Микропроцессорные устройства

Для получения числа  в некоторой позиционной системе  счисления необходимо сложить произведения значений цифр на степени оснований, показатели которых равны номерам разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля). Все системы счисления, которые будут рассматриваться ниже, являются позиционными. Число А_(p) представляется в виде последовательных цифр, А_(p)=а_n-1a_n-2...a₁a₀. При этом всегда выполняется неравенство a_k<p. Видно, что одно и то же число А  в зависимости от основания p при кодировании формируется из разного количества разрядов.

Для кодирования заданного диапазона  чисел в машине в зависимости  от выбранной системы счисления  требуется разное количество оборудования.

Определим, при каком основании  p₀ для представления данного множества чисел М требуется наименьшее количество аппаратуры (аппаратных затрат). Множество чисел М=pⁿ. Предположим, что объём используемых электронных элементов для обработки каждого разряда пропорционален основанию системы счисления. Тогда для реализации множества чисел М=pⁿ потребуется N электронных схем: N=α*p*n, где α – коэффициент пропорциональности, p- основание системы счисления, n – количество разрядов. Так как lnM=n*lnp => n=lnM/lnp. Подставим в выражение для N значение n. N=α*p*lnM/lnp. Поскольку N есть функция p при прочих постоянных значениях, для определения p₀ найдём и приравняем нулю первую производную:

=> lnp-1=0,   p₀=e.

Таким образом, наиболее экономичным основанием позиционной системы счисления является число e =2.718 .

Из целочисленных значений оснований ближайшими к значению e являются цифры 2 и 3. Код с нецелым основанием e технически нереализуем. По соображениям простоты технической реализации явное преимущество на стороне кода с p =2. Для него необходимы дискретные элементы с двумя устойчивыми состояниями.

 

                                              

 

 

Типы данных

Данные – это представление  фактов и идей в формализованном  виде, пригодном и удобном для  фиксации, передачи и переработки  в процессе их использования.

Информация – это смысл, который  приписывается данным посредством соглашений, принятых при их представлении. Данные являются изображением информации.

Содержание (смысл) сообщения - это  информация, а знаки, в которые  сообщение воплощено, - это данные.

В ЭВМ используют двоичное представление информации, поэтому  символы «0» и «1» являются единственными элементами машинного алфавита. Принято называть символы «0» и «1» двоичными цифрами или разрядами и связывать с ними понятие бита как минимальной единицы представления информации. Восьмиразрядное двоичное число называют байтом. Формат байта представлен на рисунке .

 

 

 

 

 

 

Разряды байта разделены на две  группы по четыре двоичных разряда  – тетрады.

Иногда к восьми информационным разрядам байта присоединяется девятый разряд. Он используется для контроля правильности передачи байтовой информации в ЭВМ путём определения чётности или не чётности «1» в коде. При значении этого разряда, равном 1, число единиц в передаваемых данных нечётное, а при равном 0 – чётное. Этот метод получил название контроля чётности.

Слово – это последовательность знаков, которую удобно рассматривать  как одно целое.

С точки зрения размерности  МП поддерживает следующие основные типы данных (рисунок 2)

 

 

 

В данном случае слово – это  последовательность из двух байт, имеющих  последовательные адреса. Размер слова – 16 бит; биты нумеруются от 0 до 15. Байт, содержащий 15-й бит называется старшим байтом. Младший байт содержит нулевой бит.

Двоичное слово – последовательность из четырёх байт (32 бита), расположенных по последовательным адресам. Нумерация от 0 до 31. Слово, содержащее нулевой бит, называется младшим словом, а слово, содержащее 31-й бит, – старшим словом.

 

2.2 Двоичная система  счисления

В этой системе используются только два символа. Это хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем, имеющих только два устойчивых состояния. В качестве символов служит 0 и 1. Основание p =2. Количественный эквивалент некоторого целого n-значного двоичного числа вычисляется согласно формуле (1)

А₍₂₎=а_n-1*2^n-1+a_n-2*2^n-2+…+a₁*2¹+a₀*2⁰            (2)

Каждой позиции (разряду) присваивается определённый вес. Вес  разрядов равен основанию системы счисления возведённому в степень соответствующую номеру разряда. Рассмотрим двоичное число 10100111. Вычислим количественный эквивалент этого числа. Согласно формуле (2) получим:

1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰=128+32+4+2+1=167.

 

2.3 Шестнадцатеричная  система счисления

Данная система счисления имеет  следующий набор цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}. Основание системы p =16.

Следующая таблица содержит представления  десятичных чисел из диапазона 0-15 в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

 

Десятичные числа	Двоичные числа	Шестнадцатеричные числа
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

 

Таблицей удобно пользоваться при преобразованиях чисел из одной системы счисления в другую. Количественный эквивалент некоторого целого n-разрядного числа вычисляется по формуле (1).

A₍₁₆₎=a_n-1*16^n-1+a_n-2*16^n-2+…+a₁*16¹+a₀*16⁰   

Например, число F45ED23C в десятичной системы счисления будет следующим:

15*16⁷+4*16⁶+5*16⁵+14*16⁴+13*16³+2*16²+3*16¹+12*16⁰ = 4099854908.

 

Десятичная система  счисления

Данная система счисления имеет  следующий набор цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, основание степени p =10. Количественный эквивалент некоторого целого n-значного десятичного числа вычисляется согласно формуле

A₍₁₀₎=a_n-1*10^n-1+a_n-2*10^n-2+…+a₁*10¹+a₀*10⁰

 

            Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для того чтобы в полной мере использовать системы счисления в своей  практической работе необходимо уметь  выполнять взаимное преобразование чисел между тремя рассмотренными системами счисления.

             Преобразование десятичных чисел в двоичные

Алгоритм преобразования следующий:

1. Разделить десятичное число А на основание системы счисления (в данном случае на 2).
2. Запомнить частное q и остаток а. Если в результате первого шага частное q 0, то принять его за новое делимое и отметить остаток а, который будет очередной значащей цифрой числа. Далее вернуться к шагу 1, на котором в качестве делимого (десятичного числа) участвует полученное на шаге 2 частное.
3. Если в результате шага 1 частное q =0, алгоритм прекращается.
4. Выписать остатки в порядке обратном их получению. Тем самым будет составлен двоичный эквивалент исходного числа.

Рассмотрим два примера.

1.Преобразовать десятичное число 57 в двоичное число

Шаг   Деление   Частное   Остаток

1   57/2    28    1   (МЗР)

2   28/2    14    0

3   14/2    7    0

4   7/2    3    1

5   3/2    1    1

6   1/2    0    1   (СЗР)

 

МЗР – младший значащий разряд.

СЗР – старший значащий разряд.

В процессе преобразования следует  учитывать, что частное от деления 1 на 2 составляет нуль, а остаток равен 1.

Результат: 57₁₀=111001₂.

 

2. Преобразуем десятичное число  134 в двоичное число.

Шаг    Деление    Частное    Остаток

1   134/2    67    0   (МЗР)

2   67/2    33    1

3   33/2    16    1

4   16/2    8    0

5   8/2    4    0

6   4/2    2    0

7   2/2    1    0

8   1/2    0    1   (СЗР)

Результат: 134₁₀=10000110₂

 

Перевод чисел из десятичной системы счисления в

шестнадцатеричную

Практическое использование шестнадцатеричной системы объясняется тем, что число 16 есть число 2 в четвёртой степени. Поэтому шестнадцатеричную цифру используют как средство сокращённой записи 4-разрядного двоичного кода. Общая идея преобразования аналогична рассмотренной выше.

1. Разделить десятичное число А на 16. Запомнить частное q и остаток а.

2. Если в результате шага 1 частное q 0, то принять его за новое делимое, записать остаток и вернутся к пункту 1.

3. Если частное q=0, то прекратить работу алгоритма.
4. Выписать остатки в порядке, обратном их получению. Тем самым составляется шестнадцатеричный эквивалент исходного десятичного числа.

 

1.Требуется преобразовать  число 32767₁₀ в 16-ную систему счисления.

Шаг    Деление    Частное    Остаток

1   32767/16   2047    15₁₀=F₁₆    (МЗР)

2   2047/16   127    15₁₀=F₁₆ 

3   127/16   7    15₁₀=F₁₆ 

4   7/16    0    7    (СЗР)

Результат: 32767₁₀=7FFF₁₆

 

2.Преобразовать число  634.

Шаг    Деление    Частное    Остаток

1   634/16   39    10₁₀=А₁₆   (МЗР)

2   39/16    2    7

3   2/16    0    2    (СЗР)

Результат: 634₁₀=27А₁₆

 

                                    Перевод дробных чисел.

Любое дробное число  в системе счисления с основанием p можно представить в виде

A_(p)=a_n-1*p^n-1+a_n-2*p^n-2+…+a₁*p¹+a₀*p⁰+a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m

Рассмотрим операции перевода чисел на примерах.

Перевести в десятичное представление  дроби в двоичной системе счисления.

Как и в десятичной системе  в двоичной системе для отделения  дробной части от целой используется точка. Каждая позиция справа от этой точки имеет свой  вес – вес разряда дробной части числа. Значение веса в этом случае равно основанию двоичной системы, возведённому в отрицательную степень. Такие веса – это дроби 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и т.д., которые могут быть записаны как 2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4 и т.д.

Преобразовать число:

110100,01001011=1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+   

+0*2^-3+0*2^-4+1*2^-5+0*2^-6+1*2^-7+1*2^-8

 

Перевести в десятичное представление дробь в шестнадцатеричной  системе счисления:

1DF2,A1E4₁₆=1*16³+13*16²+15*16¹+2*16⁰+10*16^-1+1*16^-2+14*16^-3+

+4*16^-4

 

Рассмотрим проблему представления десятичных дробей в  двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Общий алгоритм перевода десятичной дроби в другую систему счисления можно представить следующей последовательностью шагов.

1. Выделить целую часть десятичной дроби и выполнить её перевод в выбранную систему счисления по алгоритмам, рассмотренным выше;
2. Выделить дробную часть и умножить её на основание выбранной новой системы счисления;
3. В полученной после умножения десятичной дроби выделить целую части и принять её в качестве значения первого после запятой разряда числа в новой системе счисления;
4. Если дробная часть значения, полученного после умножения, равна нулю, то прекратить процесс перевода! Процесс перевода можно также прекратить в случае, если достигнута необходимая точность вычисления. В противном случае перейти к шагу 3.

Пример: Преобразовать десятичное число 0,34375₁₀ в двоичное:

2*0,34375=0,6875   0  (СЗР)

2*0,6875=1,375             1

2*0,375=0,75    0

2*0,75=1,5             1

2*0,5=1     1  (МЗР)

Результат: 0,34375₁₀=0,01011₂

 

Перевести в двоичную систему счисления  десятичную дробь108,406

1. Переводят целую часть десятичной дроби в двоичную систему счисления:

108₁₀=1101100₂

2. Переведём дробную часть в двоичную систему:

2*0,406=0,812    0  (СЗР)

2*0,812=1,624    1

2*0,624=1,248    1

2*0,248=0,496    0

2*0,496=0,992    0

2*0,992=1,984    1

2*0,984=1,968    1

2*0,968=1,936    1

…………………

Результат перевода следующий: 108,406₁₀ 1101100,01100111₂

 

Рассмотрим следующий  пример: преобразовать десятичное число 634,328125 в шестнадцатеричное

634₁₀=27А₁₆