Построение проекций геометрических тел

Построение проекций геометрических тел

Прежде чем приступить к  построению проекций геометрических тел, ознакомимся со способами нахождения проекций точек, расположен ных на поверхностях мно гогранников и тел враще  ния.

Нахождение  проекций отдельных точек, располо  женных на поверхности тел, рассмотрим на трёх про стейших геометрических формах: пирамиде, конусе и шаре. Нахождение гори зонтальных проекций точек при заданных вертикальных их проекциях рассмотрим одновременно для пирамиды и конуса.

Пусть пирамида и ко нус (фиг. 119, а, б) даны двумя своими проекциями, а точки А и В, лежащие на поверхностях этих тел, за даны своими вертикальными проекциями а' и b'. Требу ется найти горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Такие задачи можно  ре шать следующим способом: на поверхности  тел через заданную точку и вершину фигуры проводится прямая линия и затем строятся про екции этой прямой. Искомая горизонтальная проекция точки будет лежать на го ризонтальной проекции пря мой. На фиг. 119, а и 119, б через точку b' проведена вертикальная проекция s'k' вспомогательной прямой ли нии SK. Как видно, верти кальной проекции s'k' со ответствует горизонтальная проекция sk, что позволяет построить горизонтальную проекцию точки В. После этого легко построить профильную проекцию точки b''.

Чтобы построить  горизонтальную проекцию точки А для пирамиды, нет необходимости строить вспомогательную прямую, так как точка А по заданию лежит на ребре S2. При наличии профильной проекции пирамиды легко построить профильную проекцию а" точки А на про фильной проекции ребра S2 и по ней построить горизонтальную проек цию а. Если профильной проекции на чертеже нет, надо использовать следующее основное положение начертательной геометрии: если точка а'

делит отрезок s'2' в отношении  s'a'/a'2'=m/n, то и на горизонтальнои проекции будет sa/a2=m/n. Вычислив по вертикальной проекции отношение ™, можно легко найти горизонтальную проекцию точки А на S2.

Эта задача может  быть решена способом секущих плоскостей, являю щимся общим для любой  пространственной формы. Если провести через вертикальную проекцию точки А секущую горизонтальную плоскость P, то она пересечёт пирамиду по треугольнику, подобному треуголь нику основания (фиг. 119, а), a ко нус или шар (фиг. 119, б и 120) — по кругу. В этом случае треуголь ник и круг сечения проектируются на горизонтальную плоскость в на туральную величину. Горизонтальные проекции точки A расположены одновременно на перпендикулярах к оси ОХ, опущенных из соответ ственных вертикальных проекций точки A.

При выполнении упражнений по проекционному черчению при ходится довольно часто решать за дачи на построение линий пересе чения друг с другом двух поверх ностей. Для выполнения этих по строений необходимо уметь нахо дить точки входа и выхода прямых, пересекающих заданные поверх ности. Рассмотрим это построение на примерах.

Пусть даны проекции пирамиды, конуса, шара и прямые EF и MN, пересекающие эти тела. Прямая EF перпендикулярна к плоскости V, а прямая MN—к плоскости W (фиг. 121, а, б, в). Требуется построить точки входа и выхода прямых, пересекающихся с заданными поверхностями.

Проводим через прямые EF и MN горизонтальные секущие плос кости: через прямую EF—плоскость P, а через прямую MN—плоскость Q. Эти плоскости образуют на горизонтальной плоскости проекций пира миды и конуса в сечении фигуры, подобные их основанию, а для шара— круг. Точки пересечения прямых с контурами сечения и будут искомымй точками входа и выхода: для прямой EF—точки А и С, а для прямой MN—точки К и L.

Если прямая пересекает поверхность  шара, пирамиды или конуса перпендикулярно  к плоскостй Н, то в этом случае проводят через за данную прямую фронтальную плоскость. С целью упрощения построений для пирамиды и конуса полъзуются горизонтально-проектирующей плоскостью, которая должна непременно проходить через вершину фигуры.

Построив затем на вертикальной плоскости проекций, соответственно секущей плоскости, контуры сечения, находят точки входа и выхода.

Примеры решения задач на построение проекций фигур

Пример 1. На фиг. 122 даны три про екции пятиугольной усечённой пирамиды с открытым вырезом, образованным несколь кими секущими плоскостями. Сечением этих плоскостей образовано на поверхности пира миды ряд характерных точек: С, D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, В и А, которые на вертикаль ной плоскости проекций отмечены соответ ственно: c', d', 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7', 8', b' и a'. Требуется построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Проекции точек  А, В, С и D могут быть легко определены, так как они рас положены на рёбрах пирамиды. Определим, для примера, горизонтальную проекцию точ ки С, лежащую  на ребре MN. Для этого проведём из точки с' проектирующую линию до пересечения с горизонтальной проекцией ребра MN и определим таким образом гори зонтальную проекцию с точки С. Имея вер тикальную и горизонтальную проекции этой точки, можно построить и профильную про екцию с". По аналогии с этим, строим про екции точек А, В и D. Проекции остальных точек 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 строим спосо бом секущих плоскостей.

Чтобы построить  горизонтальную про екцию, например точки 7, проводим через неё секущую  плоскость P, которая пересечёт пирамиду по пятиугольнику, подобному её основанию. Чтобы не затемнять чертежа по строением пятиугольника, ограничимся одной из его сторон, проектирующейся на грань KETP. Пересечение контура сечения с го ризонтальной проекцией ребра KP даст гори зонтальную проекцию точки 1. Горизонталь ные проекции точек 2, 3 определяются по аналогии, т. е. проведением через 2' и 3' плоскости R. Подобным образом произво дится построение остальных точек. Имея го ризонтальные и вертикальные проекции всех точек, нетрудно построить их профильные проекции. Законченное построение пирамиды приведено на фиг. 123. К изображениям в ортогональных проекциях добавлена аксонометрическая проекция этой пирамиды.

Пример 2. Построение в усечённом конусе вырезов,образованных четырьмя плоскостями, пересекающими поверхность конуса по основным кривым: окружности, эллипсу, параболе и гиперболе, приведено на фиг. 124. Горизонтальные проекции точек А и 1, лежащих на верти кальной проекции линии контура конуса, легко определить без допол нительных построений. Проекции остальных точек найдены проведением горизонтальных секущих плоскостей, обозначенных следами Pv,Rv и т. д.

Определив горизонтальные проекции точек, нетрудно построить их профильные проекции. Последовательное соединение проекций точек кривых сечения показано на фиг. 125. Там же даны размеры конуса. Рядом с ортогональными проекциями показан тот же конус в диметрической проекции.