3.3) и р* = p*(S) (для несцементированных кривых рисунок 3.4), легко найти графически зависимости k’ж = k’ж(р^*) и k'г= k'г(р^*), где k’ж= kж/ k и k’г= kг/ k - отношения фазовых проницаемостей к проницаемости к пористой среды для однородной жидкости. На рисунке 3.5 приведена кривая зависимости фазовой проницаемости kж от давления р* для несцементированных песков при α = 0, 015.

 

 

Рисунок 3.1: Зависимость фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства несцементированных песков.

 

 

Рисунок 3.2: Зависимость фазовых проницаемостей от насыщенности жидкостью парового пространства сцементированных песков.

 

Рисунок 3.3: Характер зависимости газового фактора при пластовом давлении от насыщенности жидкостью порового пространства.

 

 

Рисунок 3.4: Зависимость между безразмерным давлением р* и насыщенностью жидкостью порового пространства S для несцементированных песков.

 

 

Рисунок 3.5: Зависимость фазовой проницаемости k'ж от безразмерного давления р* при фильтрации газированной жидкости в несцементированных песках.

 

Как видно из рисунка 3.5, чем выше давление в пласте р*, тем больше

величина фазовой проницаемости  для жидкости k’ж, а следовательно, больше дебит скважин. Отсюда вытекает, что эксплуатацию скважин выгоднее вести при более высоких давлениях в пласте.

Так как для обеспечения  притока нефти к забою скважин  необходимо создание депрессии ∆р = р_к - р_с, причем с ростом депрессии дебит скважин увеличивается, то для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления р_к, но не путем снижения забойного давления р_с. Повышение пластового давления достигается закачкой воды за контур нефтеносности либо газа в сводовую часть пласта. Можно сделать вывод о незначительной эффективности интенсификации добычи нефти путем создания на скважинах вакуума.

 

 

 

4.  Одномерное установившееся движение газов по линейному закону фильтрации

 

Согласно линейному  закону фильтрации весовая скорость фильтрации газа в горизонтальном направлении, противоположном направлению оси х, равна:

 

,                                             (4.1)

 

где γ — удельный вес газа, µ— его абсолютная вязкость, принимаемая

постоянной, остальные обозначения  прежние.

 

Рассматривая движение газа в пористой среде как изотермический процесс и считая газ идеальным, в качестве уравнения состояния газа можно принять:

 

                                           (4.2)

 

где γат — удельный вес газа при атмосферном давлении р_ат и пластовой температуре, причем согласно характеристическому уравнению идеальных газов

 

 

Здесь R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.

 

Подставляя в правую часть уравнения (4.1) значение γ из формулы (4.2), получим:

 

                                       (4.3)

Обозначим через G - весовой расход газа, Q - объемный расход газа, F - площадь вертикального сечения пласта. Тогда

 

                                       (4.4)

 

Подставляя в формулу(4.4) значение весовой скорости фильтрации газа из формулы (4.3), получим:

 

                                          (4.5)

 

Введем, следуя Л. С. Лейбензону [100], переменную Р = р². Дифференцируя Р по х, находим:

 

что дает

 

 

Подставляя это значение в формулу (4.5), имеем:

 

                                          (4.6)

 

Поскольку весовой расход газа в случае установившейся фильтрации постоянен, то уравнение (4.6) содержит две переменные Р и х, разделив которые имеем:

 

                                    (4.7)

 

Граничные условия выражаются следующим образом:

х=0, р=р_г, Р=Р_г=р_г²

при

х=L_k, р=р_к, Р=Р_к=р_к²,                                    (4.8)

где р_г — давление газа на выходе из пласта, который (выход) мы условно назовем галереей;

р_к — давление на контуре пласта, удаленном на расстояние L_K от галереи.

 

Интегрируя уравнение (4.7) по Р в пределах от Р_г до Р_к и по х от 0 до L_K и решая полученное уравнение относительно G, находим весовой расход газа:

 

 

или

 

                                (4.9)

 

Для нахождения распределения  давления в пласте проинтегрируем уравнение (4.7) в пределах от Рг до Р и от 0 до ж.

 

,

 

отсюда

 

,                                  (4.10)

 

.                                 (4.11)

 

Из формулы (4.9) имеем:

 

.

 

Подставляя это выражение  в уравнение (4.11), получим:

,                                 (4.12)

 

Если уравнение (4.7) проинтегрировать по Р в пределах от до Р и по х от L_K до х, то, аналогично предыдущему, формулу распределения давления в пласте получим в виде:

 

                            (4.13)

 

Когда начало координат  находится на контуре питания  и направление оси х совпадает с направлением движения газа, в формулу (4.13) вместо (L_K- х) надо подставить х. Тогда

 

.                                    (4.14)

 

 

Формулы (4.11), (4.12) и (4.13) представляют уравнения распределения давления в пласте. В отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, в котором величина давления является линейной функцией координаты х, формулы (4.11) и (4.12) являются уравнениями параболы. На рисунке 4.1 показана кривая распределения давления при установившейся одномерной фильтрации газа (парабола), построенная по формуле (4.12). Если по оси

ординат откладывать не давления р, а квадраты давлений р² = Р, а по оси абсцисс - значения х, то получим прямую линию (рисунок 4.2).

Определим величину средневзвешенного  по объему пласта давления р'.

Обозначим Ω - объем порового пространства газового пласта, L_K — длина пласта (расстояние от контура питания до галереи).

Тогда:

 

.                                                (4.15)

 

Среднее давление

 

,                                             (4.16)

где элементарный объём  пористой среды равен:

 

                                            (4.17)

 

 

 

Рисунок 4.1: Распределение давления в пласте при установившейся одномерной фильтрации газа по линейному закону фильтрации.