Аналитическая геометрия

Плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат, называется координатной и обозначается Оху. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями, квадрантами или координатными углами.

 П о л я р н ы е   к о о р д и н а т ы. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба (рис.3). Точка О называется полюсом, полупрямая Ор – полярной осью. Полярными координатами точки М (отличной от О) называются два числа r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось Ор до совмещения с полупрямой ОМ.

Точку М с полярными координатами  r и j обозначают символом М(r ; j). Полярный угол j измеряется в радианах. Полюсу О соответствует полярный радиус r = 0, полярный угол для него не определен.

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и упорядоченными парами полярных координат (r ; j) было взаимно однозначным, обычно считают, что r и j изменяются в следующих  границах:

.       

Установим связь между декартовыми координатами точки и ее полярными координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительную полуось  Ох  примем за полярную ось . Такие две системы координат называются согласованными.

Пусть точка М имеет декартовы координаты (х; у) и полярные координаты (r ; j).

   ,         

   .         

Формулы выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки М на координатной плоскости. Формулы выражают полярные координаты точки М через ее декартовы координаты и тоже верны при любом положении точки М, если она не лежит на оси Оу, т. е. если х ¹ 0. Заметим, что вторая из формул дает два значения j. Поэтому для вычисления полярного угла j точки М по ее декартовым координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.

Иногда на плоскости вводят и другие координаты. Примером могут служить эллиптические координаты – им соответствуют взаимно перпендикулярные семейства эллипсов и гипербол. Такие координаты оказываются удобными при рассмотрении некоторых конкретных задач механики и физики. Однако, в большинстве случаев пользуются самыми простыми координатами – декартовыми прямоугольными координатами.

 

 

 

 

 

5. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя попарно перпендикулярными осями координат с общим началом:

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Плоскости Оху, Оуz, Ozx называются плоскостями координат. Система координат Охуz называется правой, если для наблюдателя, стоящего на плоскости Оху и расположенного так, что ось Оz направлена от ног к голове, кратчайший поворот, совмещающий положительное направление оси Ох с положительным направлением оси Оу, происходит против часовой стрелки. Если же такой поворот происходит по часовой стрелке, то система называется левой. Названия "правая система" и "левая система" объясняются тем, что оси координат правой системы направлены как большой, указательный, средний палец правой руки, расположенные попарно перпендикулярно друг другу, а оси левой системы – как пальцы левой руки. Радиус-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называется вектор . Координатами точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат называются проекции ее радиус-вектора на оси координат:

х=Прх ,    у=Пру ,    z=Прz , т.е. скалярные величины направленных отрезков  на осях Ох, Оу, Оz:

х=(ОР)х, у=(ОQ)y, z=(OR)z,

где P, Q, R – проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz соответственно. При этом пишут

Существует определения координат вектора.

Координатами вектора  относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называются его проекции на оси координат: ах=Прх , ау=Пру , аz=Прz . При этом употребляется запись =( ах ,ау, аz).  Координаты вектора равны разностям между координатами его конца и начала: если  , то

, , выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Действительно, . Следовательно,

.

Аналогичным образом можно найти выражения для , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Трудно переоценить значение декартовой системе координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов получило решение, состоящее в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Метод координат лежит в основе расчетов  сложных физических процессов, траектории движения космических и наземных объектов и т.д.

Сферическая и полярная системы координат иногда бывают удобней прямоугольной декартовой, особенно в задачах, связанных с окружностями или дугами кривых. Метод координат позволяет быстро и красиво решать сложные геометрические задачи, он имеет ряд преимуществ по сравнению с векторным методом, даёт наглядное представление на координатной плоскости и в пространстве сложных зависимостей, выраженных формулами, уравнениями. Графики функций позволяют описать свойства этих функций. Многие линии, фигуры можно описать в координатах. Векторный и координатный методы тесно связаны друг с другом. Выбор зависит от условия задачи, поставленного вопроса. Нельзя сказать, что какой-то  из методов решения лучше или проще для целой серии задач. Выбор системы координат для конкретных задач более конкретен. При практическом применении понятия координат, координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.

В результате исследования можно сделать вывод, что метод координат (и математика в целом) развивается исходя из практических нужд. В том числе метод координат играет огромную роль в динамике, географии, астрономии. Аналитическая геометрия так же используется при описании строения земной коры. В частности, можно осуществлять аппроксимацию складок земной коры линиями первого и второго порядков. Векторы применяются для пространственного описания тектонических движений, деформаций и напряжений в земной коре. Ныне аналитическая геометрия применяется в различных разделах математики, механики, физики и т.д.

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1. Бахвалов C. В., Бабушкин Л. И. Аналитическая геометрия. М., 1962.

 

2. Погорелов А.В., Аналитическая геометрия, 4 изд., М., Наука, 2004.

 

3. Антонов В. И. и др. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект.. - Проспект, 2011. - 139 с.

 

4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240 с.

 

5. http://a-geometry.narod.ru/theory/theory_27.htm

         Декартовые прямоугольные координаты  в пространстве.

 

6. http://www.cleverstudents.ru/cartesian_rectangular_coordinates.html

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.