Применение средств MathCad к решению задач качественной теории автономных систем

 

, (4)

 

 

определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени занимала начальное положение .

Для обеспечения существования и единственности решения задачи Коши для системы (2), т.е. задачи (2) и (3), предположим, что все функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные  , в цилиндрической области , где D - ограниченная замкнутая область пространства переменных , .

 

 В силу теоремы Пикара решение (4) задачи Коши определяется в малой окрестности точки области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось .

 Наибольший интерес представляет частный случай системы (2), когда ее правые части явно не зависят от t:

 

(5)

где функции и  , , определены и непрерывны в области D пространства . Тогда D является фазовым пространством системы (5).

 

Систему уравнений (5) называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.

 

2. Автономные системы.

 

Автономной системой дифференциальных уравнений n  –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x)  (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная  x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

 

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

 

 

Применение средств MathCAD к решению задач качественной теории автономных систем

рассмотрим на примере.

 

Задача: