Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

 

1. Дважды щелкнем по диаграмме. Диаграмма активизируется.
2. После нажатия правой кнопки мыши на график, выберем из открывшегося меню команду «Добавить линию тренда..»
3. Появиться диалоговое окно «Линия тренда» - выберем на вкладке «Тип» - «линейный тип» и перейдем к вкладке «Параметры». На вкладке «Параметры» потребуем показывать уравнение тренда на диаграмме и показывать значение R². Нажмем кнопку «ОК».
4. На диаграмме появится линия тренда с соответствующим уравнением. При желании  текстовое поле с уравнением можно перенести в более удобное место и отредактировать.

 

Рис.1

Для построения квадратичной аппроксимации на третьем шаге в диалоговом окне «Линия тренда» выберем на вкладке «Тип» полиномиальный тип степень 2. Результат представлен на рис.2.

 

Рис. 2

Для построения экспоненциальной аппроксимации на третьем шаге в диалоговом окне «Линия тренда» выберем на вкладке «Тип» экспоненциальный тип. Результат представлен на рис.3.

Рис. 3

Примечание: построения диаграмм велись в Microsoft Excel 2007.

 

3. Получение числовых характеристик зависимости

 

1. Создаем табличную формулу (5 строк и 2 столбца).
2. Выделяем область C80:D84.
3. Вызываем «мастер функций».
4. Выбираем функцию ЛИНЕЙН.
5. Определяем аргументы функции – в графе «изв_знач_у» указываем В1:В25; в графе «изв_знач_х» указываем А1:А25; графу «константа» оставляем пустой; в графе «стат» набираем «истина».
6. Нажимаем кнопку «закончить» и устанавливаем курсор в строку формул.
7. Устанавливаем курсор в строку формул и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В результате получаем таблицу 9.

 

       Таблица 9

	C	D
80	14,07823657	-35,1563923
81	0,711474905	5,841406895
82	0,94451696	14,99754038
83	391,5410895	23
84	88067,85625	5173,303002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Сравнение результатов, полученных в среде Excel в матричной форме, с результатами работы функции ЛИНЕЙН показывает, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Отсюда следует, что вычисления проведены правильно.

Линейная аппроксимация имеет вид:

y=-35,1556+14,0781x

Квадратичная аппроксимация имеет вид:

 y=-0,61511+0,55425x-0,90104x2

Экспоненциальная аппроксимация имеет вид:

y=2,42137 е0,35140x

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом  описывает экспериментальные данные, т.к. коэффициент корреляции равен 0,97186; Коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации – 0,94452; квадратичной  аппроксимации – 0,99772; экспоненциальной аппроксимация – 0,87120.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

1. Б.П. Демидович, И.А. Марон. Основы вычислительной математики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.
2. Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.: Высшая школа, 1991.             
3. Гончаров A., Excel 97 в примерах. — СПб: Питер, 1997.
4. Левин А., Самоучитель работы на компьютере. - М.: Международное агентство А.Д.Т., 1996.
5. Информатика: Методические указания к курсовой работе. Санкт-Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999
6. Информатика: Учебник / Под ред. Проф. Н.В. Макаровой. М.: Финансы и статистика, 1997.