Сфера и Шар

    РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕНИЧЕСКИЙ

    РЫБОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

       Институт Рыболовства и Аквакультуры

 

                                               РЕФЕРАТ

 на тему:

                        «Сфера и Шар»

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                    Исполнитель:

Студент первого  курса 

Гр.ПРб-122

Юрганов Алексей  Алексеевич

Руководитель:

Прокопьева  Дина Борисовна

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

1………………Сфера и Шар.

2……………… Взаимное расположение сферы и плоскости.

3……………… Касательная плоскость к сфере.

4……………… Площадь сферы.

5…………………Объём шара.

6…………………Задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Сфера и Шар 

Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, уда­лённых от данной точки на данном расстоянии.

 

    

Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр  и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий  две точки сферы и проходящий через её центр, называется диамет­ром сферы.

Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

 

Уравнение сферы.

 

M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.

следовательно MC=   т.к. MC=R, то

 

 

 

если т.М не лежит на сфере, то MC R, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид :

 

 

2.Взаимное  расположение сферы и плоскости:

 

 

 

 

 

  d - расстояние от центра сферы до плоскости.

следовательно C(0;0;d), поэтому  сфера имеет уравнение  

плоскость совпадает с оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

следовательно возможны 3 решения системы :

 

 

 

   1)   d<R  ,   d^2<R^2   ,   x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0  

 Уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность C(0;0;0)    и     r^2=R^2 - d^2

 

 

   2)  d=R, x^2 + y^2 =0, x=y=0 следовательно сфера пересекается плоскостью в точке О(0;0;0)

 

 

   3) d> R, d^2> R^2     R^2 - d^2 <0        

 X^2 + y^2 >=0,    x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

 

3.Касательная плоскость к сфере:

 

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной  плоскостью к сфере, а их общая  точка называется точкой касания  плоскости и сферы.

 

Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен к касательной плоскости.

 

Доказательство:

 

Предположим, что ОА не перпендикулярен  плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА> R, но т. А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

 

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен  к плоскости, проходящей через его  конец, лежащий на сфере, то эта плоскость  является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

 

4.Площадь сферы:

Для определения площади сферы  воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы  многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно увеличивать n   таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R: 

S=4ПR^2

 

 

 

 

5.Объём шара:

Теорема. Объём шара радиуса R равен .

Д оказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х— абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как  , то

. (2.6.2)

Заметим, что  эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех удовлетворяющих условию  . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при ,  , получим

6.Задачи:

Задача №3

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник  с диагональю 10 см. Какое боковое  ребро составляет с основанием угол  . Найдите площадь поверхности и объём шара.

Решение:

П роведём высоту пирамиды MF; проведём отрезки

FA, FB, FC, FD.

, так как они прямоугольные, MF – общий катет,  - по условию. Таким образом, FA=FC=FB=FD, точка F равноудалена от вершин основания, то есть является центром описанной около основания окружности. Нарисуем сечение пирамиды и шара плоскостью AMC. Точка O – центр шара,  . По теореме синусов в  :

, где R – радиус шара.

.

Площадь поверхности шара:

(см²).

Объём шара:

(см³).

Ответ:  .

7.Литература:

 

1.Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2. Стереометрия: Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958. - 760 с.

2.АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранные вопросы маиематики10 кл. Факультативный курс. /Под ред. ФирсоваВ.В/--М.: Просвещение 1980.

3.Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. /А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб. -М.: Просвещение, 1992. - 464с.

4.Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы. -М: Просвещение, 1992. - 208.