Лекция по "Геометрии"

ЛЕКЦИЯ 1  МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1.1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Центральное проецирование  является наиболее общим случаем  получения проекций геометрических фигур.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем: в пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования, и плоскость, не проходящую через точку S – плоскость проецирования (рис.1).

Рис. 1.

А , А¹S, А, В – точки в пространстве S – центр проекций [SA), [SB) – проецирующие лучи А₁;В₁- проекции точек А и В

 – плоскость проекций

[SA) ∩ ₌ А₁

[SB) ∩ =В₁

 

Чтобы спроецировать точку А  пространства на плоскость , через центр проецирования S и точку А проводят прямую до ее  пересечения с плоскостью проекций (рис.1).

 

 

Рис. 2.

Проекцией фигуры называют множество  проекций всех ее точек.

Проекция криволинейной фигуры представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности и плоскости проекций (рис.2).

Свойства центрального проецирования:

Так как через две различные  точки можно провести одну и только одну прямую, то при заданном центре проецирования и плоскости проекций, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис.3.

Обратное утверждение  – каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка пространства, не имеет смысла. Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для того, чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис.3).

 

 

 

 

 

 

1.2.ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой, и проекции точек, фигур и тел получают названия параллельных проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол 90^о, а во втором не равный 90^о (рис.4 и рис.5).

Рис. 4.	Рис.5.

 

Каждой точке пространства соответствует только одна параллельная проекция. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для определения точки  в пространстве необходимо иметь  две ее параллельные проекции, полученные при различных направлениях проецирования (рис.6).

Рис. 6.

В дальнейшем мы будем пользоваться параллельными проекциями, ортогональными (прямоугольными) и аксонометрическими, причем первые будут прямоугольными, а вторые прямоугольными и косоугольными.

 

 

 

 

 

1. 3. Ортогональные проекции точки (Эпюр Монжа).

Сущность метода ортогонального проецирования заключается  в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим двум плоскостям.

Одну из этих плоскостей проекций располагают горизонтально, а вторую – вертикально. Плоскость называется горизонтальной плоскостью проекций, – фронтальной. Плоскости и бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций (координат) и обозначается ОХ.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла (четверти) I, II, III, IV (рис.7).

 

Рис.7. Система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной  проекцией точки на плоскость  называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

А₁ – горизонтальная проекция точки А

А₂ - фронтальная проекция точки А

Проецирующие лучи определяют плоскость

a ([АА₂] [АА₁]) перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения – оси ОХ. Эта плоскость пересекает и по отрезкам прямых [А₁А_х] и [А₂А_х], которые образуют с осью Х и друг с другом прямые углы с вершиной в точке А_х

АА₁ = А₂А_х – расстояние от точки А до

АА₂ = А₁А_х -  расстояние от точки А до

Ортогональные проекции точки  на две взаимно перпендикулярные плоскости вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение проекций точек  в 4-х угловых пространствах показано на рис.8.

Рис.8.

Чтобы получить плоский чертеж, плоскость  совмещают вращением вокруг оси ОХ с плоскостью .

Проекционный  чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (рис.9).

I	II	III	IV	N	M
Рис.9.

Проекции одной  и той же точки на две взаимно  перпендикулярные плоскости располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций х₁₂.

Эта прямая называется направлением проецирования или  линией проекционной связи.

 

1.4. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Две проекции точки  вполне определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляют собой совокупность точек, то можно утверждать, что две ортогональные проекции предмета вполне определяют его форму.

Однако на практике часто возникает необходимость  создания дополнительных проекций. - профильная плоскость проекции [AA₃ ] (рис.10).

 

Рис. 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проекции точек  на профильную плоскость проекций называются профильными проекциями – А₃.

Плоскости проекций попарно пересекаясь определяют три оси ОX; ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

А₁Ау = Х – абсцисса (расстояние от точки до )

А₁Ах= Y - ординат (расстояние от точки до )

А₂Ах = Z - аппликата (расстояние от точки до )

Длины проецирующих перпендикуляров, определяющих расстояние точки до плоскостей проекций, являются координатами точки. Задание точки осуществляется в следующем виде: А (Х, Y, Z). Знаки координат Х, Y, Z в четырех угловых пространствах показаны в таблице1.

 

Таблица 1

 

	X	Y	Z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ И ПЛОСКОСТЬ ТОЖДЕСТВА)

Плоскость, которая  проходит через I и III угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью симметрии и обозначается (рис. 11).

Плоскость, которая  проходит через II и IV угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью тождества и обозначается (рис.12).

 

Рис. 11	Рис. 12.
Рис.13..

На рис.13 изображен  вид А пересекающихся плоскостей ; ; s; , на котором легко определяются координаты точек A, B, C, D, принадлежащих плоскостям s и .

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости симметрии одинаковы по величине и по знаку: Уа = Z_А ; -У_С = Z_С.

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости тождества одинаковы по величине, но противоположны по знаку: -У_В = Z_В; У_D = - Z_D

 

1.6. ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО БИССЕКТОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Пусть точка L симметрична точке К относительно s (рис.14). Тогда координата Y_К равна по величине и по знаку координате Z_L  (Y_К = Z_L), а координата Z_К равна по величине и по знаку координате Y_L (Z_К = Y_L).

Координаты Y и Z точек, симметричных относительно плоскости симметрии, равны по величине и по знаку координатам Z и Y заданных точек.

Пусть точка  М симметрична точке К относительно плоскости тождества  (рис.15). Тогда координаты Y_К равны по величине, но противоположны по знаку координате –Z_М, а координата Z_К равна по величине, но противоположна по знаку координате –Y_М (Y_К = –Z_М; Z_К = –Y_М).

 

А	А
Рис.14	Рис. 15.

 

1.8.ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

 

Пусть точка В симметрична точке А относительно плоскости (рис.16).

Рис.16

У точек симметричных  относительно горизонтальной плоскости проекций координата Z меняет знак на противоположный Z_А= -Z_В. А(Х,Y,Z); В(Х,Y,-Z).

Пусть точка С симметрична точке А относительно плоскости проекций . У точек, симметричных относительно фронтальной плоскости проекций координата Y меняет знак на противоположный -Y_C= Y_A. А(Х,Y,Z); С(Х,-Y,Z).

Пусть точка D симметрична точке А относительно оси проекций ОХ. У точек, симметричных относительно оси проекций ОХ, координаты Y и Z меняют знак на противоположный Y_D= -Y_A; Z_D= -Z_A. А(Х,Y,Z); D(Х,-Y,-Z).