Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

       1. Все поперечные составляющие векторов поля выражают с помощью так называемых уравнений связи через имеющиеся в данной волне продольные составляющие векторов напряженности электрического или магнитного поля ( для Е волн и для Н волн).

       2. Решают волновые уравнения только для этих продольных составляющих;

       3. Вычисляют с помощью уравнений связи поперечные составляющие векторов и в линии передачи. Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений связи и решению одномерных однородных волновых уравнений для продольных составляющих векторов и . Для Е волн предстоит решить уравнение:

(2.16),

       а для Н волн – уравнение:                                   

(2.17).

       Решениями  уравнений (3.16) и (3.17) являются следующие уравнения:

(2.18),

(2.19).

       Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла (3.12), раскрытых для соответствующей системы координат. Для декартовой (прямоугольной) системы координат (x,y,z) уравнения связи для Е и Н волн выглядят следующим образом:

       Е волны:

       

(2.20), 
 
 
 
 

       Н волны:

       

 (2.21),

       где K –продольное волновое число для E и H-волн в волноводе,      поперечное волновое число.

       

(2.22),

       

(2.23).

       Для этих волн поперечное волновое число  ≠ 0, а продольное волновое число K отличается от k. Рассмотрим, как будет изменяться величина K в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных системах частота ω есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота генератора. Положим в общем виде:

       K = β – jα (2.24),

         jK = α + jβ (2.25).

       В зависимости от величины ω могут  иметь место три случая (напомним, что  ).

       1. Волновое число k > (частота ω достаточно высокая). При этом продольное волновое число K является чисто вещественной величиной (2.23). Следовательно, в данном случае (2.24) K = β, α = 0. Волна распространяется вдоль линии без затухания и процесс ее распространения определяется множителем , где β играет роль коэффициента распространения этой волны в волноводе: 

       

(2.26).

       2. Волновое число k < (частота ω низкая). При этом продольное волновое число K является чисто мнимой величиной (2.23) и, в соответствии с (2.24), K = –jα, β = 0. Это означает, что в данном случае в линии передачи существует не электромагнитная волна, а не распространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону , где α – коэффициент затухания, равный:

       

(2.27). 

       3.  Волновое число k = . При этом продольное волновое число K = 0. Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны, ни «привязанного» поля. Такой режим работы линии передачи называют критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также называют критической и обозначают ω_кр. Она определяет границу перехода от режима, при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль линии передачи невозможно. Из выражения (2.23), полагая K = 0, находим ω_кр:

       

(2.28),

       

(2.29),

       где V – фазовая скорость плоской  электромагнитной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Из формул (2.28) и (2.29) видно, что критическая частота зависит не только от поперечного волнового числа , но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается неудобной, поэтому помимо ω_кр и f_кр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» – λ_кр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна f_кр:

       

(2.30).

       Таким образом Е и Н волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия:

       f > f_кр  или λ < λ_кр (2.31),

       где f – частота возбуждающего линию передачи генератора, а λ – длина волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.

       Найдем  фазовую и групповую скорости Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи – V_ф и V_гр. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны:

       

(2.32).

       Приравняв аргумент косинуса этого выражения  постоянной величине, получим:

       

(2.33).

       Фазовая скорость будет равна производной  по времени от полученной величины z

       

(2.34),

       где β определяется выражением (2.26).

       Продолжая преобразования, найдем:

       

(2.35).

       Анализ  выражения (2.35) показывает, что, во-первых, V_ф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е и Н волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, V_ф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная , совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е и Н волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим V_гр, отличается от V_ф и равна:                   

       

(2.36).

       Как и следовало ожидать, V_гр оказывается меньше, чем V. Примечательно, что всегда выполняется условие:

       

(2.37).

       Найдем  длину волны Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи.

       Фазовая скорость V_ф определяет длину волны в линии передачи, которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е или Н волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний T:

       

(2.38).

       Подставляя  в (3.38) значение V_ф из (2.35), и учитывая, что T = λ/V, получаем:

       

 (2.39),

       где λ – длина волны в свободном  пространстве, соответствующая частоте  генератора, возбуждающего Е и Н волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве λ. Из формул (2.39) и (2.35) следует, что с увеличением частоты возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f  к f_кр значения Λ и V_ф все больше превосходят λ и V, стремясь в пределе (при f = f_кр) к бесконечности.

       Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры  электромагнитного поля этих волн для  конкретных направляющих систем. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3 Структура электромагнитного  поля E и H волн, распространяющихся в прямоугольном волноводе

       3.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе 

       Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы  уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

       Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 3.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a.  Уравнение

       

(3.1)

       в декартовой системе координат имеет  следующий вид:

       

(3.2).                                              

       Рисунок 3.1

       При интегрировании уравнения (3.2) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

       Ψ(x,y) = X(x)Y(y) (4.3).

       Подставим (3.2) в (3.3) и выполним частное дифференцирование

       

(3.4).

       Перейдя в (3.4) от частных дифференциалов к обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

       

(3.5).

       Приравняем  первый член уравнения (4.5) постоянному коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту , физический смысл которых будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (3.5) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

       

 (3.6),

       

(3.7),

       

(3.8).

       Уравнения (3.6) и (3.7) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

       Решение уравнения (3.6) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

       

 (3.9),

       Уравнение (3.9) представляет собой суперпозицию бегущих волн. В данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и 0y препятствуют металлические стенки волновода.

       В выражение (3.9) входят три постоянные коэффициента C, D и k_x, для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием .

       Граничное условие для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода (см. рисунок 3.1) трансформируется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (3.9) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в нуль.

       Первое  условие может быть выполнено  только в том случае, если C = 0, а  второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и , и уравнение (3.9) принимает следующий вид:

       

(3.10).

       Проведя аналогичные операции с уравнением (4.7), получаем

       

(3.11),

       где B – постоянный коэффициент, – постоянный коэффициент, n – любое целое положительное число, b – поперечный размер узкой стенки волновода.

       Подставив (3.10) и (3.11) в (3.3), имеем

       

(3.12).

       Численные значения коэффициентов B и D зависят  от параметров источника, возбуждающего  электромагнитную волну в линии  передачи. Подставив (3.12) в (2.18) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е волн в прямоугольном волноводе

       

(3.13)

       Чтобы воспользоваться уравнениями связи  для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном  волноводе, необходимо найти частные  производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (3.13) по переменным x и y: