Система счисления

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ

ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 
Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и  само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его  развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать  или придумал слова для обозначения  чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные  люди сначала знали только "один", "два" и "много", подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного  числа и множественного числа. Позднее  человек научился делать различия между  двумя и тремя деревьями и  между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые  первые названия чисел были прилагательными. Например, слово "три" использовалось только в сочетаниях "три дерева" или "три человека"; представление  о том, что эти множества имеют  между собой нечто общее - понятие  троичности - требует высокой степени  абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что  слова "один" и "первый", равно  как "два" и "второй", во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие  за пределами первобытного счета "один", "два", "много", слова "три" и "третий", "четыре" и "четвертый" ясно указывают на взаимосвязь между  количественными и порядковыми  числительными. Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа  объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные  числовые записи делались в виде зарубок  на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное  соответствие. Но для чтения таких  числовых записей названия чисел  непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех  элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число  практически уже невозможно, и  нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался  в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто  группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен  счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел  берут свое начало именно от этого  способа подсчета. Важная особенность  счета заключается в связи  названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово "двадцать три" - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий "два раза по десять и три". Здесь  отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или  основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как  отметил еще Аристотель, у нас  по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории  человечества за основания системы  счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения  или вычислений использовались основания 12 и 60. Считать человек начал задолго  до того, как он научился писать, поэтому  не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о  тех словах, которыми в древности  обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что  же касается письменных, то необходимость  в них появилась лишь с переходом  к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе  записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

 
ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

 
ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ 
Древний Египет. Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу обозначений чисел.) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев - волнистой линией и десять волнистых линий - фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

<="" div="" style="border-style: none;"> 
Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале - папирусе. Два таких документа - папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) - служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как

 
означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В то же время не было найдено  ни одной таблички с записью, в  которой символ нуля находился бы в конце числа. Именно поэтому  вавилонскую систему мы считаем  лишь относительно позиционной, ибо  самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее  изобретение вавилонянами позиционной  системы счисления с нулем  представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для  математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой  Коперника в астрономии. Символы  для обозначения чисел на вавилонских  глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения  чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные  формы записи, иногда - с новыми символами  для обозначения чисел 100 и 1000, или  использовали принципы умножения или  вычитания. Однако превосходство разработанной  в Месопотамии системы счисления  отчетливо видно в обозначении  дробей. Здесь не требовалось вводить  новые символы. Как и в нашей  собственной десятичной позиционной  системе, в древневавилонской системе  подразумевалось, что на первом месте  справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление  часа и углового или дугового градуса  на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы  счисления.>>">

 
число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность  была устранена введением специального символа в виде двух небольших  клиньев, помещаемого на пустующее  место, т.е. обозначающего пустую позицию  в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена  отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

 
означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В  то же время не было найдено ни одной  таблички с записью, в которой  символ нуля находился бы в конце  числа. Именно поэтому вавилонскую  систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные  какой-нибудь степени числа 60. Тем  не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления  с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней  гипотезой Коперника в астрономии. Символы для обозначения чисел  на вавилонских глиняных табличках  не столь точны, как символы для  обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы  записи, иногда - с новыми символами  для обозначения чисел 100 и 1000, или  использовали принципы умножения или  вычитания. Однако превосходство разработанной  в Месопотамии системы счисления  отчетливо видно в обозначении  дробей. Здесь не требовалось вводить  новые символы. Как и в нашей  собственной десятичной позиционной  системе, в древневавилонской системе  подразумевалось, что на первом месте  справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление  часа и углового или дугового градуса  на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы  счисления.>">

 
, т.е. 1*(60)2 + 53*(60) + 9. В Древнем  Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления  оставалась псевдопозиционной или  лишь относительно позиционной,  поскольку не существовало эквивалента  современной десятичной запятой,  равно как и символа для  обозначения отсутствующей позиции.  Обозначал ли символ

 
число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось  догадываться из контекста. Однако в  период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших  клиньев, помещаемого на пустующее  место, т.е. обозначающего пустую позицию  в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена  отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

 
означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В  то же время не было найдено ни одной  таблички с записью, в которой  символ нуля находился бы в конце  числа. Именно поэтому вавилонскую  систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные  какой-нибудь степени числа 60. Тем  не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления  с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней  гипотезой Коперника в астрономии. Символы для обозначения чисел  на вавилонских глиняных табличках  не столь точны, как символы для  обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы  записи, иногда - с новыми символами  для обозначения чисел 100 и 1000, или  использовали принципы умножения или  вычитания. Однако превосходство разработанной  в Месопотамии системы счисления  отчетливо видно в обозначении  дробей. Здесь не требовалось вводить  новые символы. Как и в нашей  собственной десятичной позиционной  системе, в древневавилонской системе  подразумевалось, что на первом месте  справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление  часа и углового или дугового градуса  на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы  счисления.">

 
, т.е. 5*10 + 9. Но для записи  чисел больше 59 древние вавилоняне  впервые использовали новый принцип  - одно из самых выдающихся  достижений в развитии систем  обозначений чисел - принцип позиционности,  т.е. зависимости значения символа  от его местоположения в записи  числа. Вавилоняне заметили, что  в качестве коллективных символов  более высокого порядка можно  применять уже ранее использованные  символы, если они будут занимать  в записи числа новое положение  левее предыдущих символов. Так,  один клиновидный знак мог  использоваться для обозначения  и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости  от занимаемого им в записи  числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях  используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При  обозначении чисел больше 60 знаки,  выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что  символы разбивались на "места", или "позиции", и единицы  более высокого порядка располагались  слева. При таком способе записи  для обозначения сколь угодно  больших чисел уже не нужно  было других символов, кроме уже  известных. Например, число 6789 можно  было записать так:

 
, т.е. 1*(60)2 + 53*(60) + 9. В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления  оставалась псевдопозиционной или  лишь относительно позиционной,  поскольку не существовало эквивалента  современной десятичной запятой,  равно как и символа для  обозначения отсутствующей позиции.  Обозначал ли символ

 
число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось  догадываться из контекста. Однако в  период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших  клиньев, помещаемого на пустующее  место, т.е. обозначающего пустую позицию  в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена  отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

 
означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В  то же время не было найдено ни одной  таблички с записью, в которой  символ нуля находился бы в конце  числа. Именно поэтому вавилонскую  систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные  какой-нибудь степени числа 60. Тем  не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления  с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней  гипотезой Коперника в астрономии. Символы для обозначения чисел  на вавилонских глиняных табличках  не столь точны, как символы для  обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы  записи, иногда - с новыми символами  для обозначения чисел 100 и 1000, или  использовали принципы умножения или  вычитания. Однако превосходство разработанной  в Месопотамии системы счисления  отчетливо видно в обозначении  дробей. Здесь не требовалось вводить  новые символы. Как и в нашей  собственной десятичной позиционной  системе, в древневавилонской системе  подразумевалось, что на первом месте  справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление  часа и углового или дугового градуса  на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы  счисления.

 
Древняя Греция. В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления - аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова "пента" (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука "п", а не "г"). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова "дека" (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X - 1000 (хилиои), символ M - 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом