Система счисления

 
. Вторая принятая в  Древней Греции ионическая система  счисления - алфавитная - получила  широкое распространение в начале  Александрийской эпохи, хотя возникнуть  она могла несколькими столетиями  раньше, по всей видимости, уже  у пифагорейцев. Эта более тонкая  система счисления была чисто  десятичной, и числа в ней обозначались  примерно так же, как в древнеегипетской  иератической системе. Используя  двадцать четыре буквы греческого  алфавита и, кроме того, еще  три архаических знака, ионическая  система сопоставила девять букв  первым девяти числам; другие  девять букв - первым девяти целым  кратным числа десять; и последние  девять символов - первым девяти  целым кратным числа 100. Для  обозначения первых девяти целых  кратных числа 1000 греки частично  воспользовались древневавилонским  принципом позиционности, снова  использовав первые девять букв  греческого алфавита, снабдив их  штрихами слева. Например, число  6789 в ионической системе записывалось  как FYPQ. Чтобы отличить числа  от слов, греки над соответствующей  буквой ставили горизонтальную  черту. Первоначально числа обозначались  прописными буквами, но позднее  сменились на строчные. Ионическая  система первоначально не сильно  потеснила уже установившуюся  аттическую или акрофоническую (по  начальным буквам слов, означавших  числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была  принята в Александрии во времена  правления Птолемея Филадельфийского  и в последующие годы распространилась  оттуда по всему греческому  миру, включая Аттику. Переход к  ионической системе счисления  произошел в золотой век древнегреческой  математики и, в частности,  при жизни двух величайших  математиков античности. Есть нечто  большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед  и Аполлоний работали над усовершенствованием  системы обозначения больших  чисел. Архимед, придумавший схему  октад (эквивалентную современному  использованию показателей степени  числа 10), гордо заявлял в своем  сочинении Псаммит (Исчисление  песчинок), что может численно  выразить количество песчинок, необходимых  для того, чтобы заполнить всю  известную тогда Вселенную. Изобретенная  им система обозначения чисел  включала число, которое ныне  можно было бы записать в  виде единицы, за которой следовало  бы восемьдесят тысяч миллионов  миллионов цифр. С помощью простого  введения диакритических знаков  наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч,  алфавитное обозначение целых  чисел можно было бы легко  приспособить для обозначения  десятичных дробей, но этой возможностью  они не воспользовались. Вместо  этого для обозначения дробей  греки использовали приемы древних  египтян и вавилонян. Египетское  влияние в Греции было достаточно  сильным, чтобы навязать грекам  употребление лишь аликвотных  дробей, однако большие вычислительные  удобства системы счисления вавилонян  побудили живших позднее александрийских  астрономов перейти к использованию  шестидесятиричных дробей. Переняв  систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую  клинопись своими буквенными  обозначениями. Например, Птолемей  записал длину хорды, стягивающей  дугу в 120° окружности радиусом  в 60 единиц, как RGNE'KG', т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период  в вавилонской шестидесятиричной  системе имелся специальный символ  для обозначения пустой позиции,  и греческие астрономы ввели  для этой цели букву омикрон.  Неясно, был ли такой выбор  подсказан тем, что с этой  буквы начиналось слово оуден  (ничто). Сходство греческой буквы  О с современным обозначением  нуля может быть чем-то большим,  чем случайное совпадение, но  у нас нет точных данных, позволяющих  утверждать это со всей определенностью.  Поскольку греки работали с  обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения.  Герон и Диофант, самые известные  арифметики среди древнегреческих  математиков, записывали дроби  в алфавитной форме, причем  числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение  отдавалось либо дробям с единичным  числителем, либо шестидесятиричным  дробям. Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование  шестидесятиричных дробей в десятичной  системе счисления, объяснялись  отнюдь не пороками основополагающих  принципов. Недостатки греческой  системы счисления можно отнести  скорее за счет их упорного  стремления к строгости, которое  заметно увеличило трудности,  связанные с анализом отношения  несоизмеримых величин. Слово  число греки понимали как набор  единиц, поэтому то, что мы теперь  рассматриваем как единое рациональное  число - дробь, - греки понимали  как отношение двух целых чисел.  Именно этим объясняется, почему  обыкновенные дроби редко встречались  в греческой арифметике. Кроме  того, десятичные представления  обыкновенных дробей в большинстве  случаев бесконечны. А поскольку  бесконечность была исключена  из строгих рассуждений, теоретическая  арифметика не нуждалась втакого  рода представлениях. С другой  стороны, областью, в которой практические  вычисления испытывали величайшую  потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система  обозначений угловых, дуговых  и временных величин сохраняется  и поныне.>>>">

 
. Еще большие числа  обычно описывались словами. Число  6789 в аттической системе записывалось  в виде

 
. Вторая принятая в Древней  Греции ионическая система счисления  - алфавитная - получила широкое распространение  в начале Александрийской эпохи,  хотя возникнуть она могла  несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у  пифагорейцев. Эта более тонкая  система счисления была чисто  десятичной, и числа в ней обозначались  примерно так же, как в древнеегипетской  иератической системе. Используя  двадцать четыре буквы греческого  алфавита и, кроме того, еще  три архаических знака, ионическая  система сопоставила девять букв  первым девяти числам; другие  девять букв - первым девяти целым  кратным числа десять; и последние  девять символов - первым девяти  целым кратным числа 100. Для  обозначения первых девяти целых  кратных числа 1000 греки частично  воспользовались древневавилонским  принципом позиционности, снова  использовав первые девять букв  греческого алфавита, снабдив их  штрихами слева. Например, число  6789 в ионической системе записывалось  как FYPQ. Чтобы отличить числа  от слов, греки над соответствующей  буквой ставили горизонтальную  черту. Первоначально числа обозначались  прописными буквами, но позднее  сменились на строчные. Ионическая  система первоначально не сильно  потеснила уже установившуюся  аттическую или акрофоническую (по  начальным буквам слов, означавших  числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была  принята в Александрии во времена  правления Птолемея Филадельфийского  и в последующие годы распространилась  оттуда по всему греческому  миру, включая Аттику. Переход к  ионической системе счисления  произошел в золотой век древнегреческой  математики и, в частности,  при жизни двух величайших  математиков античности. Есть нечто  большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед  и Аполлоний работали над усовершенствованием  системы обозначения больших  чисел. Архимед, придумавший схему  октад (эквивалентную современному  использованию показателей степени  числа 10), гордо заявлял в своем  сочинении Псаммит (Исчисление  песчинок), что может численно  выразить количество песчинок, необходимых  для того, чтобы заполнить всю  известную тогда Вселенную. Изобретенная  им система обозначения чисел  включала число, которое ныне  можно было бы записать в  виде единицы, за которой следовало  бы восемьдесят тысяч миллионов  миллионов цифр. С помощью простого  введения диакритических знаков  наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч,  алфавитное обозначение целых  чисел можно было бы легко  приспособить для обозначения  десятичных дробей, но этой возможностью  они не воспользовались. Вместо  этого для обозначения дробей  греки использовали приемы древних  египтян и вавилонян. Египетское  влияние в Греции было достаточно  сильным, чтобы навязать грекам  употребление лишь аликвотных  дробей, однако большие вычислительные  удобства системы счисления вавилонян  побудили живших позднее александрийских  астрономов перейти к использованию  шестидесятиричных дробей. Переняв  систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую  клинопись своими буквенными  обозначениями. Например, Птолемей  записал длину хорды, стягивающей  дугу в 120° окружности радиусом  в 60 единиц, как RGNE'KG', т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период  в вавилонской шестидесятиричной  системе имелся специальный символ  для обозначения пустой позиции,  и греческие астрономы ввели  для этой цели букву омикрон.  Неясно, был ли такой выбор  подсказан тем, что с этой  буквы начиналось слово оуден  (ничто). Сходство греческой буквы  О с современным обозначением  нуля может быть чем-то большим,  чем случайное совпадение, но  у нас нет точных данных, позволяющих  утверждать это со всей определенностью.  Поскольку греки работали с  обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения.  Герон и Диофант, самые известные  арифметики среди древнегреческих  математиков, записывали дроби  в алфавитной форме, причем  числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение  отдавалось либо дробям с единичным  числителем, либо шестидесятиричным  дробям. Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование  шестидесятиричных дробей в десятичной  системе счисления, объяснялись  отнюдь не пороками основополагающих  принципов. Недостатки греческой  системы счисления можно отнести  скорее за счет их упорного  стремления к строгости, которое  заметно увеличило трудности,  связанные с анализом отношения  несоизмеримых величин. Слово  число греки понимали как набор  единиц, поэтому то, что мы теперь  рассматриваем как единое рациональное  число - дробь, - греки понимали  как отношение двух целых чисел.  Именно этим объясняется, почему  обыкновенные дроби редко встречались  в греческой арифметике. Кроме  того, десятичные представления  обыкновенных дробей в большинстве  случаев бесконечны. А поскольку  бесконечность была исключена  из строгих рассуждений, теоретическая  арифметика не нуждалась втакого  рода представлениях. С другой  стороны, областью, в которой практические  вычисления испытывали величайшую  потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система  обозначений угловых, дуговых  и временных величин сохраняется  и поныне.>>">

 
, 50000 - символом

 
. Еще большие числа обычно  описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось  в виде

 
. Вторая принятая в Древней  Греции ионическая система счисления  - алфавитная - получила широкое распространение  в начале Александрийской эпохи,  хотя возникнуть она могла  несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у  пифагорейцев. Эта более тонкая  система счисления была чисто  десятичной, и числа в ней обозначались  примерно так же, как в древнеегипетской  иератической системе. Используя  двадцать четыре буквы греческого  алфавита и, кроме того, еще  три архаических знака, ионическая  система сопоставила девять букв  первым девяти числам; другие  девять букв - первым девяти целым  кратным числа десять; и последние  девять символов - первым девяти  целым кратным числа 100. Для  обозначения первых девяти целых  кратных числа 1000 греки частично  воспользовались древневавилонским  принципом позиционности, снова  использовав первые девять букв  греческого алфавита, снабдив их  штрихами слева. Например, число  6789 в ионической системе записывалось  как FYPQ. Чтобы отличить числа  от слов, греки над соответствующей  буквой ставили горизонтальную  черту. Первоначально числа обозначались  прописными буквами, но позднее  сменились на строчные. Ионическая  система первоначально не сильно  потеснила уже установившуюся  аттическую или акрофоническую (по  начальным буквам слов, означавших  числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была  принята в Александрии во времена  правления Птолемея Филадельфийского  и в последующие годы распространилась  оттуда по всему греческому  миру, включая Аттику. Переход к  ионической системе счисления  произошел в золотой век древнегреческой  математики и, в частности,  при жизни двух величайших  математиков античности. Есть нечто  большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед  и Аполлоний работали над усовершенствованием  системы обозначения больших  чисел. Архимед, придумавший схему  октад (эквивалентную современному  использованию показателей степени  числа 10), гордо заявлял в своем  сочинении Псаммит (Исчисление  песчинок), что может численно  выразить количество песчинок, необходимых  для того, чтобы заполнить всю  известную тогда Вселенную. Изобретенная  им система обозначения чисел  включала число, которое ныне  можно было бы записать в  виде единицы, за которой следовало  бы восемьдесят тысяч миллионов  миллионов цифр. С помощью простого  введения диакритических знаков  наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч,  алфавитное обозначение целых  чисел можно было бы легко  приспособить для обозначения  десятичных дробей, но этой возможностью  они не воспользовались. Вместо  этого для обозначения дробей  греки использовали приемы древних  египтян и вавилонян. Египетское  влияние в Греции было достаточно  сильным, чтобы навязать грекам  употребление лишь аликвотных  дробей, однако большие вычислительные  удобства системы счисления вавилонян  побудили живших позднее александрийских  астрономов перейти к использованию  шестидесятиричных дробей. Переняв  систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую  клинопись своими буквенными  обозначениями. Например, Птолемей  записал длину хорды, стягивающей  дугу в 120° окружности радиусом  в 60 единиц, как RGNE'KG', т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период  в вавилонской шестидесятиричной  системе имелся специальный символ  для обозначения пустой позиции,  и греческие астрономы ввели  для этой цели букву омикрон.  Неясно, был ли такой выбор  подсказан тем, что с этой  буквы начиналось слово оуден  (ничто). Сходство греческой буквы  О с современным обозначением  нуля может быть чем-то большим,  чем случайное совпадение, но  у нас нет точных данных, позволяющих  утверждать это со всей определенностью.  Поскольку греки работали с  обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения.  Герон и Диофант, самые известные  арифметики среди древнегреческих  математиков, записывали дроби  в алфавитной форме, причем  числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение  отдавалось либо дробям с единичным  числителем, либо шестидесятиричным  дробям. Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование  шестидесятиричных дробей в десятичной  системе счисления, объяснялись  отнюдь не пороками основополагающих  принципов. Недостатки греческой  системы счисления можно отнести  скорее за счет их упорного  стремления к строгости, которое  заметно увеличило трудности,  связанные с анализом отношения  несоизмеримых величин. Слово  число греки понимали как набор  единиц, поэтому то, что мы теперь  рассматриваем как единое рациональное  число - дробь, - греки понимали  как отношение двух целых чисел.  Именно этим объясняется, почему  обыкновенные дроби редко встречались  в греческой арифметике. Кроме  того, десятичные представления  обыкновенных дробей в большинстве  случаев бесконечны. А поскольку  бесконечность была исключена  из строгих рассуждений, теоретическая  арифметика не нуждалась втакого  рода представлениях. С другой  стороны, областью, в которой практические  вычисления испытывали величайшую  потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система  обозначений угловых, дуговых  и временных величин сохраняется  и поныне.>">

 
, 5000 - символом

 
, 50000 - символом

 
. Еще большие числа обычно  описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось  в виде

 
. Вторая принятая в Древней  Греции ионическая система счисления  - алфавитная - получила широкое распространение  в начале Александрийской эпохи,  хотя возникнуть она могла  несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у  пифагорейцев. Эта более тонкая  система счисления была чисто  десятичной, и числа в ней обозначались  примерно так же, как в древнеегипетской  иератической системе. Используя  двадцать четыре буквы греческого  алфавита и, кроме того, еще  три архаических знака, ионическая  система сопоставила девять букв  первым девяти числам; другие  девять букв - первым девяти целым  кратным числа десять; и последние  девять символов - первым девяти  целым кратным числа 100. Для  обозначения первых девяти целых  кратных числа 1000 греки частично  воспользовались древневавилонским  принципом позиционности, снова  использовав первые девять букв  греческого алфавита, снабдив их  штрихами слева. Например, число  6789 в ионической системе записывалось  как FYPQ. Чтобы отличить числа  от слов, греки над соответствующей  буквой ставили горизонтальную  черту. Первоначально числа обозначались  прописными буквами, но позднее  сменились на строчные. Ионическая  система первоначально не сильно  потеснила уже установившуюся  аттическую или акрофоническую (по  начальным буквам слов, означавших  числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была  принята в Александрии во времена  правления Птолемея Филадельфийского  и в последующие годы распространилась  оттуда по всему греческому  миру, включая Аттику. Переход к  ионической системе счисления  произошел в золотой век древнегреческой  математики и, в частности,  при жизни двух величайших  математиков античности. Есть нечто  большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед  и Аполлоний работали над усовершенствованием  системы обозначения больших  чисел. Архимед, придумавший схему  октад (эквивалентную современному  использованию показателей степени  числа 10), гордо заявлял в своем  сочинении Псаммит (Исчисление  песчинок), что может численно  выразить количество песчинок, необходимых  для того, чтобы заполнить всю  известную тогда Вселенную. Изобретенная  им система обозначения чисел  включала число, которое ныне  можно было бы записать в  виде единицы, за которой следовало  бы восемьдесят тысяч миллионов  миллионов цифр. С помощью простого  введения диакритических знаков  наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч,  алфавитное обозначение целых  чисел можно было бы легко  приспособить для обозначения  десятичных дробей, но этой возможностью  они не воспользовались. Вместо  этого для обозначения дробей  греки использовали приемы древних  египтян и вавилонян. Египетское  влияние в Греции было достаточно  сильным, чтобы навязать грекам  употребление лишь аликвотных  дробей, однако большие вычислительные  удобства системы счисления вавилонян  побудили живших позднее александрийских  астрономов перейти к использованию  шестидесятиричных дробей. Переняв  систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую  клинопись своими буквенными  обозначениями. Например, Птолемей  записал длину хорды, стягивающей  дугу в 120° окружности радиусом  в 60 единиц, как RGNE'KG', т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период  в вавилонской шестидесятиричной  системе имелся специальный символ  для обозначения пустой позиции,  и греческие астрономы ввели  для этой цели букву омикрон.  Неясно, был ли такой выбор  подсказан тем, что с этой  буквы начиналось слово оуден  (ничто). Сходство греческой буквы  О с современным обозначением  нуля может быть чем-то большим,  чем случайное совпадение, но  у нас нет точных данных, позволяющих  утверждать это со всей определенностью.  Поскольку греки работали с  обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения.  Герон и Диофант, самые известные  арифметики среди древнегреческих  математиков, записывали дроби  в алфавитной форме, причем  числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение  отдавалось либо дробям с единичным  числителем, либо шестидесятиричным  дробям. Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование  шестидесятиричных дробей в десятичной  системе счисления, объяснялись  отнюдь не пороками основополагающих  принципов. Недостатки греческой  системы счисления можно отнести  скорее за счет их упорного  стремления к строгости, которое  заметно увеличило трудности,  связанные с анализом отношения  несоизмеримых величин. Слово  число греки понимали как набор  единиц, поэтому то, что мы теперь  рассматриваем как единое рациональное  число - дробь, - греки понимали  как отношение двух целых чисел.  Именно этим объясняется, почему  обыкновенные дроби редко встречались  в греческой арифметике. Кроме  того, десятичные представления  обыкновенных дробей в большинстве  случаев бесконечны. А поскольку  бесконечность была исключена  из строгих рассуждений, теоретическая  арифметика не нуждалась втакого  рода представлениях. С другой  стороны, областью, в которой практические  вычисления испытывали величайшую  потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система  обозначений угловых, дуговых  и временных величин сохраняется  и поныне.">

 
, 500 - символом

 
, 5000 - символом

 
, 50000 - символом

 
. Еще большие числа обычно  описывались словами. Число 6789 в аттической системе записывалось  в виде

 
. Вторая принятая в Древней  Греции ионическая система счисления  - алфавитная - получила широкое распространение  в начале Александрийской эпохи,  хотя возникнуть она могла  несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у  пифагорейцев. Эта более тонкая  система счисления была чисто  десятичной, и числа в ней обозначались  примерно так же, как в древнеегипетской  иератической системе. Используя  двадцать четыре буквы греческого  алфавита и, кроме того, еще  три архаических знака, ионическая  система сопоставила девять букв  первым девяти числам; другие  девять букв - первым девяти целым  кратным числа десять; и последние  девять символов - первым девяти  целым кратным числа 100. Для  обозначения первых девяти целых  кратных числа 1000 греки частично  воспользовались древневавилонским  принципом позиционности, снова  использовав первые девять букв  греческого алфавита, снабдив их  штрихами слева. Например, число  6789 в ионической системе записывалось  как FYPQ. Чтобы отличить числа  от слов, греки над соответствующей  буквой ставили горизонтальную  черту. Первоначально числа обозначались  прописными буквами, но позднее  сменились на строчные. Ионическая  система первоначально не сильно  потеснила уже установившуюся  аттическую или акрофоническую (по  начальным буквам слов, означавших  числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была  принята в Александрии во времена  правления Птолемея Филадельфийского  и в последующие годы распространилась  оттуда по всему греческому  миру, включая Аттику. Переход к  ионической системе счисления  произошел в золотой век древнегреческой  математики и, в частности,  при жизни двух величайших  математиков античности. Есть нечто  большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед  и Аполлоний работали над усовершенствованием  системы обозначения больших  чисел. Архимед, придумавший схему  октад (эквивалентную современному  использованию показателей степени  числа 10), гордо заявлял в своем  сочинении "Псаммит" ("Исчисление  песчинок"), что может численно  выразить количество песчинок, необходимых  для того, чтобы заполнить всю  известную тогда Вселенную. Изобретенная  им система обозначения чисел  включала число, которое ныне  можно было бы записать в  виде единицы, за которой следовало  бы восемьдесят тысяч миллионов  миллионов цифр. С помощью простого  введения диакритических знаков  наподобие тех, которые греки  применяли для обозначения тысяч,  алфавитное обозначение целых  чисел можно было бы легко  приспособить для обозначения  десятичных дробей, но этой возможностью  они не воспользовались. Вместо  этого для обозначения дробей  греки использовали приемы древних  египтян и вавилонян. Египетское  влияние в Греции было достаточно  сильным, чтобы навязать грекам  употребление лишь аликвотных  дробей, однако большие вычислительные  удобства системы счисления вавилонян  побудили живших позднее александрийских  астрономов перейти к использованию  шестидесятиричных дробей. Переняв  систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую  клинопись своими буквенными  обозначениями. Например, Птолемей  записал длину хорды, стягивающей  дугу в 120° окружности радиусом  в 60 единиц, как RGNE'KG', т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период  в вавилонской шестидесятиричной  системе имелся специальный символ  для обозначения "пустой" позиции,  и греческие астрономы ввели  для этой цели букву омикрон.  Неясно, был ли такой выбор  подсказан тем, что с этой  буквы начиналось слово оуден  (ничто). Сходство греческой буквы  О с современным обозначением  нуля может быть чем-то большим,  чем случайное совпадение, но  у нас нет точных данных, позволяющих  утверждать это со всей определенностью.  Поскольку греки работали с  обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения.  Герон и Диофант, самые известные  арифметики среди древнегреческих  математиков, записывали дроби  в алфавитной форме, причем  числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение  отдавалось либо дробям с единичным  числителем, либо шестидесятиричным  дробям. Недостатки греческих обозначений  дробных чисел, включая использование  шестидесятиричных дробей в десятичной  системе счисления, объяснялись  отнюдь не пороками основополагающих  принципов. Недостатки греческой  системы счисления можно отнести  скорее за счет их упорного  стремления к строгости, которое  заметно увеличило трудности,  связанные с анализом отношения  несоизмеримых величин. Слово  "число" греки понимали как  набор единиц, поэтому то, что  мы теперь рассматриваем как  единое рациональное число - дробь, - греки понимали как отношение  двух целых чисел. Именно этим  объясняется, почему обыкновенные  дроби редко встречались в  греческой арифметике. Кроме того, десятичные представления обыкновенных  дробей в большинстве случаев  бесконечны. А поскольку бесконечность  была исключена из строгих  рассуждений, теоретическая арифметика  не нуждалась втакого рода  представлениях. С другой стороны,  областью, в которой практические  вычисления испытывали величайшую  потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская  традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система  обозначений угловых, дуговых  и временных величин сохраняется  и поныне. 
Рим. Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Q (или Е, или Д) и f (или , или ). ). Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и f. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую. Разумеется, в деталях они отличались. Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX и XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII. В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Тем не менее для обозначения 10000 они эпизодически использовали символ , а для числа 100000 - символ . Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5000 () и 50000 (). Таким образом, в римских обозначениях число 6789 можно было бы записать как . Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Английские слова "ounce" (унция) и "inch" (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины. 
Обозначения чисел у древних евреев. Семитские народы могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Действительно, с небольшими модификациями этот принцип применялся евреями, сирийцами, арамейцами и арабами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков, по-видимому из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 в. до н.э. У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход к 2 в. до н.э. Девять букв алфавита использовались для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100 не хватало, в Талмуде числа, превосходящие 400, записывались путем комбинации: например, число 500 обозначалось символами, соответствующими числам 400 и 100, а 900 записывалось как 400 и 400 и 100. Позднее для обозначения чисел, кратных 100 и превосходящих 400, использовались окончательные варианты формы букв или других символов, в результате чего все девять кратных числа 100 получили свои индивидуальные обозначения в виде буквы или специального знака. (См. таблицу обозначений чисел.) Как и в ионической системе счисления, символы для обозначения первых девяти кратных числа 1000 были такими же, как символы, обозначающие первые девять чисел в разряде единиц. Число 6789 евреи записывали как