Логическая мера вероятности умозаключений

      Дедуктивные умозаключения – те умозаключения, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования.

 

                       2.3.Понятие правила вывода.

 

      Умозаключение дает истинное  заключение, если исходные посылки  истинны и соблюдены правилами  вывода. Правила вывода, или правила  преобразования суждений, позволяют  переходить от посылок (суждений) определенного вида к заключениям  также определенного вида.

      Другая характерная черта логики, органически связанная с предыдущей, состоит в том, что всякий логический вывод из посылок допускает некоторую формализацию, т.е. может быть осуществлен по каким-нибудь общим правилам, относящимся к способам выражения знаний и способам переработки этих выражений – способам образования и преобразования выражений. В зависимости от средств, которыми мы располагаем, таких способов формализации может быть много, начиная с того, что одно и то же знание мы можем выразить на разных языках.

      Формализация способов вывода состоит в том, что каждый шаг вывода совершается только в соответствии с каким-нибудь из заранее перечисленных правил вывода, относящихся только к способам оперирования с некоторыми материальными объектами.

      Различают правила прямого вывода и правила непрямого (косвенного) вывода. Правила прямого вывода позволяют из имеющихся истинных посылок получить истинное заключение. Правила непрямого (косвенного) вывода позволяют заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

      Типы дедуктивных умозаключений  (выводов) такие: выводы, зависящие  от субъектно-предикатной структуры  суждений; выводы, основанные на  логических связях между суждениями (выводы логики высказываний).

 

 

2.4.Выводы  из  категорических суждений

                               посредством их преобразования.

     

   Непосредственными умозаключениями называются дедуктивные умозаключения, делаемые из одной посылки, являющиеся категорическим суждением. К ним в традиционной логике относятся следующие: превращение, обращение, противопоставление предикату и умозаключения по «логическому квадрату».

      Превращение – вид непосредственного умозаключения, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом предикат заключения является отрицанием предиката посылки.

      Обращением называется такое непосредственное умозаключение, в котором в заключении (в новом суждении) субъектом является предикат, а предикатом – субъект исходного суждения, т.е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения.

      Противопоставление предикату – это такое непосредственное умозаключение, при котором (в заключении) предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоречащее предикату исходного суждения, а связка меняется на противоположную.

      Противопоставление предикату можно  рассматривать как результат  двух последовательных непосредственных  умозаключений: сначала производится  превращение, затем – обращение  превращенного в суждение.

 

 

ПРОСТОЙ  КАТЕГОРИЧЕСКИЙ  СИЛЛОГИЗМ

 

      Категорический силлогизм – это вид дедуктивного умозаключения, построенного из двух истинных категорических суждений, в которых S и P связаны средним термином. Понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. Посылка, содержащая предикат заключения (т.е. больший термин), называется большей посылкой. Посылка, содержащая субъект заключения, (т.е. меньший термин), называется меньшей посылкой.

 

СОКРАЩЕННЫЙ  КАТЕГОРИЧЕСКИЙ  СОЛЛОГИЗМ  (ЭНТИМЕМА)

 

      Энтимемой, или сокращенным категорическим силлогизмом, называется силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Энтимемами пользуются чаще, чем полными категорическими силлогизмами.

 

СЛОЖНЫЕ  И  СЛОЖНОСОКРАЩЕННЫЕ  СИЛЛОГИЗМЫ  (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)

 

      В мышлении встречаются не  только отдельные полные или  сокращенные силлогизмы, но и  сложные силлогизмы, состоящие из  двух, трех или большего числа  простых силлогизмов. Цепи силлогизмов  называются полисиллогизмами.

 

2.5. Индуктивные умозаключения.

 

      В определении индукции в логике выявляют два подхода – первый, осуществляемый в традиционной (не в математической) логике, в которой индукцией называется умозаключение от знания меньшей степени общности к новому знанию большей степени общности (т.е. от отдельных частных случаев мы переходим к общему суждению). При втором подходе, присущем современной математической логике, индукцией называется умозаключение, дающее вероятное суждение.

      Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о всех элементах класса рассмотрения каждого элемента этого класса. В полной индукции изучаются все предметы данного класса, а посылками служат единичные суждения. Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому она часто применяется в математических и в других самых строгих доказательствах. Чтобы использовать полную индукцию, надо выполнять следующие условия:

1. Точно знать число предметов или явлений, подлежащих рассмотрению.
2. Убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса.
3. Число элементов изучаемого класса должно быть невелико.

 

2.6. Индуктивные методы

                             установления причинных связей

    

   Причина – явление или совокупность явлений, которые непосредственно обусловливают, порождают другое явление (следствие).

      Причинная связь является всеобщей, так как все явления, даже  случайные, имеют свою причину.  Случайные явления подчиняются  вероятностным, или статистическим, законам.

      Причинная связь является необходимой,  ибо при наличии причины действие (следствие) обязательно наступит. Например, хорошая подготовка и  музыкальные способности являются  причиной того, что этот человек  станет хорошим музыкантом. Но  причину нельзя смешивать с  условиями. Ребенку можно создать  все условия: купить инструмент  и ноты, пригласить учителя, купить  книги по музыке и т.д., но  если нет способностей, то из  ребенка не выйдет хорошего музыканта. Условия способствуют или, наоборот, мешают действию причины, но условия и причина не тождественны.

 

  3. Логическая мера вероятности умозаключений.

                           3.1. Вероятностная логика.

Индуктивное или классическое определение  вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705), П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятных исходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого эксперимента составляют n, а, m – число тех наступления события А в этом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то

Р (А)=

Например, исходя из симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, что вероятность выпадения более четырех очков (событие А) равна 1/3. В самом деле, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-то же . Следовательно,

Р (А)=

В ХХ в. сначала Р. Мизес, а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нас события опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорно предсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляется возможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой вероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов. Вероятность события А, т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбаху представляет собой отношения числа m появления события А в n наблюдениях или экспериментов, т.е.

Р (А)=

Формулы вычисления вероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл их совершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляется аpriori (до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первом подходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной, при втором – логики индуктивной.

   В аксиоматической теории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основных событий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правила составления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и В называется событие «А и В», суммой – событие «А или В» и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующими свойствами: 0≤р(A)≤1; р (1)=1; р(0)=0; если АМВ, то Р(А) ≤ Р (В); если АЗВ=0, то р (А или В)= Р(А) + Р (В) и т.д.

Аксиоматическое построение теории вероятности  превращает ее в раздел чистой математики.

 

3.2.Частотный подход к вероятностям  и ее законам.

   С самой общей, философской точки зрения вероятность связана и опирается на категорию возможности. Поэтому ее нередко определяют  как количественную меру возможности появления случайного события. Речь в данном случае идет о случайных событиях потому, что необходимые события неизбежно происходят в силу существующей закономерности, но чисто формально можно было не делать такой спецификации, поскольку необходимость можно рассматривать как практическую достоверность. Очевидно, что подобная общая мера может быть установлена прежде всего для повторяющихся, массовых, а не индивидуальных событий, независимо от того выражается ли она в метрических терминах (т.е. выражена с помощью числа) или же сравнительных терминах (т.е. выражена с помощью отношений: “больше”, “меньше” или “равно”). По сути дела, такой взгляд на вероятность высказывал еще Аристотель, хотя сама теория вероятности возникла из анализа азартных игр и опиралась на иное истолкование вероятности как отношения благоприятствующих шансов к числу всех равновозможных. Оказалось, однако, что такой подход был весьма ограниченным, поскольку опирался на существование равновозможных альтернатив или шансов. Но в реальном мире лишь небольшая часть шансов являются равновозможными, а в азартных играх правила построены так, чтобы с самого начала постулировать равенство шансов для игроков. Поэтому впоследствии классическая интерпретация вероятности уступила место более общей частотной интерпретации.

   Обычно такую интерпретацию характеризуют как объективную, так как ее определение основывается на реальных наблюдениях частоты появления тех или иных массовых случайных событий и потому не зависит от индивидуальной психологической или даже рациональной веры наблюдателя. Возникает законный вопрос: а что лежит в основе появления самих частот? Почему мы считаем, что результаты наблюдения не зависят от наблюдателя и средств его наблюдения и измерения? В последние годы на эти вопросы попытались ответить сторонники так называемой пропенситивной концепции, которые считают, что реализация определенных частот зависит от пропенситивности, или предрасположенности соответствующей системы массового случайного характера. Именно эта предрасположенность находит свое проявление или выражение в частоте появления событий.

   Какая же внутренняя связь существует между частотой появления события и его вероятностью?

С интуитивной точки зрения ясно, что чем чаще появляется событие, тем выше его вероятность. На этом очевидном представлении основывается количественное измерение вероятности  массовых случайных событий. Для  этого, как известно, необходимо провести достаточно большое – определенное условиями задачи – количество независимых  испытаний n. Если при этом окажется, что интересующее нас событие появляется m раз, то относительная частота его появления выразится правильной дробью:

n / m

Очевидно, что относительная частота  представляет собой эмпирическое понятие, ибо она определяется с помощью  непосредственных наблюдений и измерений. В каждом серьезном исследовании для этого необходимо располагать  соответствующей статистикой, которая  упорядочивает и анализирует  результаты наблюдений и испытаний. Поэтому частотная интерпретация  называется также статистической и, пожалуй, это название встречается  чаще, чем частотное.

   В отличие от понятия  эмпирической относительной частоты  и его эквивалента статистической  частоты само понятие вероятности  носит теоретический характер  и поэтому не может быть  непосредственно сведено, а тем  более отождествлено с любым  релевантным эмпирическим понятием. Некоторые исследователи выход  из возникшей трудности находят  в идеализации процесса нахождения  относительной частоты массового  случайного или повторяющегося  события. В этих целях предполагается, что процесс может продолжаться неограниченно долго и относительная частота определяется именно для бесконечного количества независимых испытаний.

Если обозначить вероятность массового  события через P(A), то она может  быть выражена формулой:

P(A) = lim n (при n -> ∞)

где m - обозначает число появлений интересующего нас события A, в предположении, что число n независимых испытаний стремится к бесконечности. Такой предельный подход к определению частотной вероятности был использован сначала Р.Мизесом (Mises R. Probability, Statistics and Thruth. N.Y., 1957), а затем более детально Г.Рейхенбахом (Reichenbach H. The theory of probability. Los-Angeles, 1949). Хотя Мизеса и Рейхенбаха критиковали их единомышленники неопозитивисты за отход от принципов эмпиризма, тем не менее подобные переходы от эмпирических понятий к теоретическим весьма часто применяются в теоретическом естествознании, например, когда определяют понятие мгновенной скорости в данной точке через среднюю скорость с использованием предельного перехода.