Одномерные установившиеся потоки жидкости и газа в пористой среде

 

 

Рисунок 4.2: Распределение квадратов давления Р в пласте при установившееся одномерной фильтрации газов по линейному закону фильтрации.

 

 

Подставляя в уравнение (4.16) вместо Ω, dΩ и р их значения из формул (4.15), (4.17) и (4.14), получим:

 

 

что после интегрирования дает тождественные равенства

 

(4.18)

 

Рассмотрение формулы (4.18) показывает, что в условиях линейной фильтрации среднее давление р не зависит от длины L_K пласта и может значительно отличаться от контурного давления р_к. Так, в частном случае при   р_Г =0

 

                                                  (4.19)

 

т. е. среднее давление составляет 2/3 от контурного давления.

 

Найдем приведенный  к атмосферному давлению объемный расход газа Q. Для этого разделим весовой расход газа G на удельный вес его при атмосферном давлении р_ат. Из формулы (4.9) имеем:

 

                                   (4.20)

 

Из формул (4.20) и (4.9) видно, что, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, расход газа прямо пропорционален не разности давлений (р_к-р_г), а разности квадратов давлений. Если по оси ординат отложить значения Q или G, а по оси абсцисс соответствующие им значения депрессии (р_к - р_г), то получим параболу, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, для которой индикаторная линия выражается прямой (рисунок 4.3).

Найдем скорость фильтрации газа. Для этого приведенный к  атмосферному давлению и пластовой  температуре расход газа Q разделим на величину - F, тогда из формулы (4.20) получим:

 

                               (4.21)

 

где значения давления р даются формулами (4.10) или (4.11).

Формулу (4.21) можно также получить продифференцировав уравнение (4.12) по х и умножив (в соответствии с линейным законом фильтрации) полученное значение градиента давления dp/dx на величину k/µ.

Поскольку с уменьшением х величина р уменьшается, по мере приближения к галерее скорость фильтрации газа увеличивается, в отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, при котором скорость фильтрации постоянна.

Обозначим через Q — объемный расход газа, приведенный к среднеарифметическому давлению

 

.                                      (4.22)

 

Подставляя в формулу (4.22) вместо Q его значение из уравнения (4.20), получим:

 

                             (4.23)

 

Формула (4.23) приведенного к среднеарифметическому давлению объемного расхода газа совпадает с формулой (4.6) расхода для одномерного движения несжимаемой жидкости.

Найдем из формулы (4.20) значение коэффициента проницаемости к.

 

                                  (4.24)

 

Формулой (4.24) пользуются для лабораторного определения  величины коэффициента проницаемости  образцов пористой среды при помощи газа, причем в этом случае р_к и р_г - давление соответственно у входа и выхода газа в образец пористой среды, F - площадь поперечного сечения образца, a L_K его длина.

Если величину к определить из уравнения (4.23), то

                                    (4.25)

Формула (4.25) аналогична формуле (4.15), справедливой для несжимаемой жидкости.

Сравнение формул распределения  давления в пласте при установившейся фильтрации газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью  показывает полное их совпадение. Аналогичное строение имеют и формулы расхода газа и жидкости в обеих указанных формулах расход пропорционален разности квадратов давлений. Математически это объясняется тем, что дифференциальные уравнения установившегося движения газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью одинаковы. С физической точки зрения указанную аналогию можно объяснить тем, что в обоих случаях по мере приближения к галерее (выходу из пласта) имеет место увеличение скорости фильтрации. При движении газа этот рост скорости фильтрации происходит за счет расширения газа вследствие падения давления, при движении жидкости со свободной поверхностью увеличение скорости фильтрации обусловлено уменьшением живого сечения пласта, вызванным непрерывным уменьшением высоты уровня жидкости в пласте по мере приближения ее к галерее.

 

 

5. Установившиеся безнапорные  течения

 

Безнапорным называется фильтрационное течение, при котором  полный напор недостаточен для того, чтобы жидкость поднялась до кровли пласта, в результате чего фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью - поверхностью раздела между грунтовыми водами и воздухом или между нефтью и газом. Аналогичное течение имеем в тех случаях, когда

под слоем движущейся нефти располагается неподвижная  подошвенная вода. В термине «свободная поверхность» пренебрегается тем обстоятельством, что переходная область между жидкостью и газом или между двумя жидкостями в пористой среде не является резкой границей типа границы вода - воздух в стакане, а обязательно размыта из-за действия капиллярных сил. Толщина капиллярного переходного слоя измеряется десятками сантиметров и метрами. Поэтому кратко рассматриваемая в этом параграфе теория оказывается тем более точной, чем больше характерные размеры потока.

Будем рассматривать, таким образом, свободную границу как математическую поверхность, отделяющую фильтрационный поток от области, занятой неподвижной жидкостью. На этой границе должны выполняться два физических условия. С одной стороны, такая поверхность представляет собой поверхность тока, на которой нормальная компонента скорости обращается в нуль:

 

U_n|г=0,                                                       (5.1)

 

а с другой стороны - давление на свободной границе определяется гидростатическим давлением пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости, и потому

 

Р|г=р₀-р'gz                                                  (5.2)

 

где р '— плотность «соседней» жидкости; р₀ - давление в этой жидкости на горизонтальной поверхности (z = 0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (5.2) получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р|г = р_о. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений.

Свободная граница отличается от заданных заранее тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишнее краевое условие служит для отыскания неизвестной заранее свободной границы.

Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важных задач. Эти задачи и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я. Кочиной. В последующем изложении используется лишь приближенная гидравлическая теория так называемых пологих безнапорных движений.

Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водо - упора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала по сравнению с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С, то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мала по сравнению с С, т. е.

 

Uz<<C=kpg/µ.                                           (5.3)

 

Это неравенство можно переписать еще так:

 

µUz/k<<pg.                                            (5.4)

 

Но µUz/k  представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (5.4) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мала по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водо - упора, а через z₀ расстояние от водо - упора до горизонтальной плоскости г = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно

 

                             (5.5)

 

где S — проекция объема V на горизонтальную плоскость.

Вместе с тем указанное  приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt:

 

               (5.6)

 

где Г - замкнутый контур, ограничивающий площадку S; U_n - нормальная компонента скорости и; q_n - нормальная компонента вектора потока q на Г.

Приравнивая (5.5) и (5.6), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка S может быть выбрана произвольно, получаем уравнение:

mh_t+div₂q=0.                                                      (5.7)

 

Заметим, что уравнение (5.7) -точное, справедливое независимо от каких-либо допущений.

Для установления связи  между q и h воспользуемся предположением о пологости движения.

По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина H= z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h + z₀:

 

H = h + z₀ + O (Uz/С);   U = - С grad2 (h + z₀) + О (Uz).

 

Таким образом, пренебрегая  малыми величинами, скорость и можно вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (5.6), определяющем вектор q. Получаем

 

q = - Chgrad₂(h + z₀).                                        (5.8)

 

Подставляя (5.8) в (5.7), имеем:

 

h_t = (С/m) div (hgrad(h + z₀)).                             (5.9)

 

В частности, если поверхность  водо - упора представляет собой горизонтальную плоскость (z₀ = 0), уравнение (5.9) принимает вид:

 

h_t = α∆h², α = C/2m = 2^-1kpg(µm)^-1.                    (5.10)

 

Уравнения (5.9) и (5.10) были впервые получены Буссинеском.

Для стационарных движений уравнение Буссинеска приводится к уравнению Лапласа для квадратичной функции напора:

 

∆x = 0, х = 2^-1 (h² + 2hz₀).                           (5.11)

 

Теория пологих безнапорных  движений приближенная. Несмотря на это, при фильтрации в области, ограниченной цилиндрической поверхностью с вертикальными  образующими и горизонтальным водо - упором, на основе такой теории получаются точные значения дебитов и точные распределения по плоскости вектора интегрального потока q.

 

 

6.  Одномерные безнапорные  фильтрационные потоки жидкости

 

Безнапорное движение жидкости - это такое движение, в котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно.

При неподвижном состоянии  жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь вдоль потока.

Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Кроме того, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения. Главная трудность точного решения задач безнапорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятой грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы.

Рассмотрим прямоугольную  перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости (рисунок 6.1). Уровень жидкости Н₁, называется верхним бьефом, уровень Н₂ - нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая ABC). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания.

Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях:

1) горизонтальные компоненты  скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока;

2) давление вдоль вертикали  распределено по гидростатическому закону, т. е. напор.

 

 

 

 

Рисунок 6.1: Схема безнапорного течения через прямоугольную перемычку

 

                                      (6.1)

 

Таким образом, напор  вдоль каждой вертикали предполагается постоянным.

Считая давление на свободной  поверхности атмосферным (т.е. избыточное давление равно нулю), из (6.1), получим, что напор равен глубине потока h: Н=h.

Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали и равна:

 

W_x=-k_фdh/dx,

 

где k_ф = kрq/η - коэффициент фильтрации.

 

Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю. Расход жидкости на единицу ширины потока q, т.е. через прямоугольник высотой h и единичной шириной равен: