Преобразование подобия

Преобразование

подобия

 

Работу  выполнила:

ученица 11 А класса

Смольянинова  Анна

Содержание:

 

• Преобразование подобия
• Свойства преобразования подобия
• Практические советы

Преобразование  подобия  

 

    

 

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием  подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная  точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим  на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где  k — положительное число.

Преобразование  фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную  указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

- Преобразование  подобия переводит прямые в  прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки  - в отрезки; 
 
- Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямой; 
 
- Преобразование подобия переводит параллельные прямые в параллельные прямые.

 

Свойства  преобразования подобия

  

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

 

 

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия  с коэффициентом k переводится в угол A₁, B₁, C₁, (рис. 237). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки A₂ и С₂. Треугольники А₂ВС₂ и A₁, B₁, C₁, равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А₂ВС₂ и A₁, B₁, C₁, . Значит, углы ABC и A₁, B₁, C₁, равны, что и требовалось доказать.

Практические  советы

 

Чтобы построить  отрезок, гомотетичний данном отрезке  с заданным центром гомотетии  и заданным коэффициентом гомотетии, проведите полупрямые с началом  в центре гомотетии, которые проходят через концы отрезка. На полупрямой от их начала отложите отрезки, длины  которых равны соответственно длинам отрезков, соединяющих центр гомотетии  с концами заданного отрезка, умноженных на коэффициент гомотетии, и соединяют точки, полученные на полупрямой.