Планирование инвестиций в условиях неопределенности и риска

 

Определение бесконечной антагонистической  игры

 

Естественным обобщением матричных  игр являются бесконечные антагонистические  игры, в которых хотя бы один из игроков  имеет бесконечное количество возможных стратегий.

Всякая антагонистическая бесконечная  игра двух игроков с непрерывной  функцией выигрышей М (х,у) на единичном  квадрате имеет решение (игроки имеют  оптимальные смешанные стратегии)

 

 

Теоретико-игровая  модель «игра с природой»

 

Мы предполагали, что все участники игры имеют свои интересы, которые выражаются либо платежными матрицами (антагонистические игры, би-матричные игры), либо платежными функциями (игры  n лиц). Однако так бывает далеко не всегда. Ситуации, при которой нам либо ничего не известно об интересах второй стороны (или сторон), либо эти интересы действительно отсутствуют (второй игрок — «природа»), характеризуются как ситуации принятия решений в условиях полной неопределенности (или игры с «природой»). Естественно, что термин «природа» употребляется здесь в некотором символическом смысле как обозначение некой действительности, мотивы проявления которой нам неизвестны.

Как мы отмечали, теория игр — это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых  принятие решений зависит от нескольких участников. Поэтому тот факт, что в рассматриваемой ситуации вторая сторона не имеет, с нашей точки, зрения каких-либо интересов, несколько меняет и наш подход к выбору своей оптимальной стратегии. То есть разумно рассмотреть несколько иные критерии, чем, например, принцип минимакса для антагонистической игры (игры с нулевой суммой) двух лиц.

Следует отметить и еще  одно отличие. При применении принципа доминирования стратегий мы уже  не можем производить исключение стратегий второго игрока («природы»), поскольку не имеем информации о его интересах, следовательно, никаких разумных оснований для исключения его стратегий.

Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей первого игрока (матрица выигрышей первого игрока размера тxп):

 

Максиминный критерий Вальда

 

Это тот самый критерий, который    использовался при  рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических) игр. Он отражает «принцип гарантированного результата», то есть мы откладываемся на самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать  такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной для нас ситуации. В математическом виде критерий записывается как:

 

В качестве оптимальной выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пессимизма».

 

Критерий  максимакса

 

 Этот критерий является в определенном смысле противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. А именно, он предполагает рассмотрение не самого для нас неблагоприятного случая (критерий Вальда), а наоборот наиболее благоприятного.

Выбирается в качестве оптимальной  такая стратегия, для которой  этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш. В математическом виде критерий записывается как:

 

В качестве оптимальной стратегии  выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего оптимизма».

 

Критерий  Гурвица

 

Этот критерий является своего рода обобщением 
двух предыдущих критериев. Он представляет из себя целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметра а, смысл которого – в определении баланса между подходами «крайнего пессимизма» и «крайнего оптимизма». В математическом виде критерий записывается как:

В качестве оптимальной стратегии  выбирается стратегия, на которой достигается значение max. Значение параметра выбирается из интервала 0 < a < 1. Критерий Вальда получается как частный случай при а = 0, а критерий максимакса при а = 1. Выбор конкретного значения параметра определяется скорее субъективными факторами, например склонностью к риску ЛПР (лица принимающего решение). При отсутствии каких-либо явных предпочтений вполне логично, например, выбрать значение а = 0,5.

 

Критерий  Сэвиджа {критерий минимаксного риска)

 

 

Применение данного критерия предполагает рассмотрение некоторой производной матрицы, смысл которой состоит в том, что для каждой стратегии второго игрока определяется выигрыш в наиболее благоприятном случае (при наиболее правильном выборе стратегии первым игроком для данной ситуации), а далее вычисляются величины «недополученных» выигрышей для всех остальных стратегий первого игрока при рассматриваемой стратегии второго игрока. Элементы данной матрицы , которая обычно называется матрицей риска, рассчитываются как . Далее к матрице рисков применяется минимаксный подход, а именно:

В качестве оптимальной стратегии  выбирается стратегия, на которой достигается min. Тем самым мы выбираем такую  стратегию, для которой наибольшее значение «недополучения» будет  иметь наименьшее значение.

 

Критерий  Лапласа

 

 Этот критерий исходит из следующего соображения. Поскольку нам ничего не известно о принципах или вероятностях применения вторым игроком своих стратегий, то мы предполагаем эти вероятности все равными .

 

Тогда критерий можно записать как:

Таким образом, смысл данного критерия — максимизация ожидаемого выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.

 

 

3 Планирование инвестиций в условиях неопределенности и риска

 

Экономическая категория  коммерческого риска при планировании инвестиций характерна для рыночных отношений. В условиях рынка задачи анализа риска становятся актуальными, т.к. конкуренция заставляет предпринимателей активнее изучать информацию, чтобы предотвратить возможные ошибки при совершении рискованных операций. Анализ риска должен быть связан с пониманием того, что может случиться и что должно случиться. Анализ риска помогает выбирать оптимальный альтернативный вариант в сфере экономики.

Разделив экономическую  систему на отдельные элементы и  подсистемы, можно проанализировать неопределенность, связанную с отдельными подсистемами и их элементами, установить связь между риском и элементами всей системы, и, наконец, оценить совокупное влияние факторов риска на всю систему.

Анализ риска необходим  в условиях, когда неопределенность и недостаточность той или иной информации становится главным фактором. В этих условиях приходится решать, использовать ли выбранный вариант действий как единственно возможный или иметь дополнительные варианты действий в случаях, когда, например, норма прибыли и денежный поток могут оказаться недостаточными для покрытия затрат на производство и (или) реализацию продукции (услуг).

Определяя вероятностные  характеристики ожидаемых результатов  и оценивая риск посредством математических методов, мы получаем возможность ослабить или избежать влияние случайных факторов на финансовые результаты деятельности предприятий, просчитать заранее порядок действий на случаи неудачных исходов, выходящих за пределы расчетной вероятности событий.

При оптимальном выборе стратегии и тактики действий экономика приобретает возможность саморегулирования, достижения сбалансированности, лучшей стабильности функционирования и исключения кризисных ситуаций, приводящих к разорению предприятий.

В рыночной экономике  предприниматели сами определяют номенклатуру продукции, сами устанавливают цены на нее с учетом конъюнктуры рынка и директив регулирующих органов. С целью получить максимальную прибыль необходимо использовать ранжировку товаров по их прибыльности и по перспективам реализации их на рынке. При выборе рациональной стратегии производства или оптовых закупок в торговых фирмах в условиях неопределенности используются игровые модели.

 

Выбор стратегии по максиминному критерию Вальда

 

В условиях рыночных отношений всегда существует неопределенность в вероятных колебаниях спроса на продукцию. В этих условиях требуется выбрать оптимальную стратегию производства и сбыта.

Для этого применим игровые модели на основе минимаксных стратегий.

Пусть:

1. минимальный гарантированно устойчивый спрос на продукцию составляет 3000 ед.
2. Устойчивый сбыт на конкретный год составляет 3000 ед.
3. Возможная сверх устойчивого спроса реализация составляет 3000 ед.
4. Маловероятный, но потенциально возможный спрос составляет 3000 ед. (покупатель на эту долю продукции не выявлен, но в принципе возможен, например, за счет увеличения покупательной способности, роста населения, туристов и т.д.)

Руководство предприятия  планирует три инвестиционных проекта, которые имеют свои стратегии  производства продукции:

S₁=6000 ед.

S₂=9000 ед.

S₃=12000 ед.

В зависимости от конъюнктуры рынка  рассчитываются значения среднегодовой  прибыли или убытков, связанных  с нереализованной продукцией, ее хранением и т.д. по формуле  P=D – R, где D – доходы, R – расходы.

Эти расчеты сведены в таблицу 3.1.

 

Таблица 3.1.

Объем производ.	Размер прибыли от спроса, gij				Мин. прибыль, αi	Макс. из мин. приб. W	Макс. прибыль, Pi
	3000	6000	9000	12000
S1=6000 ед. S2=9000 ед. S3=12000 ед.	1020 -60 -1140	4200 3120 2040	4200 6300 5220	4200 6300 8400	1020 -60 -1140	1020	4200 6300 8400
Макс. прибыль, Pi	1020	4200	6300	8400

 

 

Анализ стратегий начнем с позиции  критерия так называемого максимина. По этому критерию руководитель избирает чистую стратегию, гарантирующую ему  наибольший (максимальный) из всех наихудших (минимальных) вариантов действий.

По этому критерию наилучшим  решением будет стратегия S₁, так как она обеспечивает наибольшую прибыль из множества наихудших исходов (когда продадут только 3000 ед. продукции). При этом прибыль составит:

P=max (1020, -60, -1140)=1020 д.е.

Стратегия S₁ называется максиминной, обеспечивающей прибыль Р=1020 д.е. при наихудших условиях продаж на рынке.

Величину Р=1020 д.е. называют нижней ценой игры, максимином или гарантированнымо результатом по критерию Вальда.

Максиминная оценка по критерию Вальда является единственно абсолютно надежным результатом при принятии решения в условиях неопределенности спроса на продукцию.

 

 

Выбор стратегии по критерию Гурвица

 

При выборе решения из двух крайностей, связанных с пессимистической стратегией по критерию Вальда и чрезмерным оптимизмом по критерию Сэвиджа можно выбрать некоторую промежуточную позицию, граница которой определяется показателем пессимизма-оптимизма х, находящимся в пределах 0 ≤ х ≤ 1. Такой критерий называется критерием Гурвица. Как частный случай при х=1 из него следует максиминный критерий Вальда, а при х=0 – минимаксный критерий Сэвиджа.

В соответствии с критерием Гурвица  для каждой стратегии выбирается линейная сумма взвешенных минимального и максимального выигрышей по формуле:

где g_ij – размер прибыли (убытков) от спроса (продаж) (табл. 3.1), i – строка, j – столбец.

Положим х=0,8 (близкий к пессимистическому  критерий) и рассчитаем G_i для трех стратегий S₁, S₂, S₃ по данным табл. 3.1

G₁=0,8(1020)+(1-0,8)4200=1656 д.е.

G₂=0,8(-60)+(1-0,8)6300=1212 д.е.

G₃=0,8(-1140)+(1-0,8)8400=768 д.е.

Затем выбирается такая стратегия, для которой величина G_i получается наибольшей, т.е. S_iопт→G_imax. В нашем примере G_imax=G₁, следовательно S_опт=S₁, т.е. как по критерию Вальда. Если выбрать х близким к нулю, то получим S_опт=S₂, т.е. как по критерию Сэвиджа.

 

Расчет  зоны коммерческого риска

 

О положительной тенденции развития, степени устойчивости, наличия финансовых резервов, повышения конкурентоспособности  телекоммуникационной компании можно судить по показателю нормы прибыли П, определяемой по формуле:

где Р – чистая прибыль, R – общая  сумма затрат (издержек, расходов).

Для анализа нормы прибыли предприятия воспользуемся данными табл. 3.2. за 5 лет.

 

Таблица 3.2.

Годы	1998	1999	2000	2001	2002
Объем продаж, S Издержки, R в том числе переменные, VC                      постоянные, FC Прибыль, Р Норма прибыли, П	8895 3418 2518 900 5577 1,63	8997 3239 2339 900 5758 1,78	8996 3059 2159 900 5837 1,94	8998 2879 1979 900 6119 2,13	9000 2700 1800 900 6300 2,33