История Геометрии

 

Высоко оценил «Геометрические исследования»  Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой  геометрической системы Гаусс не выступил.

Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии

 

Высокая оценка гауссом  открытия Лобачевского была связана  с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий, пришел к тем же выводам, что  и Лобачевский. Свои взгляды по этому  вопросу Гаусс не публиковал, они  сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам  к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей  геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными  осами» Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.

 

Янош Бояи.

 

Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик  Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.

Когда Я. Бояи пришел к тем  же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не понял его, однако предложил  напечатать краткое изложение его  открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему  в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку  о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда  решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признано при  его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак  не способствовал признанию открытия Я. Бояи.

 

Геометрия Лобачевского

 

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место  в реальном мире – «употребительная»  или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли  на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от  на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

 

Это объясняет, что под  «строгим доказательством теоремы  о параллельных» в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность  установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет  место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

 

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-1838). Изложение геометрии у  Лобачевского основывается на чисто  топологических свойствах прикосновения  и сечения, конгруэнтность тел и  равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

 

В позднейших работах Лобачевский  ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых  определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение  воображаемой геометрии к некоторым  интегралам» (Учен. зап. Казан. ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.

          Геометрия XX века

Истекшие годы первой четверти XX в. не только подводили итоги всему  этому обширному циклу идей, но дали новое их развитие, новые применения, которые довели их до расцвета. Прежде всего XX век принес новую ветвь геометрии. Нельзя сказать, чтобы она в этом веке возникла. Но подобно тому, как проективная геометрия создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в течение двух веков, так из многообразных отрывочных идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в. складывается особая дисциплина — топология

 

К началу XX века относится  зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении. Этот метод разработан Б. Майором  и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым.

Геометрия Эйнштейна — Минковского

Геометрическая сторона  построенной Эйнштейном теории относительности, особенно оттененная Минковским, заключается  в том, что мироздание, не в его  статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают  как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами.

Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют всегда, тогда  как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью  построить риманову геометрию этого  четырехмерного многообразия так, чтобы  охватить одной общей схемой как  пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в  таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система правильно  отображает эти соотношения в  бесконечно малом элементе мира и  в порядке интегрирования дает возможность  выразить процессы конечные во времени  и пространстве.

Роль геометрии в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о  геометризации физики. Самая, возможность  такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность  и тех достижений, которые Эйнштейну  удалось получить, основана, если можно  так выразиться, на геометризации  самой римановой геометрии

Заключение

 

Неевклидова геометрия  сыграла огромную роль во всей современной  математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя  Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена  вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с  геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд  показал, что закон сложения скоростей  данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский  и Бояи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

 

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения  зависят от физической структуры  материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все  с большей настоятельностью выдвигает  необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам  микромира.

 

Геометрия претендует в  качестве наиболее мощного орудия точного  естествознания на овладение механикой  и физикой, она стоит у вершины  человеческого знания. Удастся ли ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.

 

Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов  независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия  не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

Список литературы

 

Демьянов В.П. Геометрия  и Марсельеза. – М.: Знание, 1986.

 

Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.:    Московский университет, 1963.

 

Математика XIX века. – М.: Наука, 1981.

 

Свечников А.А. Путешествие  в историю математики или как  люди научились считать. – М.: Просвещение, 1995.

 

Юшкевич А.П. История математики в России. – М.: Наука, 1968.