Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Ноября 2013 в 12:03, курсовая работа
Целью данной курсовой работы является ознакомление студента с математической основой построения систем защиты информации в телекоммуникационных системах - методами криптографии. Эта курсовая работа направлена на формирование у студента систематизированного представления о принципах, методах и средствах реализации защиты данных. Задача данной курсовой работы – научить студентов практическим навыкам ассиметричного и симметричного шифрования-дешифрования информации.
Введение……………………………………………………….…………………..3
Задание №1……………………………………………………………………...…4
Задача 1…………………………………….........................................................…4
Задача 2……………………………………………………………...………….....7
Задание № 2…...…………………………………………………………...……..12
Задача 1...………………………………………………...……………………....12
Задача 2………………………………………………………...…………………14
Задача 3…………………………………..……………………..………………..18
Заключение……………………………………………………………………….22
Список литературы……………………………………...…………….…………23
Таким образом, исходное сообщение ПЛЮС имеет хеш – код m=46.
Для вычисления цифровой подписи используем следующую формулу:
S=md (mod n) = 4643 mod 77 = 74
Пара (M, S) передается получателю как электронный документ М, подписанный цифровой подписью S, причем подпись S сформирована обладателем секретного ключа d.
Получив пару (M, S), получатель вычисляет хеш – код сообщения М двумя способами:
1) Восстанавливает хеш – код m’, применяя криптографическое преобразование подписи S с использованием открытого ключа e:
m’=Se (mod n) =747 mod 77 = 46
2) Находит результат хеширования принятого сообщения с помощью той же хеш – функции: m=H(M) =46.
При равенстве вычисленных значений m’ и m получатель признает пару (M, S) подлинной.
Контрольные вопросы
1. Какими преимуществами
перед другими алгоритмами с
закрытым ключом обладает
2. Дайте краткую характеристику системы Диффи-Хеллмана.
3. Объясните, почему число р, необходимое при вычислении секретных ключей, следует выбирать большим?
Задание №2
Задача 1. Система с открытым ключом Диффи-Хелмана
Сгенерировать секретные ключи для пяти абонентов по методу Диффи-Хеллмана (DH). Для этого взять значение секретного ключа x из таблицы 1. Соответствующие значения открытого ключа вычислить и результаты внести в таблицу. Вариант задания определяется по номеру i (предпоследняя цифра) и j (последняя цифра зачетной книжки)– требуемая для реализации этого алгоритма число x . Число j – начальный номер для второго абонента при выборе числа x. Для выбора x для связи с пятью абонентами необходимо по циклической процедуре выбрать x по последней цифре зачетки.
Значения согласно варианту:
i |
j |
23 |
7 |
Xa=7
Xb=11
Xc=13
Xd=17
Xe=19
Так как g=23, пусть q=1783, тогда p=3566.
Проверим выполнение условий данных в методических указаниях:
1<g<p-1 и gqmodp≠1
1<23<3566 и 231783 mod 3567=605
Решение:
Вычислим открытые числа Y для пяти абонентов по следующей формуле:
Ya = gXa mod р = 27mod 3567 = 128
Yb = gXb mod р = 211mod 3567 = 2048
Yc = gXc mod р = 213mod 3567 = 1058
Yd = gXd mod р= 217mod 3567 = 2660
Ye = gXe mod р = 219mod 3567 = 3506
Таблица1.3 Ключи пользователей в системе Диффи-Хеллмана
Абонент |
Секретный ключ |
Открытый ключ |
A |
7 |
128 |
B |
11 |
2048 |
C |
13 |
1058 |
D |
17 |
2660 |
E |
19 |
3506 |
Приведем пример работы алгоритма Диффи-Хеллмана. Покажем как абонент A и B смогут вычислить секретные ключи, благодаря открытым числам Ya и Yb. Вычислим следующие величины:
ZAB = (YB)XAmodp
= (2048)7 mod 3567 = 1061
ZBA = (YA)XBmodp = (128)11 mod 3567 = 1061
Z = Zab=Zва
Таким образом, любая пара абонентов может вычислить свой секретный ключ, который в нашем примере является Z.
Задача 2. Шифрование по алгоритму Шамира
Зашифровать сообщение по алгоритму Шамира для трех абонентов, взяв значение сообщения m и значение p из таблицы 2. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j – требуемые для реализации этого алгоритма число р. Выбор данных для других абонентов произвести циклически согласно процедуре (i + 1) и (g + 1).
Таблица 2 Исходные данные для выбора сообщений (m)
i |
4 |
5 |
6 |
Сообщение |
20 |
22 |
24 |
j |
0 |
1 |
2 |
p |
29 |
31 |
37 |
Решение:
Перейдем к описанию системы. Пусть есть два абонента Аи В, соединенные линией связи. А хочет передать сообщение m абоненту Б так, чтобы никто не узнал его содержание. А выбирает случайное большое простое число р и открыто передает его В. Затем А выбирает два числа сА и dA , такие, что
сАdA mod (р - 1) = 1.
Эти числа А держит в секрете и передавать не будет. В тоже выбирает два числа св dв, такие, что
св<dв mod (p - 1) = 1,
и держит их в секрете.
После этого А передает свое сообщение m, используя трехступенчатый протокол. Если m < р (m рассматривается как число), то сообщение т передается сразу , если же т р, то сообщение представляется в виде m1, m2,..., mt, где все mi < р, и затем передаются последовательно m1, m2,..., mt. При этом для кодирования каждого mi лучше выбирать случайно новые пары (cA,dA) и (cB,dB) — в противном случае надежность системы понижается. В настоящее время такой шифр, как правило, используется для передачи чисел, например, секретных ключей, значения которых меньше р. Таким образом, мы будем рассматривать только случай m < р.
Описание протокола.
Шаг 1. А вычисляет число: Х1
=mСА modp (2.3),
Шаг 2. В, получив х1, вычисляет
число: X2 = х1CB mod p (2.4),
и передает х2 к А.
Шаг 3. А вычисляет число: X3
= х2dA mod p (2.5),
и передает его В.
Шаг 4. В, получив х3, вычисляет число X4 = x3dB mod p (2.6).
Утверждение (свойства протокола Шамира).
1) х4 = m, т.е. в результате реализации протокола от А к В действительно передается исходное сообщение;
2) злоумышленник не может, узнать, какое сообщение было передано.
Доказательство. Вначале
заметим, что любое целое число
е
0 может быть представлено в виде е
= k(р-1)+r, где r = е mod (p-1). Поэтому на основании
теоремы Ферма:
(2.7).
Справедливость первого пункта утверждения вытекает из следующей цепочки равенств:
(предпоследнее равенство следует из (2.7), а последнее выполняется в силу (2.1) и (2.2)).
Доказательство второго пункта утверждения основано на предположении, что для злоумышленника, пытающегося определить m, не существует стратегии более эффективной, чем следующая. Вначале он вычисляет CB из (2.4), затем находит dB и, наконец, вычисляет Х4 = m по (2.6). Но для осуществления этой стратегии злоумышленник должен решить задачу дискретного логарифмирования (2.4), что практически невозможно при больших р.
Опишем метод нахождения пар cA,dA и сB,dB, удовлетворяющих (2.1) и (2.2). Достаточно описать только действия для абонента А. так как действия для В совершенно аналогичны. Число сA выбираем случайно так, чтобы оно было взаимно простым с р-1 (поиск целесообразно вести среди нечетных чисел, так как р - 1 четно), Затем вычисляем dA с помощью обобщенного алгоритма Евклида.
Теорема Пусть a и b – два целых положительных числа. Тогда существуют целые (не обязательно положительные) числа x и y, такие, что
ax + by = gcd(a, b). (1)
Обобщенный алгоритм Евклида служит для отыскания gcd(a,b) и x,y, удовлетворяющих (1). Введем три строки U=(u1, u2, u3), V=(v1, v2, v3) и Т=(t1, t2, t3). Тогда алгоритм записывается следующим образом.
Решение:
Пусть А хочет передать В сообщение m = 20. А выбирает р = 29,
сАdA mod (р - 1) = 1.
сА = 5 , dA = 17.
Аналогично, В выбирает параметры
свdв mod (p - 1) = 1
cB = 3 и dB = 19. Переходим к протоколу Шамира.
Шаг 1. x1 = 205mod 29 =24.
Шаг 2. х2 = 243 mod 29 = 20.
ШагЗ. x3= 2017 mod 29 = 25.
Шаг 4. х4 = 2519 mod 29 = 20.
Таким образом, В получил передаваемое сообщение m = 20.
Пусть B хочет передать C сообщение m = 22. B выбирает р = 31,
СBdB mod (р - 1) = 1.
СB = 7 , dB = 13.
Аналогично. C выбирает параметры
Сcdc mod (p - 1) = 1
Cc = 11 и dc = 11. Переходим к протоколу Шамира.
Шаг 1. x1 = 227mod 31 =21.
Шаг 2. х2 = 2111 mod 31 = 12.
ШагЗ. x3= 1213 mod 31 =17.
Шаг 4. х4 = 1711 mod 31 =22.
Таким образом, C получил передаваемое сообщение m = 22.
СRdR mod (р - 1) = 1.
СR = 5 , dR = 29.
Аналогично. В выбирает параметры
СAdA mod (p - 1) = 1
CA = 7 и dA = 31. Переходим к протоколу Шамира.
Шаг 1. x1 = 245mod 37 =2.
Шаг 2. х2 = 27 mod 37 = 17
ШагЗ. x3= 1729 mod 37 = 5.
Шаг 4. х4 = 531 mod 37 =24.
Таким образом, A получил передаваемое сообщение m = 24.
Задача 3. Шифрование по алгоритму Эль- Гамаля
По таблице 3 выбрать сообщение m и секретный ключ x и провести шифрование по методу Эль-Гамаля для пяти абонентов. Вариант задания определяется последними цифрами номера студенческого билета. По номеру i (предпоследняя цифра) студент выбирает сообщение для зашифровывания, по j (последняя цифра) – требуемые для реализации этого алгоритма секретный ключ x. Исходные данные для других четырех секретных ключей x выбираются циклически по процедуре (i+1) и (j+1).
Таблица 4 Исходные данные для выбора сообщений и числа х.
i |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Сообщение |
13 |
3 |
15 |
11 |
15 |
j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
х |
29 |
11 |
13 |
7 |
19 |
Решение:
Пусть имеются абоненты А, В, С, D, которые хотят передавать друг другу зашифрованные сообщения, не имея никаких защищенных каналов связи. Шифр Эль – Гамаля решает эту задачу, используя, в отличие от шифра Шамира, только одну пересылку сообщения. Фактически здесь используется схема Диффи – Хеллмана, чтобы сформировать общий секретный ключ для двух абонентов, передающих друг другу сообщение, и затем сообщение шифруется путем умножения его на этот ключ. Для каждого следующего сообщения секретный ключ вычисляется заново.
Для всей группы абонентов выбираются некоторое большое простое число р и число g, такие, что различные степени g суть различные числа по модулю р. Числа р и g передаются абонентам в открытом виде (они могут использоваться всеми абонентами сети).
Нам необходимо выбрать числа p и g так, чтобы они отвечали следующим требованиям:
gq mod p
где p=2q+1.
Возьмем p=29 и g=11.
2q+1=29 q=14
Проверим соотношение:
1114
mod 29= 28
Затем каждый абонент группы выбирает свое секретное число ci:
(см. таблицу 5.1), и вычисляет соответствующее ему открытое число di:
Т а б л и ц а 5.1
– Ключи пользователей в
Абонент |
Секретный ключ |
Открытый ключ |
A |
3 |
26 |
B |
5 |
14 |
C |
7 |
12 |
D |
11 |
10 |
Информация о работе Курсовая работа по «Защите информации в телекоммуникационных системах»