Применение средств MathCad к решению задач качественной теории автономных систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Факультет физико-математический

Кафедра «теории и методики обучения математике»

 

 

Специальность "Математика-информатика"

 

 

 

 

 

Курсовая работа по теме:

 

«Применение средств MathCad к решению задач качественной теории автономных систем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

студент гр. 09ФПМ1

Самылкина Т.А

Проверил:

Зудина Т.А

 

 

 

 

Пенза 2014 г.

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Моя курсовая работа посвящена изучению основ качественной теории дифференциальных уравнений автономных систем с применением средств MathCad и имеет следующую структуру:

 

В первой главе я рассматриваю теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений и систем, геометрическую интерпретацию решений, автономные уравнения и системы на плоскости, линейные системы и линейную замену переменных, типы фазовых портретов для канонических систем, нелинейные системы на плоскости и их линеаризацию в окрестности особой точки, локальное и глобальное поведение их фазовых портретов, сложные особые точки и обыкновенные точки. В конце главы я привожу примеры, иллюстрирующие теоретический материал, в которых исследую на устойчивость решения дифференциальных систем, нахожу положения равновесия уравнений, исследую особые точки и рисую фазовые плоскости траекторий уравнений и систем.

 

Вторая глава посвящена приложениям теории дифференциальных уравнений в биологии. Здесь я рассматриваю дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты. Более подробно изучаю уравнения Вольтерра - Лотка, модель Холлинга - Теннера. В конце главы исследую другие модели, описывающие конкуренцию двух видов, рассматриваю уравнение типа «хищник - жертва» и рисую типичные фазовые портреты для этих моделей. П

 

 

Теория дифференциальных уравнений возникла из прикладных задач в области механики и астрономии и в настоящее время самым тесным образом связана с приложениями. Она оказывает большое влияние на развитие других областей математики. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические и биологические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических, магнитных и биологических явлений и др.

 

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

 

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.

 

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений.

 

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

 

Начало качественной теории дифференциальных уравнений было положено в работах знаменитого французского математика Пуанкаре. В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

 

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

 

Известно много приложений математики в биологии. В первую очередь это исследования по физиологическим проблемам, относящимся к ощущениям, кровообращению, движению животных; эти исследования можно рассматривать как разделы оптики, акустики, гидродинамики, механики твердого тела.

 

Мы будем рассматривать биологические сообщества. Они состоят из нескольких популяций биологических видов, живущих в общей среде. Обычно индивидуумы этих сообществ оспаривают одну и ту же пищу, или же одни виды живут за счет других, которыми они питаются. Так же они могут и взаимно оказывать друг другу помощь. Все это входит в общее явление борьбы за существование. Количественный характер этого явления проявляется в заданной среде в виде изменений численности индивидуумов, составляющих различные популяции. В определенных условиях эти изменения состоят в колебаниях числа индивидуумов около некоторых средних значений, в других случаях они вызывают исчезновение или прогрессирующее увеличение некоторых видов.

 

Изучение этих вариаций и разнообразных изменений является важным теоретически, но во многих случаях это изучение представляет и огромную практическую важность, как это мы имеем в случае живущих в одних и тех же морях разных видов рыб, изменение числа которых интересует промышленность. Точно так же изменение числа паразитов растений интересует агрономию в том случае, когда эти паразиты ведут борьбу за существование с их собственными паразитами. Инфекционные болезни, например, малярия, показывают также изменения, которые зависят, по всей вероятности, от подобных же причин.

 

Борьба за существование относится к тем вопросам, о которых в конце позапрошлого века очень много спорили, но не делали почти никаких попыток узнать, что она в действительности собой представляет. В XX веке несколько выдающихся людей ясно чувствовали необходимость математической теории борьбы за существование и делали определенные шаги в этой области. При этом часто один исследователь не знал о работах другого, но приходил к тем же самым выводам, что и его предшественник. По-видимому, всякое серьезное размышление над процессом конкуренции заставляет человека охватить этот процесс в его целом, а это неизбежно ведет к математике, так как простое описание и даже количественное выражение данных еще недостаточно для ясного представления о взаимоотношении конкурирующих компонентов в процессе их роста.

 

Первый шаг в этой области был сделан Рональдом Россом в 1911 году, который интересовался в это время распространением малярии. Размышляя над процессом распространения, Росс пришел к заключению, что он имеет дело со своеобразным случаем борьбы за существование между малярийным плазмодием и человеком при участии комара. Росс математически сформулировал уравнение борьбы за существование для малярии, которое по своей идее довольно близко к тем уравнениям борьбы за существование, которые были предложены в 1926 г. итальянским математиком Вольтерра, не знавшим об исследованиях Росса. В то время как Росс работал над вопросом о распространении малярии, американский математик Лотка теоретически исследовал ход определенных химических реакций и должен был здесь иметь дело с уравнениями такого же типа. Позже Лотка заинтересовался проблемой борьбы за существование, и в 1920 г. сформулировал уравнение, описывающее взаимодействие между хозяевами и паразитами, причем он представил обильный и интересный материал в своей ценной книге "Элементы физической биологии" (1925). Не будучи знаком с этими исследованиями, итальянский математик Вито Вольтерра предложил в 1926 г. довольно сходные уравнения борьбы за существование. В то же самое время он способствовал значительному продвижению вперед в области всей этой проблемы, впервые проведя исследования многочисленных важных вопросов теории конкуренции с теоретической точки зрения. Таким образом, три видных исследователя пришли к весьма сходным теоретическим уравнениям практически в одно и то же время, однако за счет совершенно разных подходов. Также интересно отметить, что экспериментальное изучение борьбы за существование началось только после того, как почва для этого была подготовлена чисто теоретическими исследованиями.

 

Исследования борьбы за существование несомненно будут в будущем быстро прогрессировать, однако этим исследованиям придется преодолеть определенный разрыв между исследованиями современных биологов и математиков. Нет сомнения, что борьба за существование представляет собой биологическую проблему, и она должна решаться экспериментальным путем, а не за столом математика. Однако, для того, чтобы глубже проникнуть в природу этих явлений, ученые должны объединить экспериментальный метод с математической теорией, возможность которой создана блестящими исследованиями Лотки и Вольтерры. Соединение экспериментального метода с количественной теорией вообще является одним из самых мощных средств современной науки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Основные определения  и  теоремы.

 

1.1 Существование и единственность решений дифференциальных уравнений и систем.

 

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т.д.

 

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

                      (1.1)

Здесь t - независимое переменное, x- неизвестная функция, зависящая от t. - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных.

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства проходит единственная интегральная кривая.

 

Здесь дадим еще одну интерпретацию системы дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений в механике и физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через и будем считать, что они задают закон движения , материальной точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n - мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных . Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид

    (2)

 

 

Система (2) в каждый момент времени t в данной точке фазового пространства определяет вектор скорости движущейся материальной точки, т.е. система (2) задает поле скоростей в пространстве .  Решением системы (2) является такой закон движения материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (2) называется динамической системой, а каждое ее решение - движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (2), так как интегральная кривая расположена в ). Задачи Коши для системы (2) теперь состоит в том, что требуется найти движение , системы (2), удовлетворяющее при начальным условиям

 

.                   (3)

 

Это значит, найти закон движения