Начертательная геометрия как составляющая инженерного творчества

Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом. На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света.

Очень удобно в проекциях  с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых  имеют одинаковые отметки. Линии  уровня проецируются на П₀ без искажения своей формы (применяется в картографии).

Проекции с числовыми  отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками  очевидна.

Рис. 5. Сущность метода с числовыми  отметками

 

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке (французский военный инженер – капитан Нуазе, 1823г.).

Чертежи в проекциях  с числовыми отметками построены  на одной плоскости проекций –  на одной картине и часто называются однокартинными.

 

4. Г. Монж - творец новой науки и его метод

Сведения и приёмы построений, обуславливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно с древних времён. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрёл вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т.е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путём простых приёмов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приёмы построения таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского учёного Монжа, изданном в 1799 году. Изложенный французом Гаспаром Монжем (1746-1818) метод - метод ортогонального проецирования - обеспечивал выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остаётся основным методом составления технических чертежей.

Гаспар Монж свел невозможные  фактически «чертежные» построения в пространстве трех измерений к действиям над двумя ортогональными проекциями какого-либо тела, получаемыми на двух, неизменно связанных между собою, взаимно перпендикулярных координатных плоскостях, служащих плоскостями проекций. Неизменная связь достигается неизменной постоянной по положению в пространстве линией пересечения этих плоскостей проекций. Таким образом, в начертательной геометрии Монжа впервые появляется ось прекций, которая до него не была известна. Для того же, чтобы весь чертеж, состоящий из двух проекций, располагался на одном плоском листе бумаги, Монж, посредством вращения плоскостей проекций вокруг их линии пересечения, развертывает эти плоскости, совмещая их в одну плоскость. Однако названия «оси проекции» он не упоминает на протяжении всего своего курса, называя ее всегда линией пересечения плоскостей проекций. При изложении курса перспективы он вводит термин «Iigne de terre», не встречаемый в «Geometric descriptive». 
Отметим при этом, что плоский чертеж - не выдумка Монжа, а принудительное естественное условие. Стереометрические задачи в пространстве трех измерений можно решать только умозрительно. Практически же мы вынуждены прибегать к поверхности двух измерений. Архитекторы древности и средневековья делали это на земле, на песке и на самом строительном материале, на полу, на стенах и т.п. 
Монж, анализируя различные практические приемы, применяемые в строительном деле, отделил элементы теории и разработал стройную логическую научную систему построения в проекциях различных основных задач на прямую линию, плоскость и др. Он говорил: «Кто совсем свободно знает прямую и плоскость, тот не встретит затруднений в начертательной геометрии».

На основании разработанной  Монжем общей геометрической теории все вопросы прикладного характера  находили решение, и даже такие, которые до этого считались неразрешимыми. Оказалось возможным не прибегать к изготовлению моделей, которые до того времени являлись неотъемлемой составной частью строительного проекта. Сам Монж в качестве ученика испытал на себе в Мезьерской школе эту практику «гипсового училища», как иронически называли вспомогательное отделение школы. 
М. Шаль, рассматривая прикладную сторону, говорит: «Понятно, что, начертательная геометрия должна была бы существовать во все времена. И в самом деле, мастера каменного дела и плотники всегда определяли и набрасывали рисунки на плоскости - формы тех тел о трех измерениях, которые приходилось им строить. Было даже несколько руководств, и хороших..., тем не менее приурочить практические вопросы к необходимому числу отвлеченных и элементарных действий никому не приходило в голову, а в особенности собрать их все в одно руководство с самостоятельным заглавием, с тем, чтобы придать им характер учения, независимо от практических навыков, из ряда которых они достаточно уже вышли. Это задумал и выполнил с редким талантом Монж»².

Так оценил новую науку  французский математик М. Шаль в  своей вступительной речи к курсу  высшей геометрии, читанной в Парижском  факультете наук 23 декабря 1846 г. Шаль считает, что Монж и Карно «оживили во Франции дух геометрического метода и вдохновили молодых математиков, которые вскоре пошли по этому пути»³.

В соответствии с методом  предложенным Г. Монжем рассмотрим в  пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.1.6). Одну из плоскостей проекций П₁   располагают горизонтально, а вторую П₂ - вертикально. П₁ - горизонтальная плоскость проекций, П₂- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят  пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат  и обозначается x₂₁.

Так как эти плоскости  непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Рис.6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Чтобы получить плоский  чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси x₁₂ с плоскостью П₂ (рис.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром (Франц. Epure – чертеж.). Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Геометрические объекты  делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

М. Шаль отмечает всеобщность  и простоту графических приемов Монжа, годных и для простого рабочего и для инженера. «До этого применяли разнообразные приемы, а если пользовались проекциями, то неодинаково: плоскости проекций были различны, и чертеж не поддавался такому быстрому и верному пониманию, как эпюры Монжа. Начертательная геометрия упростила графические действия, необходимые строителям; она облегчила их изучение, сделала их общедоступными, тогда как ученые работы Деларю, Фрезье и другие, которым такого первоначального обоснования недоставало, были доступны только геометрам и инженерам»⁴.

Построение разверток  поверхностей дает возможность легко  изготовлять модели. Поэтому Монж сохранил их в своем преподавании, но уже с целью проверки результатов  графических построений.

 

 

 

 

 

Заключение

Начертательная геометрия, раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

Начертательная геометрия входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения и построения трёхмерных объектов на двухмерной плоскости чертежа и методов решения задач геометрического (чертежного) характера с этими изображениями.

Изображения, построенные  по правилам начертательной геометрии, позволяют:

• мысленно представить форму предметов,
• точно определить их взаимное расположение и сопряжение в пространстве,
• определить их истинные размеры,
• исследовать геометрические свойства объектов.

Значительную роль в  развитии науки о методах изображения  сыграл знаменитый французский ученый, геометр и инженер, общественный деятель Гаспар Монж (1746-1818). В его книге «Начертательная геометрия» сделаны первые попытки построить тени на ортогональном чертеже - эпюре и в перспективе. Там же даны рекомендации, как выполнять тушевку предмета в соответствии с законами воздушной перспективы.

Работы Гаспара Монжа  явились своеобразным логическим завершением всего, что было сделано раньше, и началом нового этапа в развитии науки о построении графических изображений - начертательной геометрии.

 

Список литературы

1. Гаспар Монж - творец начертательной геометрии [электронный ресурс]. – режим доступа http://www.detskiysad.ru/
2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие / Под ред. Ю.Б. Иванова. – 23.е изд. перераб. – М.: Наука. 1988.-272 с.
3. Забелин А.В.  Основы начертательной геометрии / Под ред. В.И. Горячева. – Тверь.: ТГТУ, 2006. – 188с.
4. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров и другие. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847с.
5. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Инженерная графика. - М.: Высшая школа, 1990.-112 с.
6. Шевченко О.Н. О познавательном интересе, начертательной геометрии и многом другом : Учебное пособие.- Оренбург: ГОУ ВПО «ОГУ», 2003.- 154 с.

¹ Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров и другие. - М.: Сов. энциклопедия, 1988.

² Гаспар Монж - творец начертательной геометрии [электронный ресурс]. – режим доступа http://www.detskiysad.ru/

³ Там же.

⁴ Гаспар Монж - творец начертательной геометрии [электронный ресурс]. – режим доступа http://www.detskiysad.ru/