Окружность

Введение

  

  Я выбрала именно эту тему для своего реферата, потому что многие интересные, красивые, но и трудные теоремы связаны с окружностью. Окружность можно назвать своего рода «колесом геометрии». К тому же одно из свойств колеса – его ось остаётся всё время на неизменном расстоянии от поверхности, по которой оно катится,- в математической формулировке превращается в определение окружности.

 

Поэтому, целью своей работы считаю:

 

1. обобщить свои знания об окружности;

 

2. существенно расширить кругозор, рассмотрев новые геометрические теоремы и свойства, связанные с окружностью;

 

3. также, предложенные мною некоторые задачи имеют практическое значение (задачи о сечении головки газового вентиля, о поперечном сечении деревянного бруска).

 

Примечание  к работе:

можно использовать при работе математического кружка,

при подготовке тематических геометрических вечеров.

 

 

 

 

 

 

Определения

  Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром.

  Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.

  Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется  хордой.                  Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности.

Уравнение окружности

Если точка  С – центр окружности, R – её радиус, а М – произвольная точка  окружности, то по определению окружности | СМ | = R.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат (рис.2) и точка С (a; b) – центр окружности радиуса R.

   Пусть М (x; y) – произвольная точка этой    окружности.

 

  Так как | СМ | = √ (x – a)² + (y – b)², то уравнение              можно записать так:

   

                       √ (x − a)² + (y − b)² = R

                                   или

                                                     (x − a)² + (y − b)² = R²

   Это уравнение называют общим уравнением окружности        или радиуса R с центром в точке (а; b).

  Например, уравнение (x – 1)² + (y + 3)² = 25 есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; -3).

  Если центр окружности  совпадает с началом координат,  то уравнение принимает вид:  x² + y² = R².

   Это уравнение  называют каноническим уравнением окружности.

Взаимное положение прямой и окружности

 

  Возможны следующие три случая взаимного положения прямой и окружности:                                                                                                                                   1) Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (рис.3).

                                  

2) Прямая с  окружностью имеет только одну общую точку (рис.4).

Прямая, имеющая  с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

                                

3) Прямая имеет  с окружностью две общие точки (рис.5).

Такая прямая называется секущей.

                                  

 

 

Теорема о касательной к окружности

 

  Теорема 1: Прямая, перпендикулярная к радиусу в конечной его точке, лежащей на окружности, является касательной к окружности.

         Пусть ОМ – радиус окружности, CD _|_ ОM (рис.4).

         Требуется доказать, что CD – касательная к окружности.

Доказательство:

  Если ОМ _|_ СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ, следовательно, всякая точка прямой СD, кроме точки М, лежит вне круга. Поэтому точка М – единственная общая точка прямой СD и окружности, а это означает, что СD – касательная к окружности. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градусная мера дуги окружности

Дуга называется  полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. На рис.11, а изображены две полуокружности, одна из которых выделена  цветом.

                                

     Угол с вершиной в центре окружности называется ее   центральным   углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис.11, а, b). Если ﮮАОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности (рис.11, а).

    Если ﮮАОВ  неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, меньше  полуокружности. На рисунке 11, б эта дуга выделена цветом. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше  полуокружности (ںАLВ на рис.11, в).

           

 

 

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис.11, а, б). Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360˚ – ﮮАОВ (см. рис.11, в).

            Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360˚.

   Градусная мера дуги  АВ (ںАLВ), как и сама дуга, обозначается символом  ںАВ (ںАLВ). На рис.12 градусная мера дуги САВ равна 145˚. Обычно говорят кратко: «ںСАВ равна 145˚» - и пишут: ںСАВ=145˚. На этом же рисунке ںАDВ=360˚-115˚=245˚,

 ںСDВ=360˚-145˚=215˚, ںDВ=180˚.                                              

 

 

 

 

Теорема о вписанном угле

 

  Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

  На рис.13 ﮮАВС вписанный, дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном угле.

 

 

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

  Пусть ﮮАВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис.14). Докажем, что                ﮮАВС = ½ ں АС. Рассмотрим один из возможных случаев расположения луча ВО относительно угла АВС.

        Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис.14). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ﮮАОС= ںАС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ﮮАОС = ﮮ1+ﮮ2=2ﮮ1.

    Отсюда следует, что 2ﮮ1 = ںАС или ﮮАВС = ﮮ1 = ½ ںАС.

    Теорема доказана. 
 

 

 

 

Следствие  1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис.15).

  Следствие  2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой (рис.16).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные  теоремы об описанной и вписанной  окружности

  Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник

называется вписанным в эту окружность.    

  Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

     Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность.

                                       Доказательство:

  Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (рис.18). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана. 

                                                                                                                                                                                                                        

                                                                        Рис.18

 

 

Замечание:

1) Отметим, что  в треугольник можно вписать только одну окружность.

2) В отличие  от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

 

  Теорема: Около любого треугольника можно описать                                                           окружность.

Доказательство:

  Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС (рис.21). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то OA = OB = OC. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

                                                     

                                                                    Рис.21

 

 

 

 

 

 

Замечание:                                             

1) Отметим, что  около треугольника можно описать только одну окружность.

2) В отличие  от треугольника около четырехугольника  не всегда можно описать окружность.

 Около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

  Если сумма противоположных углов четырехугольника   равна 180⁰, то около него можно описать окружность.

 

 

Теорема об окружности, описанной  около правильного многоугольника

 

Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать  окружность, и притом только одну.

 

Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник

 

 Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1

   Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

                    

          Дано: r АВС - правильный,

                          а = 3 см,

описанная окружность (О,R).

                Найти: D.

                                                                                 

                 Решение:

 D = 2R,

a₃ = R Þ R = = .

D = 2 · R = .             

Ответ: минимальный диаметр круглого железного стержня должен быть  равным см.

Задача №2

   Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдем наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска?

                                                  Дано: АВСD – квадрат,

    А                 В                                                         а = 6 см,

                                                              вписанная окружность (O,r).

    D                 С                                Найти: d.

Решение:

r = = 3 (см),

d = 2r = 2 ·3 = 6 см.

Ответ: наибольший диаметр круглого стержня равен 6 см.

Длина окружности

  Если длину окружности обозначить буквой С, диаметр – буквой D, радиус - буквой r, то получим для вычисления длины окружности такую формулу: С = Dπ, или С = 2πr.

  Греческой  буквой π (пи) обозначают - число, показывающее отношение окружности к своему диаметру.

   Обыкновенно при вычислениях длины окружности ограничиваются сотыми долями и принимают π ≈ 3,14.

 

Длина дуги в nº

    Чтобы найти длину дуги в n˚, надо сначала определить длину дуги в 1˚, для чего длину окружности разделить на 360, а затем полученный результат умножить на n.

   Получаем  формулу: l = 2πrn = πrn, где l – длина дуги.

                                            360     180

 

Площадь круга

  Площадь круга вычисляется по формуле: S = π r ²,

 где S – площадь круга.

  Задача:

Дано: ∆АВС – описан около круга (О; r), АВ = ВС = АС = а.

Найти: S круга.

Решение:

               АВ = r · 2√3,      

            

            r =   а    = а√3                    

                                    2√3       6                

 

                                 S = π r ² = π a ² .

                                                   12                         

ИЗ ИСТОРИИ:

0 вписанных углах. Гиппократ Хиосский

  Изложенное в современных учебниках доказательство того, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, дано в «Началах» Евклида. На это предложение ссылается, однако, еще Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) в своем труде о «луночках». Труды Гиппократа свидетельствуют о том, что уже во второй половине V в. до н. э. было известно большое число теорем, изложенных в «Началах» Евклида, и геометрия достигла высокого развития.

  Тот факт, что опирающийся на диаметр  вписанный угол—прямой, был известен  вавилонянам еще 4000 лет назад.  Первое его доказательство приписывается  Памфилией, римской писательницей времен Нерона, Фалесу Милетскому. Некоторые комментаторы Евклида полагают, что доказательство Фалеса, основанное на предложении, что сумма углов трёугольника равна 2d, было следующее: обозначив углы при диаметре через 1, 2, а части угла АВС, на которые он рассекается радиусом ОС, через 3, 4, получаем, с одной стороны: