Определение многогранника и его элементов

§ 1. Определение многогранника и его элементов 
 
 
Определение: многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. 
 
Многогранники делятся на выпуклые и невыпуклые 
 
Определение: выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости 
 
Выпуклые многогранники, в свою очередь, делятся на неправильные и правильные 
 
Определение: Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. 
 
Многогранник называется правильным, если: 
 
1 он выпуклый 
 
2 все его грани являются равными правильными многоугольниками 
 
3 в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер[1] 
 
Всего существует 5 правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), доказательство этого факта я рассмотрю в следующем параграфе 
 
Таблица 1

 
 
 
В Таблице 1 приведены сведения о числе граней, ребер и вершин правильных многогранников 
 
§ 2. Пять правильных многогранников 
 
 
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".  
 
Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Рассмотрим доказательство данного факта.[2] 
 
Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще  
n-угольники при  
n больше либо равным шести. 
 
В самом деле, угол правильного n-угольника при  n больше либо равным шести не меньше 120 градусов (углы между сторонами правильного многоугольника не меньше 180-360/p градусов (где p-число ребер)). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n больше либо равным шести, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше, чем 120 * 3 = 360 градусов. Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.[3]  
 
Мы  доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Евклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии[4]. 
 
§ 3. Теорема Эйлера 
 
 
Теорема Эйлера для многогранников  — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере. 
 
Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2     ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно. 
 
  Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2). 
 
Таблица № 2

 
 
 
Вот теперь закономерность видна.  
 
Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:   Г + В = Р + 2. 
 
Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.[5] 
Глава 2 
 
Исследования правильных многогранников в период до нашей эры 
 
 
 
Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.[6]  
 
В рамках этого этапа, на мой взгляд, можно выявить  две основных составляющих: 
 
1. Теория «4 стихий» Платона 
 
2. Построение правильных многоугольников  Евклидом 
 
Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в Платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин Платоновых тел, ни объемы правильных многогранников, ни число ребер или граней.  
 
В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.[7]  
 
Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники со  сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1. 
 
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней       Греции создаются философские школы ,  в которых происходит постепенный переход         от практической к философской геометрии.   Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.  
 
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.  
 
Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый   или звездчатый пятиугольник.  
 
 Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды.  
 
Средневековая математика почти никак не продвинулась в вопросе построения правильных многогранников. Начался новый период изучения правильных многогранников, который я рассмотрю в следующей главе. 
 
Глава 3 
 
Исследования правильных многогранников в  
XVI 
–  
XIX 
вв. 
 
 
 
 А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571-1630). Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.  
В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних растояний от Солнца.  
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.[8] 
 
Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр). [9] 
Таким образом, в рамках второго этапа исследований можно выявить 3 составляющих: 
 
1.   «Космический кубок» Кеплера 
 
2.   Работа «О многоугольниках и многогранниках» и теория правильных звездчатых многогранников Луи Пуансо 
 
3.   Работа «Исследование многогранников» Луи Коши 
Луи Кэрролл писал: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".  
В глубины, каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать? На этот вопрос постараемся дать ответ в следующей главе 
 
Глава 4 
 
Правильные многогранники в нашей жизни 
 
§ 1. Многогранники вокруг нас    
 
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. 
 
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. 
 
Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. 
 
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. 
 
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 
 
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих 
 
объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.  
 
Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.[10] 
 
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. 
 
§ 2. Правильные многогранники в искусстве 
 
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.'' 
 
Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр. В 1525 году он написал трактат, в котором представил, пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы 
 
Сальвадор Дали использует в своей картине «Тайная вечеря» додекаэдр, который служит своеобразным «окном» в окружающий мир и подчеркивает важность этого события.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Примеры задач 
 
Задача 1 Можно ли десять городов соединить между собой непересекающимися дорогами так, чтобы из каждого города выходило пять дорог, ведущих в пять других городов?  
Решение Предположим, что города можно соединить между собой дорогами так, как указано в задаче. В таком случае, если какие-то два города окажутся не соединенными дорогой непосредственно, то найдётся третий город, который уже будет непосредственно соединён с каждым из них. Изобразив на плоскости города точками, а дороги — дугами, получим, что любые две точки соединены цепочкой дуг. Так как в каждой точке сходятся пять дуг, то общее число дуг равно ½·5·10 = 25. Согласно теореме Эйлера эти дуги делят плоскость на 2 + 25 – 10 = 17 областей. Каждая из этих семнадцати областей ограничена по крайней мере тремя дугами, так как в противном случае нашлись бы два города, непосредственно соединённые по крайней мере двумя дорогами, а это противоречит условию задачи. Следовательно, число дуг не меньше ½·3·17 = 25,5. Таким образом, исходное предположение приводит нас к противоречию, и города нельзя соединить между собой так, как это требуется в задаче.[11] 
Задача 2 Три поссорившихся соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?  
Решение  Предположим, что это сделать можно.  
Изобразим дома синими, а колодцы — чёрными точками и каждую синюю точку соединим дугой с каждой чёрной точкой так, чтобы  девять  полученных дуг попарно не пересекались. Тогда всякие две точки, изображающие дома или колодцы, будут соединены цепочкой дуг, и в силу теоремы Эйлера эти девять дуг разделят плоскость на 9–6+2=5 областей. Каждая из пяти областей ограничена по крайней мере четырьмя дугами, так как по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число дуг должно быть не меньше ½·5·4 = 10, и, следовательно, наше предположение неверно.[12] 
Задача 3 Докажите, что на всякой карте найдётся страна, граничащая не более чем с пятью странами.  
Решение. Если число стран на карте не превосходит шести, то утверждение задачи очевидно. Мы докажем, что на карте, имеющей более шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и дуги исходной карты в чёрный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (то есть странах, имеющих общую граничную дугу), соединим внутри этих стран красной дугой так, чтобы красные дуги попарно не пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой дуг, и так как никакие две построенные дуги не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и дуг красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя дугами. Если какая-то страна на этой карте ограничена более чем тремя дугами, то на её границе можно выбрать две вершины, не соединённые дугой, и соединить их красной дугой внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, мы получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя дугами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и так как число вершин больше трёх, то из каждой вершины выходят не менее чем три дуги. Обозначим через n число дуг, через l — число стран, через m — число всех вершин красной карты и через a — число вершин, из которых выходят менее чем шесть дуг. Тогда получим3l = 2n,     (1) 
 
3a + 6(m – a) ≤ 2n. (2) 
 
Из формулы (1) и теоремы Эйлера, применённой к системе точек и дуг красного цвета, следует, что2n = 6m – 12, 
 
3a + 6(m – a) ≤ 6m – 12. 
 
которое показывает, что a≥4. Остаётся заметить, что если некоторая страна на чёрной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти дуг, и потому, в силу неравенства a≥4, на чёрной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.[13] 
Задача 4 Можно ли семиугольник разрезать на выпуклые шестиугольники?  
 
Решение  Предположим, что какой-то семиугольник удалось разрезать на выпуклые шестиугольники. Обозначим число тех вершин шестиугольников, которые лежат внутри исходного семиугольника, через m, а число оставшихся вершин (то есть лежащих на границе семиугольника) — через m'. В качестве дуг, соединяющих вершины, выберем прямолинейные отрезки сторон многоугольников, удовлетворяющие следующему условию: отрезок должен соединять две вершины и не проходить через остальные вершины. Обозначим через n число таких дуг и через l — число областей, на которые эти дуги делят плоскость (число l на единицу больше числа шестиугольников). Ясно, что любые две вершины окажутся соединёнными цепочкой дуг. В силу теоремы Эйлераm + m' – n + l = 2.  (3) 
 
Так как внешняя область ограничена m' дугами, а каждая из остальных — не менее чем шестью дугами, то2n ≥ 6(l – 1) + m'. (4) 
 
Из некоторых вершин на границе семиугольника выходят только две дуги. Обозначим число таких вершин через a. Из всякой другой вершины выходят по крайней мере три дуги, так что 
 
3m + 3(m' – a) + 2a ≤ 2n. 
 
Отсюда в силу равенства (3) 
 
n ≤ 3l + a – 6. 
 
Сравнивая это неравенство и неравенство (4), мы получаем2a – m' ≥ 6.        (5) 
 
Так как на границе семиугольника найдутся по крайней мере две вершины, из которых выходят дуги, ведущие внутрь семиугольника, то m' – a ≥ 2. Из этого неравенства и неравенства (5) следует, что a ≥ 8.  
 
