Процентные ставки

тип 1: кривая доходности процентных облигаций относительно дюрации;

тип 2: кривая доходности процентных облигаций относительно срока обращения;

тип 3: кривая доходности бескупонных облигаций относительно срока обращения. 
     Бескупонная кривая является виртуальной кривой в том смысле, что   бескупонные облигации на рынке не обращаются и, соответственно, в чистом виде мы не можем наблюдать их стоимостей, а значит, и доходностей. В то же время, получив стоимость бескупонных облигаций, мы можем затем из них, как из кирпичиков, построить любые другие долговые инструменты с соответствующим определением стоимости. 
     Несмотря на отнесение процентных облигаций и аннуитетов к одному типу, для лучшей демонстрации указанной зависимости формы кривой доходности от ставки купона как одного из параметров структуры облигации, приведены примеры графиков для наиболее репрезентативных ставок, а также для аннуитетов.    

Представим схематично порядок  расчетов, требуемых для построения кривых указанных типов (рис. 3).

Рисунок 3. Порядок расчета для  построения кривых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Самой простой задачей с точки  зрения трудозатрат является построение кривой типа 2, поскольку очевидно, что расчет доходностей процентных облигаций значительно проще расчета стоимости бескупонных облигаций. Помимо трудозатрат, <плюсы> и <минусы> каждого типа кривых складываются из степени применимости соответствующей кривой. Начнем с <плюсов>. 
     Тип 1 не требует использования сложных теорий построения кривой, достаточно применения сглаживающих методов построения на основании наблюдаемых дюраций и доходностей. Данная задача сглаживания может быть решена использованием сплайнов, что является весьма отработанной технологией. Тип 1 частично отражает сложную структуру с точностью до средневзвешенного срока обязательств. Это не решает всех проблем отражения структуры инструментов в случае применения кривых типа 1, однако является существенным <плюсом> по сравнению с кривыми типа 2. 
Тип 3 универсально применим к любым инструментам (точнее, денежным потокам) данного кредитного качества. В то время как в случае кривых типа 1 и 2 к денежным потокам рассматриваемого инструмента применяется одна и та же ставка (доходность к погашению), использование кривой типа 3 предусматривает индивидуальное дисконтирование потоков. Такие дополнительные трудозатраты позволяют, однако, применять бескупонные кривые универсально, т. е. в отношении любых инструментов.

 Попробуем формализовать  алгоритм определения цены по  кривым типа 1:

• рассчитаем дюрацию инструмента;
• определим доходность к погашению инструмента по дюрации инструмента на основании заданной кривой доходности;
• определим цену инструмента с помощью дисконтирования денежных потоков по ставке доходности к погашению и суммирования результатов.

 

 Первый шаг этой процедуры уже содержит логическое противоречие: для определения доходности требуется дюрация, которая сама рассчитывается дисконтированием по ставке доходности. Такого рода задача решается итерационными методами, с постепенным приближением к точному решению, однако из-за частого отсутствия аналитического представления формы кривой доходности решение не может быть найдено с абсолютно низкой погрешностью. На практике доходность по кривым типа 1 определяется приблизительно, фактически по произвольно взятому приближению дюрации. Но это обстоятельство может создать большие неприятности при попытке автоматизации процесса ценообразования, особенно в рамках оценки сложных производных инструментов.

Тип 1 - форма кривой меняется в зависимости от структуры инструмента, в том числе от купонной ставки и структуры погашения. Данный феномен лучше всего демонстрируется графически: на рис. 4 изображены кривые, соответствующие различным купонным ставкам, в случае обычного возрастающего профиля кривой доходности. В качестве опорных точек использовались данные по ценам облигаций Москвы, которые на данный момент являются основным поставщиком базовых доходностей рублевого рынка облигаций. Рисунок наглядно показывает, что купонные кривые находятся внутри коридора, сформированного бескупонной кривой и кривой, построенной для аннуитетов, что еще раз подчеркивает структурную противоположность аннуитетов и дисконтных облигаций.

Рисунок 4. Доходность относительно дюрации

Рисунок 5. Доходность относительно дюрации

    

Данный результат выглядит парадоксально, поскольку инструменты  заданного кредитного качества ассоциируются  с вполне определенной доходностью. В действительности структура денежных потоков может вносить некоторые  корректировки в расчетный уровень  доходности. 
    Для построения кривых (как уже указывалось, описывающих доходности инструментов заданного кредитного качества) была задана бескупонная кривая, на основании которой затем производилась оценка облигаций с заданным купоном (а также для аннуитетов) для всего спектра сроков обращения, с использованием соответствующих доходностей для построения графиков. Все примеры используют только две бескупонные кривые: А и В.  
тип 1 - применение кривой к инструменту иной структуры требует корректировки уровня доходности.    Как видно из рис. 4, для нормальной возрастающей бескупонной кривой А погрешность в определении доходности аннуитета при ошибочном использовании бескупонной кривой как источника доходности к погашению может составлять до 25 б. п. При применении к аннуитетам доходности к погашению облигаций с 15%-ным купоном такая ошибка достигает 12 б. п. (для дюрации 4-5 лет). Максимум расхождения доходностей к погашению для облигаций с купонной ставкой 7-15% годовых составляет около 4 б. п. Данные расхождения не обусловлены никакими различиями в кредитном качестве бумаг - это исключительно систематическая техническая ошибка, распространяемая на все рассматриваемые инструменты заданной структуры. 
    В целом погрешность возрастает в зонах <перелома> кривой доходности (среднесрочные ставки) и напрямую зависит также от профиля кривой. Так, для кривых с <горбом> (рис. 5, верхние кривые, построенное на базе бескупонной кривой В3) области относительно высокой разницы в уровнях доходности кривых с различным купоном смещены в зону высокой дюрации. Такие погрешности являются непосредственной функцией формы кривой, которая в свою очередь определяется степенью волатильности рынка и соотношением между краткосрочными и долгосрочными ставками. 
тип 1 - кривые для амортизируемых облигаций имеют точки разрыва из-за скачкообразного изменения дюрации. Особенно осторожно использовать кривые типа 1 следует при работе с амортизируемыми облигациями. Из-за скачкообразного изменения дюрации данных инструментов в моменты времени, непосредственно предшествующие выплате амортизационной суммы, ошибка применения таких кривых может достигать 50-60 б. п. (рис. 5, нижнее семейство кривых, построенное на базе бескупонной кривой А; купонные кривые соответствуют купонной ставке 7,5% годовых), если игнорируется влияние амортизации на форму кривой. Ошибка тем сильнее, чем больший вес имеет амортизационная выплата в структуре долга. 
    Необходимо отметить, что проблема скачков в дюрации наблюдается и для неамортизационной облигации - это происходит всякий раз при выплате купона. тип 2 - уровень доходности требует большей корректировки при ценообразовании стандартной облигации, чем в случае кривых типа 1.

Кривые типа 2 порождают  еще более существенную разницу  в уровнях доходности при заданном периоде обращения. Хотя рис. 6 отличается от рис. 4 только заменой по временной  оси дюрации на срок обращения, разница  в уровнях доходности существенно  возросла, особенно на длинном конце  кривой. Таким образом, следует избегать ценообразования инструментов с  длительным сроком обращения по кривым типа 2, если оцениваемый инструмент имеет купонную ставку, отличную от заложенной в кривой. Для инструментов со структурой аннуитета такое ценообразование  представляется недопустимым в принципе, поскольку порождает слишком  большую ошибку для любого срока  обращения свыше 1 года.

Рисунок 6. Доходность относительно срока обращения

  

В случае нормального растущего  профиля бескупонной кривой ставки купонных кривых типа 2 будут всегда снижаться с ростом купона.

 

 

           Рисунок 7. Доходность относительно срока обращения

 
  Действительно, для получения единой цены купонной облигации при дисконтировании  ее денежных потоков, с одной стороны, по индивидуальным возрастающим ставкам  бескупонной кривой и по доходности к погашению, с другой стороны, последняя  должна быть ниже бескупонной ставки, соответствующей сроку погашения. 
Тип 2 - кривая не применима к инструментам с любой сложной структурой выплат, поскольку не использует усреднение по весу денежных потоков. По определению кривые типа 2 применяются только к стандартным неамортизируемым облигациям, при этом они явно проигрывают кривым типа 1. Не спасает принципиально ситуацию применение кривых типа 2 к амортизируемым облигациям в период, непосредственно предшествующий амортизационной выплате, - самому слабому месту в применении кривых типа 1. Хотя их ошибка и меньше, чем для кривых типа 1, присутствует высокая чувствительность к заложенной в кривой доле амортизации; разница вполне может составлять 20 б. п.     

Рассмотренные примеры показывают ограниченность применения кривых типов 1 и 2. С одной стороны, для облигаций  сравнимого кредитного качества характерен приблизительно одинаковый купон, что  минимизирует ошибки. Альтернативно, пусть и ценой применения индивидуальных ставок дисконтирования, все инструменты могут быть оценены с использованием бескупонной кривой.

Тип 3 (бескупонная кривая) - для построения требуется нетривиальный математический аппарат. При том что бескупонная кривая является наиболее удобным инструментом для ценообразования, процесс ее построения требует существенных затрат и даже разработки концепции ценообразования, поскольку входные данные по ценам процентных облигаций не позволят однозначно построить бескупонную кривую - требуется по меньшей мере статистическая проверка модели. Когда вопрос оперативности оценки является приоритетным, применяется более простой подход с использованием кривых типа 1 (либо типа 2)[5, с. 223].

2.2. Теории временной  структуры процентных ставок

Существует несколько  теорий объясняющих изгиб кривой доходности: теория рациональных ожиданий, гипотеза предпочтения ликвидности и гипотеза предпочтения ликвидности. Рассмотрим каждую из них.

По теории рацианальных  ожиданий разница между «длинными» и «короткими» ставками обусловлена ожиданиями экономических агентов относительно будущего уровня ставок: так, если кривая имеет положительный наклон, то участники рынка прогнозируют рост ставок в будущем. Отрицательный наклон, напротив, говорит о том, что по мнению инвесторов ставки в будущем будут ниже превалирующих в настоящий момент.

Таким образом, если существует отрицательная зависимость количества выпусков облигаций от наклона процентной кривой, то в рамках теории рациональных ожиданий это можно интерпретировать как отрицательную зависимость  выпусков облигаций от ожидания повышения ставок[ 4, с. 115].

Ожидания роста процентных ставок воздействуют на принятие компаниями решения об эмиссии облигаций  через механизм оферты, или встроенного  опциона «пут», который дает право  инвесторам в данные облигации предъявить их к погашению на определенную дату, предшествующую дате погашения, по зафиксированной  заранее цене.

Эмитенты, выпускающие облигации  с офертой, опасаются предъявления бумаг к выкупу по оферте в период высоких ставок, когда держатели  облигаций смогут инвестировать  полученные средства под более высокие  проценты, а эмитентам придется рефинансировать  долг по возросшим ставкам. Положительный  наклон кривой бескупонной доходности как раз указывает на ожидание развития подобного сценария и, очевидно, вынуждает компании отказаться от выпуска  облигаций.

Согласно гипотезе предпочтения ликвидности положительный наклон − следствие предпочтения инвесторов иметь в наличии денежные средства в любой момент времени, предпочитая, таким образом, при прочих равных краткосрочные инвестиции долгосрочным.

Как и в теории рациональных ожиданий, в гипотезе предпочтения ликвидности отрицательная зависимость  количества выпусков корпоративных  облигаций от наклона кривой процентных ставок может быть объяснена через  механизм оферты, встроенный во многие корпоративные бонды. Зная о сильном  предпочтении ликвидности инвесторами, эмитенты облигаций ожидают того, что они предъявят принадлежащие  им бумаги к выкупу на ближайшую  дату оферты, что создаст необходимость  для компании рефинансировать долг, уменьшив тем самым фактический  срок обращения облигаций. Данное объяснение зависимости между частотой эмиссий  облигаций и наклоном кривой процентных ставок в рамках гипотезы предпочтения ликвидности напоминает обоснование  этой зависимости с помощью теории рациональных ожиданий. Тем не менее, хотелось бы подчеркнуть, что силы, побуждающие компании отказаться от выпуска облигаций, в двух случаях  отличаются. Так, если придерживаться теории рациональных ожиданий, то эмитентов  удерживает от выпуска бумаг опасение роста ставок и сопутствующие  этому высокая вероятность предъявления облигаций к выкупу и необходимость  привлечения нового финансирования под более высокие проценты. В  случае же гипотезы предпочтения ликвидности  эмитент понимает, что у инвесторов нет намерения держать облигации дольше даты оферты из-за высокой степени предпочтения ими ликвидности. Опасаясь необходимости рефинансирования долга, компании не идут на выпуск долговых ценных бумаг[8, с. 950].

Теория сегментации рынка предлагает в качестве объяснения неплоской формы кривой предположение о том, что инвесторы имеют предпочтения относительно срока действия инструментов, в которые они вкладывают деньги, из-за чего кривая процентных ставок оказывается разбита на несколько сегментов, каждый из которых представляет собой отдельный рынок со своей равновесной ценой.

Положительный наклон временной  структуры свидетельствует об относительно меньшем спросе на долговые инструменты  со стороны долгосрочных инвесторов по сравнению с краткосрочными, что  выражается в более высоких ставках  на «длинном» участке кривой (положительный  наклон). Относительно более высокие  ставки заимствования на долгий срок побуждают компании, привлекающие долговой капитал, замещать долгосрочный долг краткосрочным.

Краткосрочное долговое финансирование в основном осуществляется через  банковские кредиты, тогда как долгосрочные займы чаще проводятся с помощью  выпусков облигаций. При увеличении наклона кривой процентных ставок, вызывающем замещение «длинных»  кредитов «короткими», происходит также  и перераспределение сделок по привлечению  долгового капитала в пользу банковских кредитов. В целом, это выражается в сокращении количества эмиссий  корпоративных облигаций при  увеличении наклона кривой процентных ставок.

Итак, согласно выявленной в  более раннем исследовании закономерности наклон кривой процентных ставок негативно  связан с количеством выпусков корпоративных  облигаций на российском рынке. В  данной работе автор предоставил  возможные объяснения данного явления  с точки зрения трех общепринятых теорий временной структуры[7, с. 317].

 

2.3. Модели процентных  ставок

Модели процентных ставок - один из наиболее интенсивно развивающихся  разделов современных финансов.

Моделирование процентных ставок – область, требующая достаточно сложного математического аппарата. Акцентируя внимание исключительно  на практических аспектах применения рассматриваемых моделей стремясь предельно упростить изложение, в ущерб математической строгости, ограничимся скорее интуитивным пониманием концепций современной финансовой экономики[7, с. 134].

Модель Васичека

Функция кривой доходности может быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например из модели Васичека. В этой модели изменение  краткосрочных процентных ставок задается уравнением:

dr(t) = λ (r(∞) − r(t))dt +σdz(t) ,      (2)

где z(t) - стандартное броуновское  движение. При отсутствии случайного члена, то есть σ = 0 , решением является экспоненциальная функция: