Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

       

(3.14),

        (3.15).

       Анализ  уравнения (3.13) и его частных производных показывает, что для Е волн целые числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов и этих волн будут равняться нулю. Подставляя значения вычисленных частных производных в уравненияx связи, получим систему уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е волн) в прямоугольном волноводе:

(3.16),

(3.17),

, (3.18)

(3.19)

(3.20)

       

(3.21).

       Уравнения (3.16)-(3.21) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.22),

(3.23),

(3.24),

(3.25),

(3.26),

(3.27),

       где , , , , – амплитуды соответствующих составляющих векторов и , а – максимальные значения этих амплитуд.

       Полезно отметить, что в случае Е волн, являющихся неоднородными плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов и изменяются при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3.2 Система уравнений для Н-волн в прямоугольном волноводе 

       Отличие решения уравнения (3.1) для Н волн от решения для Е волн заключается в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение (3.2), которое в случае Е волн непосредственно трансформируется в граничные условия для составляющей в данном случае (т.е. применительно к продольной составляющей вектора напряженности магнитного поля) может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи (2.20).                                      

         Причем граничные условия могут  быть получены не непосредственно  для составляющей а лишь для ее частных производных и (см. первые два уравнения системы (2.20)). Так как является касательной составляющей при y=0 и при y=b, а является касательной составляющей при x=0 и при x=a, то окончательно получаем:

       

 при y =0 и при y =b (3.28),

       

при x = 0 и при x = a. (3.29).

       Используя эти граничные условия при  решении уравнения (3.1) находим выражение для составляющей магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе:

       

(3.30).

       Анализ  уравнения (3.30) показывает, что, в отличие от уравнения (3.13), в данном случае целые числа m и n порознь могут равняться нулю.

       Найдя частные производные  и , и подставляя полученные значения в уравнения связи (3.21), получаем систему уравнений для векторов и магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе: 
 

(3.31),

(3.31)

(3.32),

(3.33),

(3.34),

(3.35).

       Уравнения (3.31)-(3.35) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.36),

(3.37),

(3.38),

(3.39),

(3.40),

(3.41).                        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       4 Анализ решения  уравнений Максвелла  для прямоугольного  волновода 

       Полученные  выше уравнения (3.22)-(3.27) и (3.36)-(3.41) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

          Прежде всего запишем развернутую  формулу для критической длины  волны Е и Н волн в соответствии с уравнениями (2.30), (3.8), (3.10), (3.11).

       λ_кр = 2π/æ = 2π/(k_x²+ k_y²)^0.5 = 2 / ((m/a)² + (n/b)²) ^0.5(4.1).

       где m и n – целые положительные числа, которые для Н волн могут порознь равняться нулю, а для Е волн начинаются с единицы.

         Каждой паре целых чисел m и n соответствуют разные значения векторов и , а также разные значения λ_кр, V_ф и Λ.

         Физически это означает, что при  выполнении определенных условий  в волноводе могут одновременно  существовать различные по своей  структуре и фазовой скорости Е и Н волны. Эти волны носят название «собственных волн» волновода и обозначаются Е_mn или Н_mn, где латинские заглавные буквы определяют принадлежность собственной волны к классу Е или Н волн, а нижние индексы m и n определяют тип собственной волны (т.е. структуру электрического и магнитного полей этой волны).

       Волновое сопротивление собственных волн равно отношению взаимно-перпендикулярных поперечных составляющих векторов и этих волн. Обратившись к системе уравнений для Е волн (3.16)-(3.21), находим:

        (4.2),

       где – волновое сопротивление плоской однородной волны в свободном пространстве. Обратившись к системе уравнений для Н волн (3.31)-(3.35), находим

        (4.3).

       Как следует из выражений (4.2) и (4.3), волновые сопротивления собственных волн волновода, в отличие от , изменяются при изменении частоты возбуждающего генератора.

         Собственные волны могут распространяться по волноводу не при любых частотах, а лишь при соблюдении условия (2.31).

         Следовательно, возможно такое соотношение между поперечными размерами волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе будут одновременно распространяться несколько собственных волн (теоретически – любое количество).

         В то же время, возможно такое соотношение между названными выше параметрами, при котором в волноводе не сможет распространяться ни одна из собственных волн.

         И, наконец, можно выдержать  такое соотношение между размерами  волновода и частотой возбуждающего  генератора, при котором в волноводе  может распространяться только  одна собственная волна, имеющая  наибольшую из всех собственных  волн критическую длину волны.  Эта собственная волна называется «основной волной волновода» или «волной низшего типа».

         Для стандартного прямоугольного  волновода, у которого a > b, волной основного типа будет собственная волна Н₁₀. Критическая длина волны для собственной волны Н₁₀ равна 2a (4.1). По отношению к волне Н₁₀ все прочие собственные волны называются волнами высших типов. 

       5 Структура поля  волны  в волноводе прямоугольного сечения 

       Для волны Н₁₀ m = 1, n = 0, следовательно, k_x= π/a, k_y= 0, λ_кр= 2a, а система уравнений (3.36)-(3.41) преобразуется к следующему виду: 

       

= 0 (5.1),

       

= – j Е_0y  sin((π/a)x) exp(–jKz) = – j E_y(x) exp(–jKz) (5.2),

       

 = 0 (5.3),

       

 = j H_0x sin((π/a)x) exp(–jKz) = j H_x(x) exp(–jKz) (5.4),

       

 = 0 (5.5),

       

 = H_0zcos((π/a)x) exp(–jKz) = H_z(x) exp(–jKz) (5.6).

       Анализ  уравнений (5.1)-(5.6) показывает, что вектор волны Н₁₀ имеет только одну составляющую Ε_y , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, а вектор – две составляющие: Η_x , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, и Η_z , параллельную продольной оси симметрии волновода. В отличие от плоских однородных поперечных волн, у которых амплитуды векторов и не меняются в плоскости их фазового фронта, амплитуды составляющих , и векторов и волны Н₁₀ изменяются в плоскости фазового фронта этой волны. Амплитуды составляющих и имеют максимальные значения (Е_0y и H_0x) в центре волновода и спадают до нуля около его боковых стенок, а амплитуда составляющей имеет максимум (H_0z) около боковых стенок и спадает до нуля в центре волновода. Фазовые соотношения между этими составляющими таковы, что по отношению к составляющая сдвинута в пространстве и во времени на π (т.е. находится по отношению к ней в противофазе), а составляющая – на π/2 (т.е. находится по отношению к ней в квадратуре). Соответственно, составляющие и сдвинуты по фазе друг относительно друга на π/2.  Формулы для гармонических векторов E (x,z,t) и H (x,z,t) волны Н₁₀ имеют следующий вид:

       

(5.7),

(5.8),

       где E_y(x), H_x(x), H_z(x) – амплитуды составляющих E_y(x,z,t), H_x(x,z,t) и H_z(x,z,t).

         Амплитуды E_y(x), H_x(x), H_z(x) имеют максимальные значения Е_0y, H_0x, H_0z, а их зависимость от пространственной переменной х описывается следующими выражениями (см 4.1):

       E_y(x) = Е_0y sin((π/a)x) (5.9),

       H_x(x) = H_0x sin((π/a)x) (5.10),

       H_z(x) = H_0zcos((π/a)x) (5.11).

Рисунок 5.1

       На  рисунке 5.1 (а, б, в) приведены графические изображения силовых линий вектора волны Н₁₀ в плоскости поперечного сечения волновода (пл11) и в двух взаимно перпендикулярных продольных плоскостях, параллельных узким и широким стенкам волновода и проходящим через ось его геометрической симметрии (пл22 и пл33 соответственно). Изображение сделано для момента времени t₁, когда вектор Е(x,z,t) достигает в плоскости 11 своего максимального положительного значения.

        На рисунке 5.1 (г) приведена зависимость составляющей Е_y(x,z,t) от пространственной переменной (координаты) z в плоскости 22 для момента времени t₁, а на рисунке 5.1 (д) – зависимость амплитуды этой составляющей от координаты  x в плоскости 11.

       Рисунок 5.2

           

       На  рисунке 5.2 (а, б, в) изображены силовые линии вектора волны Н₁₀ в плоскостях 11, 22 и 33 для момента времени t =t₁. На рисунке 5.2 (г, д) приведены зависимости составляющей H_x(x,z,t) от координаты z в пл.22 и составляющей H_z(x,z,t) от координаты z в плоскости y0z для момента времени t₁. На рисунке 5.2 (е, ж) приведены зависимости амплитуд Н_x(x) и Н_z(x) от координаты x в поперечных плоскостях 11 и 44 соответственно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       5.1 Распределение токов проводимости по стенкам волновода, в котором распространяется волна Н₁₀ 

       Познакомимся  со структурой токов проводимости, возбуждаемых волной Н₁₀ на внутренних поверхностях стенок волновода (напомним, что стенки волновода считаются идеально проводящими и по ним могут течь только поверхностные токи).