Логическая мера вероятности умозаключений

   В нашей учебной литературе нередко встречается термин “научная индукция”, но под последним чаще всего понимается умозаключение не только высокой степени вероятности, но почти достоверности. Бесспорно, подлинные индуктивные обобщения в науке обладают несравненно большей степенью вероятности, чем изолированные обобщения. Но при этом забывается, что такие объяснительные индуктивные обобщения опираются не только на факты, непосредственно их подтверждающие, но факты и знания, косвенно связанные с ней логическими отношениями. Следует, однако, не забывать, что высокая вероятность не тождественна достоверной истинности. Ведь универсальные обобщения, к которым, в частности, относятся научные законы не могут быть окончательно подтверждены любым конечным числом случаев и, следовательно, не могут считаться доказательствами в точном смысле этого слова. Вот почему, например, такая схема рассуждений, где умозаключение делается от истинности следствия к его основанию, не считается правильной. Действительно, если из H следует E, и E-истинно, то H может быть лишь вероятной в определенной степени. Такая схема рассуждения представляет типичный случай изолированного гипотетико-дедуктивного умозаключения, который Рейхенбах называет умозаключением, опирающимся на подтверждающий случай.

   Совершенно иной характер имеет объяснительная индукция, представляющая систему подтверждающих гипотез и ориентированная на интеграцию научного знания в виде объединения законов в теории и теорий в систему научных дисциплин. “Объединение теорий, – подчеркивает Рейхенбах, – является инструментом для связи научных результатов таким образом, что их комбинация приобретает более высокую вероятность, чем каждый из них, взятый в отдельности. Схема таких умозаключений может быть понята только тогда, когда она интерпретируется в терминах теории вероятностей. Такой анализ делает ясным, что теория развитой индукции является тождественной с теорией вероятностей”.

   Но вероятностный подход к индукции может основываться не только на частотной интерпретации, который, как мы видели, связан с немалыми трудностями, поскольку при этом приходится трактовать вероятности отдельных событий как псевдочастотные, основанные на введении понятий веса предполагаемых суждений. Именно поэтому еще в 20-е годы вероятностные суждения и умозаключения стали анализировать в терминах логических отношений, чтобы применить их к научному исследованию.

                            3.4. Теория вероятности Кейнса.

   Сочинение Кейнса "Трактат о вероятности" (Treatise on Probability, 1921) выдвигает теорию, которая в некотором смысле является антитезой теории частоты. Он считает, что отношение, применяемое в дедукции, именно "p имплицирует q", есть крайняя форма отношения, которое может быть названо "p более или менее имплицирует q". "Если знание h,— говорит он,— оправдывает рациональную веру в а степени а, то мы говорим, что имеется отношение вероятности степени а между о и h". Мы записываем это: "a/h=а". "Между двумя рядами предложений существует отношение, в силу которого, если мы знаем первый, мы можем приписать второму некоторую степень рациональной веры". Вероятность, по существу, есть отношение: "Так же бесполезно говорить "b вероятно", как и "b равно "или "b больше, чем". Из "a "и "a имплицирует b" мы можем вывести "b"; это значит, что мы можем опустить всякое упоминание посылки и просто утверждать заключение. Но если а так относится к b, что зияние a превращает вероятную веру в b в рациональную, то мы не можем вообще ничего заключить о b, которое не имеет отношения к а; нет ничего соответствующего опусканию истинной посылки в доказательном выводе.

   Вероятность, согласно Кейнсу, есть логическое отношение, которое не может быть определено иначе, кроме как, возможно, в терминах степеней рациональной веры. Но в целом кажется, что Кейнс скорее склоняется к определению "степеней рациональной веры" в терминах отношения вероятности. Рациональная вера, говорит он, есть нечто производное от знания: когда мы имеем степень рациональной веры в p, это происходит потому, что мы знаем какое-либо предложение h, а также знаем, что p/h = а. Из этого следует, что среди наших посылок должны быть некоторые предложения формы "p/h = а". Наше знание бывает отчасти непосредственным, а отчасти приобретается через умозаключение; наше знание, приобретаемое через умозаключение, осуществляется благодаря непосредственному знанию предложений формы "p имплицирует q", или "q/p = а ". Во всяком умозаключении, если его полностью проанализировать, мы должны иметь непосредственное знание отношения посылок к заключению, будь это отношение импликацией или отношением вероятности в какой-либо степени. Знание h и того, что p/h=а, ведет к "рациональной вере соответствующей степени" в p. Кейнс открыто признает, что все непосредственное знание достоверно и что рациональная вера, которой недостает достоверности, может возникнуть только через восприятие отношения вероятности.

   Вероятности вообще, согласно Кейнсу, не поддаются числовому измерению; те же вероятности, которые поддаются ему, образуют весьма частный класс вероятностей. Он считает, что одна вероятность не может сравниться с другой, то есть не может быть ни большей, ни меньшей, чем другая, ни быть даже равной ей. Он считает даже, что иногда невозможно сравнивать вероятности p и не-p на основе данного свидетельства. Он не имеет при этом в виду, что мы недостаточно знаем, чтобы делать это; он думает, что действительно нет отношения равенства или неравенства. Он думает о вероятностях согласно следующей геометрической схеме: возьмем две точки, представляющие собой 0 невозможности и 1 достоверности; тогда численно измеримые вероятности могут быть изображены лежащими на прямой линии между 0 и 1, тогда как другие лежат на различных кривых, идущих от 0 к 1. Мы можем сказать, что из двух вероятностей, находящихся на одной и той же линии, та, которая находится ближе к 1, является большей, но мы не можем сравнивать вероятности, находящиеся на разных линиях, за исключением тех случаев, когда две линии перекрещиваются, что может случиться.

   Кейнсу, как мы видели, нужно непосредственное знание предложений вероятности. Для того чтобы положить начало получению такого знания, он исследует и исправляет то, что называется "принципом недостаточного основания", или, как он предпочитает называть его, "принципом индифферентности".

   В своей грубой форме этот принцип утверждает, что если нет известного основания в пользу какой-либо одной из нескольких возможностей, то все эти возможности равно вероятны. В этой форме, как указывает Кейнс, этот принцип ведет к противоречиям. Допустим, например, что вы ничего не знаете о цвете какой-либо определенной книги; тогда шансы, что она синяя или не синяя, одинаковым и, следовательно, каждый равен 1/2. Точно так же шанс, что она черная, равен тоже 1/2. Следовательно, шанс того, что она синяя или черная, равен 1. Из этого следует, что все книги или синие, или черные, что абсурдно. Или предположим, что мы знаем, что некий определенный человек живет или же в Великобритании, или в Ирландии; возьмем ли мы в качестве наших возможностей эти страны, или возьмем Англию, Шотландию и Ирландию, или возьмем каждое графство как одинаково вероятное? Или если мы знаем, что удельный вес определенного вещества находится между 1 и 3, то будем ли мы рассматривать интервалы от 1 до 2 и от 2 до 3 как равно вероятные? Но если мы примем во внимание относительный объем, то естественно выбрать интервалы от 1 до 2/3 и от 2/3 до 1/3 что создает одинаковые шансы для того, чтобы удельный вес был или между 1 и 3/2 или между 3/2 и 3. Такие парадоксы можно увеличивать бесконечно.

   Из-за этого Кейнс не расстается полностью с принципом индифферентности; он думает, что этот принцип может быть так сформулирован, что можно будет избежать вышеупомянутых затруднений и что он будет все еще полезен. Для этой цели он сначала определяет то, что является "не относящимся к делу".

   Грубо говоря, добавленная посылка является "не относящейся к делу", если она не изменяет вероятности, то есть h1 не связано с отношением к x и h, если x/h1h = x/h. Таким образом, например, тот факт, что фамилия человека начинается с буквы M, не имеет отношения к оценке шансов его смети. Вышеприведенное определение является, однако, до некоторой степени слишком простым, потому что h может состоять из двух частей, из которых одна может повышать вероятность х, тогда как другая — понижать ее. Например: шансы жизни белого человека понижаются при жизни его в тропиках, но повышаются (или так по крайней мере говорят), если он ведет трезвый образ жизни. Может быть, смертность среди белых трезвенников в тропиках та же, что и вообще у белых людей, но мы не можем сказать, что трезвый образ жизни человека, живущего в тропиках, не имеет отношения к этому вопросу. Поэтому мы говорим, что h1 не имеет отношения к x/h, если нет никакой части h1, которая изменяет вероятность x.

   Кейнс теперь формулирует принцип индифферентности в следующей форме: вероятности событий а и b в отношении к данному свидетельству одинаковы, если нет относящегося к событию a свидетельства без соответствующего свидетельства, относящегося к событию b; это значит, что вероятности событий а и b в отношении свидетельства равны, если это свидетельство симметрично по отношению к о и b.

Здесь, однако, все же добавляется  довольно трудное условие. "Мы должны исключить те случаи, в которых  одна из относящихся к делу альтернатив  сама является дизъюнкцией подчиненных  альтернатив той же самой формы". Когда это условие выполняется, альтернативы называются неделимыми по отношению к свидетельству. Кейнс дает следующее формальное определение "делимых" альтернатив: альтернатива f (a) делима по отношению к свидетельству h, если, при данном h, "f(a) эквивалентно f(b)" или "f(с)", где f(b) и f(с) несовместимы, но каждое возможно, когда b истинно. Здесь существенно, что f(a), f(b) и f(с) все суть значения одной и той же пропорциональной функции.

   Кейнс, таким образом, в конце концов признает в качестве аксиомы тот принцип, что, при данном свидетельстве, f(a) и f(a) равно вероятны, если (1) свидетельство симметрично по отношению к a и b (2) в отношении свидетельства f(a) и f(b) неделимы.

   По отношению к вышеприведенной теории эмпиристы могут выдвинуть общее возражение. Они могут сказать, что непосредственное знание отношений вероятности, которого она требует, явно невозможно. Дедуктивная доказательная логика — как этот аргумент можно было выразить — возможна потому, что она состоит из тавтологий, потому, что она просто переформирует наш запас исходных предложений другими словами. Когда она делает больше этого — когда, например, она выводит предложение "Сократ смертен" из предложения "Все люди смертны",— она зависит от опыта, связанного со значением слова "Сократ". Ничто, кроме тавтологий, не может быть познано независимо от опыта, а Кейнс не утверждает, что его отношения вероятности являются тавтологиями. Как же в таком случае они могут быть познаны? Ибо ясно, что они не познаются из опыта в том смысле, в котором мы можем говорить это о суждениях восприятия; вместе с тем признается, что некоторые из них не выводятся. Они поэтому составили бы — если их признать — такой род знания, который эмпиризм считает невозможным.

   Когда мы подойдем к обсуждению принципов научного вывода, мы увидим, что наука невозможна без некоторого знания, которого мы не могли бы иметь, если бы эмпиризм в его строгой форме был прав. Во всяком случае, мы не должны догматически считать, что эмпиризм прав, хотя и имеется оправдание нашим попыткам найти совместимые с эмпиризмом решения наших проблем. Вышеприведенное возражение поэтому, хотя и может служить причиной известного нерасположения к принятию теории Кейнса, не должно, однако же, заставлять нас отвергать ее совершенно.

   Имеется трудность в вопросе, который Кейнс, по-видимому, адекватно не рассмотрел, а именно: сообщает ли вероятность, относящаяся к посылкам, рациональное правдоподобие предложению, которое превращается в вероятное, и если да, то при каких обстоятельствах? Кейнс говорит, что так же бессмысленно говорить, что "p вероятно", как и говорить, что "p равно "или "p больше, чем". Согласно ему, здесь нет ничего аналогичного опущению истинной посылки в дедуктивном выводе. Тем не менее, он говорит, что если мы знаем h и знаем также, что p/h = а, то мы вправе придавать p "рациональную веру в соответствующей степени". Но когда мы поступаем так, мы больше не выражаем отношение p к h, мы пользуемся этим отношением для того, чтобы что-либо вывести относительно p. Это "что-либо" мы можем назвать "рациональным правдоподобием" и можем сказать, что "p рационально правдоподобно в степени а". Но если это должно быть истинным утверждением p, не предполагающим упоминания о h, тогда b не может быть произвольным. Ибо предположим, что P/h = a, а p/h' = a; должны ли мы при допущении, что h и h' известны, придавать p степень а или а' рационального правдоподобия? Невозможно, чтобы оба ответа были правильны при любом данном состоянии нашего знания.

   Если верно, что "вероятность есть руководитель жизни", тогда при любом данном состоянии нашего знания должна быть одна вероятность, которая относится к p более существенным образом, чем любая другая, и эта вероятность не может быть относительной по отношению к произвольным посылкам. Мы должны сказать, что это есть вероятность, которая получается, когда h рассматривается как все наше относящееся к делу знание. Мы можем сказать: при любой данной совокупности предложений, составляющих определенное знание какого-либо лица, при том, что связь этой совокупности предложений называется n, имеется некоторое число предложений, не являющихся членами этой совокупности, которые имеют к ней отношения вероятности. Если p есть также предложение, a p/h = а, тогда для этого лица а есть степень рационального правдоподобия, принадлежащего p. Мы не должны говорить, что если h' есть некое истинное предложение, несколько отличающееся от h, которое известно лицу, о котором идет речь, и если p/h' = а', тогда для этого лица p имеет степень правдоподобия а'; оно будет иметь только эту степень правдоподобия для лица, знание которого, относящееся к делу, суммируется через h'. Со всем этим, однако, Кейнс, безусловно, согласится. Возражение на самом деле относится только к некоторой рыхлости формулировки, а не к чему-либо существенному в этой теории.

   Более существенное возражение касается наших средств познания предложений, вроде таких, как p/h = а. Я сейчас не утверждаю априори, что мы не можем их знать; я интересуюсь только вопросом, как мы можем их знать. Нетрудно заметить, что если "вероятность" не может быть определена, то должны быть такие предложения вероятности, которые не могут быть доказаны и которые, следовательно, если принять их, должны быть среди посылок нашего познания. Это является общей чертой всех логически расчлененных систем. Каждая такая система по необходимости начинает с исходного аппарата не получивших определения терминов и недоказанных предложений. Ясно, что не получивший определения термин не может появиться в выводном предложении, если он не появился по крайней мере в одном из недоказанных предложений, тогда как нет необходимости в том, чтобы получивший определение термин появлялся в каком-либо недоказанном предложении. Например, пока считалось, что в арифметике участвуют термины, не получившие определения, приходилось считать, что в ней не должны быть также и недоказанные аксиомы: Пеано имел дело с тремя неопределенными терминами и пятью аксиомами. Но когда числа и сложение определяются логически, арифметика не нуждается в каких-либо недоказанных предложениях, кроме предложений логики.

   Итак, в нашем случае если "вероятность" может быть определена, то возможно, что могут быть выведены все предложения, в которых это слово встречается; но если она не может быть определена, то должны быть — если мы в состоянии что-либо знать об этом — содержащие это слово предложения, которые мы знаем без свидетельства со стороны.