Дифференциальная геометрия кривых

Дифференциальная геометрия кривых

Современное общество нуждается в грамотных специалистах, способных принимать и реализовывать творческие решения в различных областях. Для современного культурно-образовательного пространства характерны интеграция наук, стремление получить наиболее точное представление об общей картине мира. Направленность обучения топологии и дифференциальной геометрии на постижение и применение системообразующих оснований и глубинных связей между многообразными процессами окружающего мира в результате реализации гуманитарного потенциала обучения этим дисциплинам и применения информационных технологий предполагает формирование в сознании студентов целостной картины реального мира с учетом их психологических особенностей и ограниченности учебного времени.

В процессе обучения студентов дифференциальной геометрии важную роль играет система практических задач и упражнений.

В данной работе мы рассмотрим исследование плоской кривой в евклидовом пространстве на примере гиперболы. Для этого воспользуемся методами дифференциальной геометрии.

Напомним основные определения. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1и F2 есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния (2с) между этими заданными точками. [1, стр. 274]

Гипербола имеет каноническое уравнение:

Подставим в это уравнение . Получим основное гиперболическое тождество. Таким образом, параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид (1), а уравнение гиперболы в координатной форме имеет вид (2):

                                                                                         (1)

                                                                            (2)

Для исследования гиперболы нам понадобятся первая, вторая и третья производные уравнения (2):

                                                                     (3)

                                                                     (4)

                                                                    (5)

Из курса дифференциальной геометрии мы знаем: уравнение касательной к кривой

 
                                                                                                               (6)

уравнение нормальной плоскости                  

          (7)

уравнение главной нормали

                                                                                                        (8)

где a, b, c координаты вектора d, e, f координаты вектора ,

уравнение кривизны кривой

                                                                                                        (9)

уравнение кручение кривой

                                                                                                       (10)

уравнение соприкасающейся плоскости

                                =0                       (11)

где (X,Y,Z) координаты текущей точки касательной; (x(t),y(t),z(t)) координаты точки касания; (x'(t), y'(t), z'(t)) ; (x''(t), y''(t), z''(t)) координаты направляющих векторов ', '' вычисленные в точке касания,

уравнение спрямляющейся плоскости

                                                                                    (12)

где a,b,c координаты кривой заданной уравнением  (t) , d, e, f координаты уравнения первой производной (t), g, k, Ɩ координаты уравнения второй производной 

уравнение бинормали

                                                                                                                     (13)

Подставив значения уравнений (2) и (3) в уравнение (6), получим уравнение касательной к гиперболе:

Подставив значения уравнений (2) и (3) в уравнение (7), получим уравнение нормальной плоскости:

Подставив значения уравнений (2), (3) и (4) в уравнение (8), получим уравнение главной нормали:

 

 

 

Подставив значения уравнений (3) и (4) в уравнение (9), получим уравнение кривизны кривой:

 

 

 

Подставив значения уравнений (3), (4)и (5) в уравнение (10), получим уравнение кручения кривой:

= =0

Следовательно g=0. Значит гипербола плоская кривая, в таком случае уравнений соприкасающейся, спрямляющейся плоскостей и бинормали не будет.

Решение подобных задач способствует повышению развития интеллектуального уровня студентов,а так же поддержания и развития научного потенциала, что самым положительным образом скажется на состоянии науки и культуры и всего российского общества в целом.

 

Литература.

1. Бортаковский. А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб.пособие/А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — М.: Высш. шк., 2005. — 496 с: ил. — (Серия «Прикладная математика»).

2. Атанасян Л. С, Базылев В. Т. Геометрия. Учеб.пособие для студентов физ.-мат. фак. пед.Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с.