С другой стороны, так как семиугольник разрезан на выпуклые многоугольники, то всякая вершина, из которой выходят две дуги, является вершиной семиугольника, и потому a ≤ 7. Таким образом, семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.[14] 
Заключение 
Зачастую, теме «Правильные многогранники» уделяется не слишком пристальное внимание на школьных уроках. Считается, что данная тема является лишь одним из аспектов математики и не имеет практического применения. В своей работе я постарался опровергнуть данное суждение, посвятив практическому применению Платоновых тел одну из глав своего проекта. На мой взгляд, данная тема далеко не является узкопрофильной – на протяжении работы над проектом я постоянно натыкался на стыки данной темы с другими областями знаний – алгебры, биологии, географии, искусства и живописи.  
 
Обобщая научную информацию по обозначенной проблеме, можно сформулировать следующие выводы: 
 
1.   В исследованиях правильных многогранников можно проследить два основных этапа: 
 
I этап: Исследования до н.э. 
 
II этап: исследования в XVI – XIX вв. 
 
2.   На первом этапе главным содержанием стала 13 книга «Начал» Евклида, а которой ему не удалось решить проблему построения правильных многогранников, но удалось дать им первоначальную характеристику и теоретическое обоснование. 
 
3.   В рамках второго этапа исследований была сформулирована пусть и ошибочная гипотеза Кеплера, кроме того была решена проблема построения правильных многогранников. 
 
4.   Можно проследить следующую особенность:  на каждом этапе вначале выдвигались неверные теории, которые впоследствии вели к открытиям 
 
5.   Разрыв между первым и вторым этапом составляет ни много ни мало полторы тысячи лет – разумно предположить, что в это время еще не существовало возможности для создания теорий в области Платоновых тел 
Приложение №1 
 
«Элементы теории правильных многогранников» 
Тетраэдр и его свойства 
                                      
 
n   Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. 
 
n    Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.  
 
n   Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.  
 
Таким образом, 
 
тетраэдр имеет 
 
4 грани, 
 
4 вершины 
 
и 6 ребер. 
 
 
 
n   Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. 
 
n   Радиус описанной сферы:   
 
  
 
n   Радиус вписанной сферы:   
n   Площадь поверхности:   
n   Объем тетраэдра:   
Гексаэдр и его свойства 
 
n   Куб составлен из шести квадратов. 
 
n    Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. 
 
n    Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.  
 
Таким образом, куб имеет 
 
6 граней, 
 
8 вершин 
 
 
12 ребер. 
 
 
n   Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.  
 
n   Радиус описанной сферы:   
n   Радиус вписанной сферы:   
n   Площадь поверхности куба: S = 6a² 
n   Объем куба: V = a 
³ 
Октаэдр и его свойства 
 
n   Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.  
 
n   Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. 
 
n    Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.  
 
Таким образом, 
 
октаэдр имеет 
 
8 граней, 
 
6 вершин 
 
 
12 ребер. 
 
n   Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.  
 
n   Радиус описанной сферы:   
n   Радиус вписанной сферы:   
n   Площадь поверхности:   
n   Объем октаэдра:   
Икосаэдр и его свойства 
 
n   Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. 
 
n    Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.  
 
n   Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.  
 
Таким образом, 
 
икосаэдр имеет 
 
20 граней, 
 
12 вершин 
 
30 ребер. 
 
 
n   Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.  
 
n   Радиус описанной сферы:   
 
 
 
n   Радиус вписанной сферы:   
 
 
 
n   Площадь поверхности:   
 
 
 
n   Объем икосаэдра:   
Додекаэдр и его свойства 
 
n   Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.  
 
n   Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. 
 
n    Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.  
 
n   Таким образом, 
 
додекаэдр имеет 
 
12 граней, 
 
20 вершин 
 
30  
ебер. 
 
n   Радиус описанной сферы:   
n   Радиус вписанной сферы:   
n   Площадь поверхности:   
n   Объем додекаэдра:   
Приложение №2 
 
« 
Исследования правильных многогранников в период до нашей эры 
» 
                
 
           Евклид                                                Платон 
    
Приложение №3 
 
Исследования правильных многогранников в  
XVI 
–  
XIX 
вв. 
 
                 
 
            Леонард Эйлер                                                   Иоганн Кеплер 
 
 
Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве. 
 
                
 
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников. Наиболее известные это: