Определение моментов инерции твердых тел

     .                          (6.20)

    Из  уравнений (6.19а) и (6.20) выражаем искомый момент инерции J_Х

.                             (6.21)

    В качестве дополнительного груза  можно использовать два одинаковых шара массой m_o и радиусом r. Каждый из этих шариков расположен симметрично относительно оси маятника ОО¢, и момент инерции J может быть представлен с использованием теоремы Гюйгенса – Штейнера в следующем виде:

                    (6.22)

    Здесь d – расстояние между осью ОО¢ и центром каждого шара.

    С учетом (6.22) получаем формулу для искомого момента инерции

               (6.23)

Подчеркнем, что формула (6.23) позволяет определить момент инерции J_х крутильного маятника при условии, что теорема Гюйгенса – Штейнера справедлива. Чтобы убедиться в справедливости теоремы, проведем следующие рассуждения. Допустим, что с помощью устройства, изображенного на рис. 6.8, получена зависимость периода колебаний маятника T с дополнительными грузами шарообразной формы от расстояния l между центрами шаров и осью ОО¢. Построим график зависимости T² от l². Покажем, что если теорема Гюйгенса – Штейнера справедлива, этот график должен изображаться прямой, пересекающей ось ординат в точке А (рис. 6.9).

    

.

Наклон этой прямой равен величине

    В самом деле, если действительно справедливо, что 

    

то из формулы (6.20) выражаем период колебаний усложненного маятника

то есть                 где

Полученное  уравнение есть уравнение прямой, что доказывает справедливость теоремы Гюйгенса – Штейнера. Наклон этой прямой равен

      что дает возможность экспериментально определить значение модуля кручения подвеса (оси ОО¢).

    Прямая  пересекает ось координат в точке  что позволяет рассчитать момент инерции J_Х крутильного маятника.

5.2. Описание экспериментальной  установки

    Схема экспериментальной установки для  проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера и определения момента инерции твердого тела изображена на рис. 6.8.

    Тело  1, момент инерции которого J_х необходимо определить, имеет форму шара с кольцом и двумя симметрично расположенными стержнями. При этом дополнительные грузы 2 –

малые шары - надеваются на стержни и могут быть установле-

ны на различных  расстояниях d от оси симметрии ОО′ установ-

ки. Стержень из металлического материала прикреплен к телу 1 с двух сторон и закреплен в кронштейнах 3 (на схеме рис. 6.8 изображен в виде оси ОО¢). Для приведения системы в колебательно-вращательное движение необходимо приложить момент силы – повернуть двумя руками стержни на угол  8-10° (при малых углах период колебаний не зависит от амплитуды колебаний).

5.3. Экспериментальная часть

    Задание. 1. Определение момента инерции J_Х крутильного маятника.

    1. Проведите измерения периода колебаний Т₀ крутильного маятника без дополнительных грузов не менее трех раз. Для более точного измерения периода необходимо измерить время t не менее как десяти полных колебаний, а затем определить период как                       .

Здесь n – число полных колебаний.

     Определите  среднеарифметическое значение периода  крутильных колебаний. При этом угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5¸8°.

    2. Установите дополнительные грузы на концах стержней так, чтобы их край совпадал с краем стержня. В таком положении центры масс шаров будут находиться на расстоянии 0,2 м от оси вращения ОО¢. Измерьте период Т₁ (см. п. 1).

    3. Измерьте периоды Т₂, Т₃,…,Т₆, последовательно передвигая шары на 2 см к центру (см. п. 1).

    Заполните табл. 6.2.

Таблица 6.2

      

    4. Измерьте диаметр шаров-грузов, найдите величину их радиуса. Определите общую массу двух шаров.

    5. Для того, чтобы убедиться в правильности теоремы Гюйгенса – Штейнера, постройте график зависимости Т² как функцию от d² (Т² = f(d²)). В случае если получите линейную зависимость Т² от d² в виде Т² = ad² + c, то это и будет подтверждением справедливости теоремы Гюйгенса – Штейнера.

    6. По тангенсу угла наклона, равному определите коэффициент угловой жесткости материала c.

    7. Численное значение квадрата периода колебаний в точке А (рис. 6.9) равно Из равенства выразите аналитически J_X. Подставив численные значения , c, m₀ и r², определите J_X, используя выражение:

.

    По  предложению преподавателя выполните  дополнительное задание.

    Задание. 2. Определение момента инерции J_Х крутильного маятника.

1. Вычислите момент инерции J_Х по формуле

                   (6.23).

2. Сравните вычисленное значение J_Х и полученное на основании эксперимента значение J_Х (см. п. 7 задания 1).

3. Сделайте вывод о справедливости теоремы

Гюйгенса – Штейнера и о совпадении момента инерции J_Х, рассчитанного по формуле и определенного из графика.

Контрольные вопросы и задания

    1. Сформулируйте цель работы.

    2. Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?

    3. Каков физический смысл понятия момента инерции?

    4. Сформулируете теорему Гюйгенса – Штейнера.

    5. В каких случаях затруднителен аналитический расчет момента инерции тела? Как поступают в этом случае?

    6. Каков физический смысл коэффициента угловой жесткости или модуля кручения подвеса?

    7. Какие колебания называются крутильными?

    8. В чем состоит метод проверки справедливости теоремы Гюйгенса – Штейнера, используемый в данной работе?

    9. Какова зависимость T² от d² в предлагаемой работе? Каковы цели, построения этого графика.

    10. Объясните метод определения модуля кручения подвеса, используемый в данной работе.

    11. Какие физические величины влияют на период колебаний маятника, используемого в данной работе?

Вариант 3

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ДИСКА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

6.1. описание метода измерения

    Как и в предыдущих вариантах определения моментов инерции твердых тел, в настоящем случае используется метод колебаний. Однако, если варианты 1 и 2 рассматривают колебания относительно вертикальной оси, то в данном случае ось вращения твердого тела горизонтальна и не проходит через центр масс (тяжести) тела.

    Такое тело, будучи выведено из состояния устойчивого равновесия, начнет совершать под действием силы тяжести ко-

лебания относительно этой оси. То есть мы будем иметь дело с физическим маятником. Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки О, не совпадающей с центром масс С. Найдем выражение для периода колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим колебания некоторого тела, обладающего массой m, ось вращения которого О₁О₂ горизонтальна и проходит через точку О, находящуюся на расстоянии ℓ от центра тяжести тела С (рис. 6.10).

    Момент  силы тяжести, действующей на тело относительно оси О₁О₂, имеет величину M = mgℓ sin φ, и уравнение динамики вращательного движения тела примет в данном случае вид:

,                       (6.24)

где величина углового ускорения. Знак минус в равенстве (6.24) обусловлен тем, что вектор момента сил тяжести и вектор угла поворота направлены по оси вращения, но в противоположные стороны (рис. 6.11).

    Если  углы поворота тела относительно положения  равновесия малы, то можно считать, что sin φ ≈ φ и уравнение (6.24) имеет вид:

.                         (6.25)

    Уравнение (6.25) описывает колебательное движение тела относительно оси О₁О₂ и представляет собой дифференциальное уравнение. Решение уравнения имеет вид:

φ = φ₀ sin (wt + α),                            (6.26)

где φ₀  – максимальный угол отклонения от положения равновесия, который является амплитудой в уравнении; (wt + α) - фаза колебания; α - начальная фаза колебания; w – циклическая частота колебаний, которая связана с период колебаний физического маятника Т следующим соотношением . В нашем случае . Тогда период колебаний физического маятника равен

.                                   (6.27)