Логика предикатов

I. Взаимовыразимость кванторов:

1. ∀x A(x) ~ ¬∃x¬A(x). 2. ∃x A(x) ~ ¬∀x¬A(x).

II. Законы образования контрадикторной противоположности:

1. ¬∀x A(x) ~ ∃x¬A(x).  2. ¬∃x A(x) ~ ∀x¬A(x).

 III. Законы пронесения кванторов:

1. ((∀x A(x) & ∀x B(x)) ~ ∀x(A(x) & B(x))).

2. ((∃x A(x) v ∃x B(x)) ~ ∃x (A(x) v B(x))).

3. (∃x (A(x) & B(x)) ⊃ (∃x A(x) & ∃x B(x))).

4. ((∀x A(x) v ∀x B(x)) ⊃ ∀x (A(x) v B(x))).

5. (∀x (A v B(x)) ~ (A v ∀x B(x))), если x не свободна в A.

6. (∃x (A & B(x)) ~ (A & ∃x B(x))), если х не свободна в А.

7. (∀x A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀x A(x) ⊃ ∀x B(x))).

IV. Перестановка кванторов

1. ∀x ∀y A(x, y) ~ ∀y∀x A(x, y).

2. ∃x ∃y A(x, y) ~ ∃y ∃x A(x, y).

3. ∃x ∀y A(x, y) ⊃ ∀y ∃x A(x, y). 

V. Исключение квантора общности и введение квантора существования.

1. ∀x A(x) ⊃ A(t).      2. A(t) ⊃ ∃x A(x).

В обоих случаях А(t) есть результат правильной подстановки терма t вместо х в А(х).

 

VI. Законы устранения вырожденных кванторов. 1. ∀x А ~ А.    2. ∃x А ~ А, где А не содержит х свободно.

VII. Связь кванторов ∀ и ∃.

∀x A(x) ⊃ ∃x A(x).

Ясно, что приведенные эквивалентности также могут быть использованы в рассуждениях посредством эквивалентных преобразований.

Пример эквивалентных преобразований формулы

∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) ⊃ ¬ ∃x (P(x) & Q(x)).

с использованием некоторых из указанных в этом и предыдущем параграфе схем эквивалентностей:

∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) ⊃ ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ¬∀x (P(x) ⊃ ¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x ¬(P(x) ⊃ ¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & ¬¬ Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ¬ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x¬ (P(x) & Q(x)) ≡

≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x (¬P(x) & ¬Q(x)).

     Разработанный в современной символической логике метод построения логических исчислений является важнейшим ее результатом. Его теоретическая и практическая значимость состоит в том, что благодаря ему возникает возможность доказательства любой формулы, представляющей закон логики, из бесконечного множества таких формул, а также осуществлять соответствующий вывод для любого случая -- опять-таки из бесконечного множества случаев от ношения логического следования. В основе логических исчислений, как мы видели, лежат специальные логические языки. Наряду с рассмотренными выше возможностями использования этих языков для решения многих логических вопросов, и в первую очередь для точного определения основных понятий логики (логическое следование и закон логики), следует заметить, что в этих языках имеются, по существу, точные понятия логической формы и логики.

 

2. Практика по решению проблемы разрешимости формул, содержащих предикаты от одного переменного

 

Доказанная (в предыдущем параграфе) теорема позволяет решать проблему разрешимости для формул, содержащих только предикаты, зависящие от одного переменного. Из следствия видно, что для того, чтобы установить, является ли формула U тождественно истинной или нет, достаточно проверить, является ли она тождественно истинной для всякого поля, содержащего не более чем  элементов.

Заметим, что достаточно проверить, является ли данная формула U тождественно истинной на поле, состоящем ровно из элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа имеет место следующее: если формула U тождественно истинна на некотором поле, то она тождественно истинна на всякой его части.

Рассмотрим произвольное поле, содержащее ровно элементов: , , ..., . Легко видеть, что всякая формула, имеющая вид:

("x) B(x),

отнесённая к данному полю, равносильна формуле

B( ) & B( ) & ... & B( ).

А формула, имеющая вид:

( x) B(x),

равносильна формуле

B( ) B( ) ... B( ).

В таком случае произвольная формула U, отнесённая к полю { , ..., }, равносильна формуле , в которой все кванторы заменены операциями логического произведения и логической суммы. Если в U входили только предикаты A₁, ..., A_n, зависящие от одного переменного, то представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями A_i(x_j), 1 ? i ? n, 1 ? j ? . Так как предикаты A_i(x) совершенно произвольны, то выражения A_i(x_j) представляют собой совершенно произвольные высказывания. Формулу тогда можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой A_i(x_j) являются элементарными переменными высказываниями. Тогда вопрос о тождественной истинности U на поле , , ..., оказывается эквивалентным вопросу о тождественной истинности , как формулы алгебры высказываний с переменными высказываниями A_i(x_j).

Заметим, что формула алгебра высказываний по существу не зависит от того, каковы элементы поля { , ..., }, а зависит только от их числа, так как если мы возьмём другое поле { ў, ..., ў}, то в произойдёт только перемена обозначений переменных высказываний A_i(x_j) на A_i(x_jў). В силу этого мы можем сказать, что если тождественно истинна, как формула алгебры высказываний, то формула U тождественно истинна на любом поле из p элементов, и обратно. С другой стороны, был получен конструктивный способ определять - является произвольная формула алгебры высказываний тождественно истинной или нет. Применяя этот критерий, мы можем установить, будет ли произвольная формула U, содержащая только предикаты от одного переменного, тождественно истинной на любом поле, содержащем p = элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы можем решить также и вопрос о том, будет формула U тождественно истинной или нет.

Разберём это конкретно на примерах.

Пример1 :  Итак, пусть дана формула U, имеющая вид:

("x)[P(x) ( P(x))],

отнесённая к некоторому полю L. Для того, чтобы установить тождественную истинность этой формулы, нам достаточно проверить, является ли она тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов (см. выше). В данном случае число предикатов (n) равно 2, т.е. L может быть представлено как { a₁, a₂, a₃, a₄ }.

Легко видеть, что формула U равносильна: ("x)[P(x) (Q(x) P(x))], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [P( ) (Q( ) P( ))]            [P( ) (Q( ) P( ))] [P( ) (Q( ) P( ))] [P( ) (Q( ) P( ))].

Таким образом, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P( ) и Q( ), где i= , т.е. её можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой P( ) и Q( ) являются элементарными переменными высказываниями. Значит, ответив на вопрос о тождественной истинности , мы сможем сказать, является ли формула U тождественно истинной или нет.

является тождественно истинной в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это означает, что U тождественно истинна.

Пример 2 :  Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L, представленная как

[("х)( Q(x)) P(x)], является тождественно истинной.

Для этого она должна быть тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов. В данном случае n = 2, т.е. L можно опять определить как { a₁, a₂, a₃, a₄ }.

Применяя равносильные преобразования над U, можем заключить её равносильность формуле: ($х)[( Q(x)) P(x)], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )] [( Q( )) P( )].

Легко видеть, что , как и в предыдущем примере, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P( ) и Q( ), где i= , а поэтому её можно отнести к формулам алгебры высказываний, у которой P( ) и Q( ) являются элементарными переменными высказываниями. Является ли формула тождественно истинной?

Формула представляет собой дизъюнкции некоторых формул. Поэтому всякий раз, когда одна из них истинна, сама (по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной.

     Таким образом, формула ( Q) P является выполнимой, следовательно, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это означает, что U тождественно истинна.

    Пример 3 : Определим значение формулы --∀x((P²(x, a₁) & P²((x, a₂))⊃ P²(x,y)).

при условии, что область возможных значений переменных D есть множество целых положительных чисел, константам a₁ и a₂ приписаны соответственно числа 2 и 3, свободной переменной у -- значение 6; предикатный символ Р² имеет в качестве значения отношения «делится». Ясно, что при указанной интерпретации данная формула выражает определенное высказывание: в переводе на русский язык, «Для всякого целого положительного числа х верно, что если оно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Ясно, что это высказывание и соответственно наша формула истинны. Рассмотрим формулу  ∀x  ∃y P²(y, x). Если D -- множество людей, Р² -- отец, то она представляет собой высказывание «Для всякого человека х существует человек у такой, что он является отцом первого».

Как уже сказано, полностью интерпретированные формулы языка при учете правил III представляют собой высказывания этого языка, а интерпретированные формулы со свободными переменными -- предикаты (знаковые формы сложных свойств и отношений соответствующей области предметов D). Неинтерпретированные формулы, не содержащие свободных переменных, -- суть логические формы высказываний, а со свободными переменными -- логические формы предикатов. Однако предикаты могут трактоваться и трактуются в процессах выводов и доказательств, а также в определении отношения логическою следования и законов логики как специфические высказывания с какими-то подразумеваемыми значениями переменных, как это делается, например, в записи математических уравнений.

Возможность различных истолкований формул со свободными переменными указывает на существование различных истолкований или, как говорят, различных интерпретаций самих свободных переменных в формулах. Вообще различают три возможных интерпретации свободных переменных в составе формул ЯКЛП.

1) Предикатная интерпретация. Она означает, что свободные переменные в формуле рассматриваются как знаки пустых мест в предикате, на которые могут подставляться имена предметов из заданной области D для образования высказываний из предикатов.

2) Условная интерпретация. 3) Интерпретация всеобщности.

При второй и третьей интерпретации свободных переменных формула, содержащая эти переменные, трактуется как высказывание или логические формы таковых (в зависимости от того, являются они интерпретированными или нет). При условной интерпретации некоторой переменной в нем эта переменная рассматривается как знак какого-то -- одного и того же во всех своих вхождениях -- предмета из области D. А при интерпретации всеобщности какой-либо переменной она рассматривается как знак любого предметы из области D, но одного и того же во всех своих вхождениях в формулу. Иначе говоря, высказывание со свободными переменными равносильно высказыванию, которое получается из данного посредством связывания всех его свободных переменных, взятых в условной интерпретации, квантором существования, а переменных, рассматриваемых в интерпретации всеобщности, квантором общности. В предыдущем описании семантики мы подразумеваем предикатную интерпретацию свободных переменных. А высказывание, получаемое из предиката, -- как результат применения этого предиката к предметам, имена которых подставляются вместо свободных переменных. Однако в дальнейшем, например при анализе понятия следования, формулы со свободными переменными трактуются как высказывания с условной интерпретацией этих переменных.

Подчеркнем еще раз значение интерпретации (совокупность правил I). При наличии правил III, то есть при заданном понимании логических констант, определяющих тип языка, различные интерпретации порождают из заданной синтаксической системы фактически различные языки данного типа (в которых используется каждый раз лишь какая-то часть исходных дескриптивных символов).

В заключение данного раздела, касающегося семантики языка, важно заметить, что хотя правила приписывания значений выражениям языка, составляющих в совокупности эту семантику, ориентированы на приписывание значений в каких-то конкретных случаях, их основное значение состоит в том, что они указывают общие принципы, общие способы превращения формул языка в осмысленные выражения. При таком истолковании указанных правил семантика представляет собой теорию означивания выражений данного языка (которую называют также теорией референции).

Данные выше разъяснения относительно тех смыслов, которые формулы получают при интерпретации, указывают на принципы перевода высказываний языка логики предикатов на естественный язык. Однако в них можно усмотреть решение и обратной задачи -- перевод с естественного на язык логики предикатов, хотя здесь требуются и определенные дополнительные разъяснения. Прежде всего они связаны с отсутствием в формулах ЯЛП общих имен. Общие имена здесь используются только для характеристики задаваемой каждый раз при выражении некоторого высказывания области D значений предметных переменных. В составе самих формул общие имена -- в предложениях обычного языка -- заменяются предикаторами. Так, предложение «Все студенты пединститута готовятся стать преподавателями» может быть переведено на язык логики предикатов двояко в зависимости от выбора значений переменных. Мы можем взять в качестве таковой «множество студентов пединститута». Обозначив тогда через P¹ свойство «готовятся стать преподавателями», получим «∀x P'(x)». С учетом заданной области это должно быть прочитано как «всякий студент пединститута х готовится стать преподавателем». Для более полного выражения смысла высказывания можем взять в качестве области «студенты» вообще, а общее имя «студент пединститута» истолковать как предикатор, взяв для него, например, знак (предикатор) S¹ получим  ∀x (S¹(x) ⊃ P¹(x). Предложение звучит теперь так: «Для всякого студента х верно, что если он учится в пединституте, то он готовится стать преподавателем». Высказывание «Некоторые студенты пединститута готовятся стать преподавателями» при том же выборе области D и предикаторов запишется в виде ∃x(S(x)&P(x))

Обратите внимание, когда высказывание предваряет квантор общности (то есть исходное высказывание является общим), то далее используется логическая связка ⊃; в случае, когда таковым является квантор существования (высказывание является частным), то для его записи на ЯЛП употребляется связка &.

Для полной записи предложения «Во всяком государстве имеется город, который является его столицей» напрашивается необходимость ввести предикаторы: государство с аргументом -- х (возьмем для обозначения из исходных символов предикатор P¹), город с аргументом -- у (обозначим его Q), принадлежит -- город у государству х (обозначим R²) и столица -- город y государства х (обозначение S²). В таком случае возникает трудность с характеристикой области значений переменных х, у. Можно считать, что таковой является множество населенных людьми территорий. Взяв в качестве области D множество таких территорий и используя указанные предикаторы, получим запись нашего суждения в ЯЛП: ∀x(P(x) ⊃ (∃y(Q(y)&R(y, x)&S(y, x))). Буквальное произнесение его таково: «Для всякой населенной территории х верно, что если х есть государство, то существует населенная территория у, такая, что у -- город и у принадлежит государству х, а у есть столица х.Как мы видели, высказывания естественного языка, подлежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандартизируются, четко выделяются части высказывания: классы или отдельные предметы, о которых нечто утверждается (или отрицается). Если это классы, то выясняется, ко всем предметам класса или лишь к части их относится утверждение или отрицание (соответственно употребляются кванторы общности ∀ или существования ∃). И наконец, определяется то, что именно в высказывании утверждается (или отрицается). Примеры таких стандартизации высказываний естественного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читатель может найти в самом начале данного параграфа