Логические парадоксы

Единственно приемлемый путь для устранения антиномии, а  значит, и внутренней противоречивости, согласно Тарскому, — отказ от употребления семантически замкнутого языка. Этот путь приемлем, конечно, только в случае искусственных, формализованных языков, допускающих ясное подразделение  на язык и метаязык. В естественных же языках с их неясной структурой и возможностью говорить обо всем на одном и том же языке такой  подход не очень реален. Ставить  вопрос о внутренней непротиворечивости этих языков не имеет смысла. Их богатые  выразительные возможности имеют  и свою обратную сторону — парадоксы.

Существуют и  другие решения парадокса лжеца, например, решение Оккама и решение  Буридана:

Итак, существуют высказывания, говорящие о своей  собственной истинности или ложности. Идея, что такого рода высказывания не являются осмысленными, очень стара. Ее отстаивал еще древнегреческий  логик Хрисипп. В средние века английский философ и логик У. Оккам заявлял, что утверждение  «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, поскольку оно говорит в числе  прочего и о своей собственной  ложности. Из этого утверждения прямо  следует противоречие. Если всякое высказывание ложно, то это относится и к самому данному утверждению; но то, что оно ложно, означает, что не всякое высказывание является ложным. Аналогично обстоит дело и с утверждением «Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным и также ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истинным является и отрицание самого этого высказывания, то есть высказывание, что не всякое высказывание истинно.

Почему, однако, высказывание не может осмысленно говорить о своей собственной истинности или ложности? Уже современник Оккама, французский философ XIV в. Ж. Буридан, не был согласен с его решением. С точки зрения обычных представлений о бессмысленности, выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» и т.п. вполне осмысленны. О чем можно подумать, о том можно высказаться, — таков общий принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложение написано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность?

Сам Буридан  считал высказывание «Я лгу» не бессмысленным, а ложным. Он обосновывал это так. Когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно истинно. Если же предложение  говорит о себе, что оно само является ложным, то оно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего  одновременно и свою истинность, и  свою ложность. Это выражение противоречиво  и, следовательно, ложно. Но оно никак  не бессмысленно.

Аргументация  Буридана и сейчас иногда считается  убедительной.

Имеются и другие направления критики того решения  парадокса «Лжец», которое было в  деталях развито Тарским. Действительно  ли в семантически замкнутых языках — а таковы ведь все естественные языки — нет никакого противоядия  против парадоксов этого типа?

Если бы это  было так, то понятие истины можно  было бы определить строгим образом  только в формализованных языках. Только в них удается разграничить предметный язык, на котором рассуждают об окружающем мире, и метаязык, на котором  говорят об этом языке. Эта иерархия языков строится по образцу усвоения иностранного языка с помощью  родного. Изучение такой иерархии привело  ко многим интересным выводам, и в  определенных случаях она существенна. Но ее нет в естественном языке. Дискредитирует ли это его? И если да, то в какой  именно мере? Ведь в нем понятие  истины все-таки употребляется, и обычно без всяких осложнений. Является ли введение иерархии единственным способом исключения парадоксов, подобных «Лжецу?»

В 30-е годы ответы на эти вопросы представлялись несомненно утвердительными. Однако сейчас былого единодушия уже нет, хотя традиция устранять  парадоксы данного типа путем  «расслаивания» языка остается господствующей.

В последнее  время все больше внимания привлекают эгоцентрические выражения. В них встречаются слова, подобные «я», «это», «здесь», «теперь», и их истинность зависит от того, когда, кем, где они употребляются. В утверждении «Это высказывание является ложным» встречается слово «это». К какому именно объекту оно относится? «Лжец» может говорить о том, что слово «это» не относится к смыслу данного утверждения. Но тогда к чему оно относится, что обозначает? И почему данный смысл не может быть все-таки обозначен словом «это»?

Не вдаваясь в детали, стоит отметить только, что в контексте анализа эгоцентрических  выражений «Лжец» наполняется совершенно иным содержанием, чем ранее. Оказывается, он уже не предостерегает от смешения языка и метаязыка, а указывает  на опасности, связанные с неправильным употреблением слова «это» и  подобных ему эгоцентрических слов.

Проблемы, связывавшие  на протяжении веков с «Лжецом», радикально менялись в зависимости  от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне представляющееся как образец  смешения языка и метаязыка, или  же, наконец, как типичный пример неверного  употребления эгоцентрических выражений. И нет уверенности в том, что  с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы.

Известный современный  финский логик и философ Г. фон Вригт писал в своей  работе, посвященной «Лжецу», что  данный парадокс ни в коем случае не должен пониматься как локальное, изолированное  препятствие, устранимое одним изобретательным  движением мысли. «Лжец» затрагивает  многие наиболее важные темы логики и  семантики. Это и определение  истины, и истолкование противоречия и доказательства, и целая серия  важных различий: между предложением и выражаемой им мыслью, между употреблением  выражения и его упоминанием, между смыслом имени и обозначаемым им объектом.

"Парадокс  лжеца" (как это ни удивительно), крайне близок по своей логической  форме и характеру логической  ошибки многим другим "парадоксам", которые принято считать вполне  самостоятельными. К их числу  относится и знаменитый "парадокс  Рассела".

III. Парадокс Рассела 

Самым знаменитым из открытых уже в прошлом веке парадоксов является антиномия, обнаруженная Б. Расселом и сообщенная им в письме к Г. Ферге. Рассел открыл свой парадокс, относящийся к области логики и математики, в 1902г. Эту же антиномию  обсуждали одновременно в Геттингене немецкие математики 3. Цермело (1871— 1953) и Д. Гильберт. Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело  впечатление разорвавшейся бомбы. Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Гильберта, эффект полной катастрофы. Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными  понятиями. Оказалось, что в теории множеств Кантора, которая с восторгом  была принята большинством математиков, имеются странные противоречия, от которых невозможно, или, по крайней  мере, очень трудно, избавиться. Парадокс Рассела (точнее, Рассела — Цермело) особенно ярко выявил эти противоречия. Над его разрешением, так же, как  и над разрешением других найденных  парадоксов канторовской теории множеств, трудились самые выдающиеся математики тех лет.

Сразу же стало  очевидным, что ни в логике, ни в  математике за всю долгую историю  их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым  отход от привычных способов мышления. Но из какого места и в каком  направлении? Насколько радикальным  должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования? С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты по основаниям логики и математики Л. Френкель и И.Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этой цели». Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка».

Парадокс Рассела  в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса. Можно говорить о множествах различных  объектов, например, о множестве  всех людей или о множестве  натуральных чисел. Элементом первого  множества будет всякий отдельный  человек, элементом второго —  каждое натуральное число. Допустимо  также сами множества рассматривать  как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество  всех множеств или множество всех понятий. Относительно любого произвольно  взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно  своим собственным элементом  или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество  атомов — это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой  множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем  тоже можно спрашивать, обычное оно  или необычное. Ответ, однако, оказывается  обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные  множества. Но это означает, что оно  является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также  необычным: необычное множество  содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге  приходим к заключению, что множество  всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество  всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в  том и только том случае, когда  оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью  бесспорных как будто шагов. Противоречие говорит о том, что такого множества  просто не существует. Но почему оно  не может существовать? Ведь оно  состоит из объектов, удовлетворяющих  четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь  просто и ясно заданное множество  не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между  возможными и невозможными множествами? Вывод о не существовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает  беспокойство. Он делает наше общее  понятие множества аморфным и  хаотичным, и нет гарантии, что  оно не способно породить какие-то новые  парадоксы.

Парадокс Рассела  замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как  в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множество»  и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его  фундаментальности: он затрагивает  самые глубокие основания наших  рассуждений о множествах, поскольку  говорит не о каких-то специальных  случаях, а о множествах вообще.

Другие варианты парадокса Парадокс Рассела не имеет  специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой  его свойства.

Это становится очевидным, если переформулировать  парадокс в чисто логических терминах. О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится  к самому себе, ибо это абстрактное  свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо  к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, не приложимость является неприложимой только в том  случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально. Логическая, касающаяся свойств разновидность  антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся  к множествам, ее разновидность.

Рассел предложил  также следующий популярный вариант  открытого им парадокса. Представим, что совет одной деревни так  определил обязанности брадобрея: брить всех мужчин деревни, которые  не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто  бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что  этот брадобрей бреет себя в том  и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение о  брадобрее опирается на допущение, что такой брадобрей существует. Полученное противоречие означает, что  это допущение ложно, и нет  такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами. Обязанности  брадобрея не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что  его не может быть, звучит несколько  неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский  брадобрей, на самом деле внутренне  противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может  быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.