Логика предикатов

    Будем говорить, что при осуществлении этих приписываний в добавление к уже имеющейся интерпретации формулы, формула оказывается полностью интерпретированной.

    Однако важно заметить, что формулы со свободными переменными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к категории предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (в отличие от простых, указанных среди исходных символов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких предметов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком случае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок предметных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат «(Р²(x, a₁) > ∃yQ²(x, y))», -- выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р² и a₁ то оно делится без остатка (Q²) на некоторое число у», выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.

1.4.3 Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная формула -- это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем свободным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказывание -- с определенным смыслом и истинностным значением -- но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней -- явным или неявным образом -- логических констант, (которые и определяются рассматриваемыми правилами III). Явным образом указываются -- в сложных формулах -- логические константы, перечисленные в списке исходных символов. Простые атомарные формулы видов Pⁿ (t₁, …,tn) по-видимому, не содержат логических констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некоторому предмету t при n= 1 или о наличии отношения Pⁿ между предметами  t₁, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в формулах, осуществляется как раз посредством правил приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

      Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) высказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn и предикатора Pⁿ   . Оно зависит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁), f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D -- множество людей: Р² означает «больше»: f¹₁ «возраст»: a₁ -- Петров, a₂ -- Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.

      Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказывание, полученное из определенной формулы рассматриваемого языка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов -- составляющих формулу -- осуществляется посредством выражений естественного языка. Мы говорим «значение Р² -- больше, a₁  и a₂  -- соответственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуществляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их выражений, ради достижения которой как раз и строятся формализованные языки. Однако точность здесь по сравнению с естественными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, -- достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений формализованного языка -- а за счет определенных, стандартных способов построения высказываний и их логических форм. И она именно сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при указанных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляющие их формулы полностью интерпретированы.

        Формула вида А & В имеет значение «истина» -- при данной интерпретации и приписывании значений свободным переменным -- е. т. е. А имеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В -- истина е. т. е. значение А равно И или значение В равно И.

Формуле вида  А ⊃ В приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или В имеет значение И.

Значением формул вида ¬А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ∀х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для всякого предмета а(i) из D, А(а(i)) -- истина (А(а(i)) -- результат замещения всех свободных вхождений х в А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ∃ х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам неявным образом определяют также значения логических констант «&», «v», «⊃ », «¬»  и кванторов ∀ и ∃ и вместе с тем и смыслы высказываний, образованных посредством соответствующих констант. Например, высказывания вида   ∀х А(х) , ∃  х А(х) ,относящиеся к некоторой области индивидов D, мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно А(х}» и «существует предмет х в D такой, что верно А(х)». Нетрудно видеть, что &, v, ⊃ ,¬ , представляют собой здесь логические связки -- знаки функций истинности, -- определенные ранее в разделе «Логика высказываний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.

 

1.5  Закон логики предикатов

       Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть (⊨А) е. т. е. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях значений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным. Законы логики предикатов называются также универсально-общезначимыми формулами логики предикатов.

* Формула А называется общезначимой в некоторой области D е. т. е. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминам и свободным переменным в этой области D. Формула А называется выполнимой, если она истинна при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь приписывании значений ее свободным предметным переменным. В противном случае она называется невыполнимой.

       Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда делается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является формулой логики предикатов. Однако из любого закона логики высказываний получается закон логики предикатов при подстановке вместо пропозициональных переменных любых формул логики предикатов (при замене каждого вхождения какой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов; хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).

       Так же, как и в логике высказываний, здесь введением указанных понятий -- законов логики предикатов и логического следования -- в сочетании с определениями логических констант задается бесконечное множество случаев отношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой В (или между двумя формулами А и В) и является ли некоторая формула А законом логики. Эта специфика логики предикатов характеризуется как неразрешимость этой теории относительно универсальной общезначимости формул. Эта ограниченность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относительно структур некоторых высказываний.

         Как и в логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования и законами логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется в виду связь

А1, .... Аn ⊨ В е. т. е. ⊨ (А1 ⊃ (А2⊃ (А2 ⊃ ... (Аn⊃  В) ...));

последняя же, как мы видели раньше, равносильна ⊨ ((А1 &А2 & ... &An) ⊃ В)  -- при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.

В связи с отмеченной неразрешимостью логики предикатов особое значение приобретает здесь формализация понятий следования и закона логики посредством построения логических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос, является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы не можем решить этот вопрос посредством семантического анализа. Для логики высказываний исчисление высказываний, вообще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.

          1.6 Исчисление предикатов

     В основе исчисления предикатов лежит язык логики предикатов. В остальном оно является расширением исчисления высказываний.

      Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы получим, добавив к перечисленным выше схемам аксиоматического исчисления высказываний (имея в виду, конечно, переход к языку логики предикатов) следующие четыре схемы и одно правило:

1. ∀x A(x) ⊃ A(t) -- схема ∀и .

2. A(t) ⊃∃х А(х) -- схема ∃в.

3. ∀x (В ⊃ С(х)) ⊃ (В ⊃∀x С(х))  схема введения ∀ в консеквент .

4. ∀x (С(х) ⊃  В) ⊃ (∃x⊃C(x) ⊃ В) -- схема введения ∃ в антецедент.

A(t) -- результат правильной подстановки терма ( вместо х в А(х); В -- не содержит х свободно.

Правило ∀в (правило введения квантора общности, иное A(t) название: правило обобщения): ---- (из А непосредственно выводимо∀x A).

     Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и новое правило), однако, если мы хотим, чтобы отношение формальной выводимости было аналогом семантического понятия следования, необходимо ограничить применение ∀в : оно может применяться к некоторой формуле А(х) для обобщения лишь по таким переменным х, которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула. Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны определить понятие зависимости некоторой формулы вывода от допущений (гипотез). Везде в дальнейшем будем иметь в виду выводы с анализом (то есть обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых гипотез или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получатся, и используемые при этом правила).

        Формула В данного вывода зависит от некоторого допущения А, если и только если: а) она есть само допущение А; б) получается из некоторых формул по правилам системы (из С⊃В и С по m. р. или из С по ∀в), какая-нибудь из которых зависит от А. Более простым образом понятие зависимости разъясняется в описываемой далее системе натурального вывода, значительно проще осуществляются там сами выводы и доказательства.

       1.6.1 Натуральная система исчисления предикатов

         Постулатами системы (исходными правилами) являются все правила натуральной системы исчисления высказываний и правила для кванторов.

    Правила вывода для выражений с кванторами:

∀в :

 

 

∀и :

∃в :

 

 

∃и :

 

 

      Понятие вывода и доказательства остаются формально теми же, которые были сформулированы в исчислении высказываний, разница лишь в том, что при ссылке на правила вывода теперь имеются в виду и вновь введенные правила для выражений с кванторами. К числу указанных в предыдущем параграфе эвристических принципов введения допущений может быть добавлен еще один.

Если в выводе получена формула ∃х А(х} и нужно вывести В, не выводимую непосредственно из имеющихся формул, вводим допущение А(х), применяя способ рассуждения согласно ∃и.

       Рассмотрим несколько примеров выводов.

Схема доказательства формул вида: ¬∃x A(x) ⊃∀x¬A(x):

+ 1. ¬∃x A(x) [1].

+ 2. A(x) [2].

   3. ∃x A(x) [2] - из 2, ∃в.

   4. ¬ A(x) [1] - из 1,3, ¬в.

   5. ∀x¬A(x) [1] - из 4, ∀в.

   6. ¬∃x A(x) ⊃∀x¬A(x) [ - ] - из 5, ⊃в.

     Схемы доказательств рассмотренных в аксиоматической системе аксиом «введения ∀ в консеквент» и «введения ∃ в антецедент»:

      Предполагается, что А не содержит х свободно.

 

+  1. ∀x (A ⊃ B(x)) [1].

+  2. А [2].

3. A ⊃ В(х) [1] --из 1, ∀и.

4. В(х) [1, 2] --из3 и 2, ⊃и.

5. ∀x B(x) [1, 2] --из 4, ∀в.

6. A⊃∀x B(x) [1] --из5, ⊃в.

7. ∀x (A ⊃ B(x)) ⊃ (A ⊃∀x B(x)) [ - ] --из 6, ⊃в.

 

+  1. A ⊃ (В(х) ⊃ A) [1].

+  2. ∃x B(x) [2].

+  3. В(х) [З].

4. В(х) ⊃ A [1]--из 1, ∀и.

5. А [1, 3] -- из 3, 4, ⊃в.

6. A [1, 2]-- из 5, ∃и.

7. ∃x B(x) ⊃ А [1]--из 6, ⊃в.

8. ∃x (B(x) ⊃ А) ⊃ (∃x B(x) ⊃ А) -- из 7, ⊃в.

 

        Сформулированное здесь исчисление, как и приведенная выше аксиоматическая система исчисления предикатов, представляет собой адекватную формализацию понятий логического следования и закона логики. Это значит, что для них справедливы теоремы:

Г ⊨ B е. т. е. Г ⊢ B и ⊨ A е. т. е. ⊢ A.

       В заключение параграфа в дополнение к ранее сформулированным эквивалентностям языка логики высказываний приведем схемы наиболее важных законов логики, относящихся к языку логики предикатов, которые читатель может использовать также в качестве упражнений для выводов и доказательств: