Логические парадоксы

Рассуждение о  брадобрее может быть названо  псевдопарадоксом. По своему ходу оно  строго аналогично парадоксу Рассела  и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение  о каталоге. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих  себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя? Нетрудно показать, что  идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку  должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был  составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается  в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих  себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов — самого себя. Включив в К1 это упоминание о  нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам  К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает  самого себя. И далее без конца.

Можно упомянуть  еще один логический парадокс — "парадокс голландских мэров", сходный с  парадоксом брадобрея. Каждый муниципалитет  в Голландии должен иметь мэра, и два разных муниципалитета не могут  иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает  в своем муниципалитете. Допустим, что издан закон, согласно которому некоторая территория S выделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в своих муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этой территории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что территория S сама образует отдельный муниципалитет. Где должен проживать мэр этого Особого Муниципалитета S? Простое рассуждение показывает, что если мэр Особого Муниципалитета проживает на территории S, то он не должен проживать там, и наоборот, если он не проживает на территории, то он как раз и должен жить на этой территории. То, что этот парадокс аналогичен парадоксу брадобрея, совершенно очевидно.

Рассел одним  из первых предложил вариант решения  “своего” парадокса. Предложенное им решение, получило название "теории типов": множество (класс) и его  элементы относятся к различным  логическим типам, тип множества  выше типа его элементов, что устраняет  парадокс Рассела (теория типов был  использована Расселом и для решения  знаменитого парадокса "Лжец"). Многие математики, однако, не приняли  расселовское решение, считая, что оно  накладывает слишком жесткие  ограничения на математические утверждения.

Аналогично обстоит  дело и с другими логическими  парадоксами. «Антиномии логики, —  пишет фон Вригг, — озадачили  с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать  их не столько как проблемы, ожидающие  решения, сколько как неисчерпаемый  сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление  о них затрагивает наиболее фундаментальные  вопросы всей логики, а значит, и  всего мышления».

Список  используемой литературы:

1 Френкель А.А., Бар-Хиллел И. “Основания теории  множеств”

2. B.Russell. “Introduction to mathematical philosophy”.

3. Russell B. “The principles of mathematics”.

4. Задоя А.И.  “Введение в логику”

5. Гильберт Д. - Аккерман В., “Основы теоретической  логики”.

6. Лакофф Дж. “Прагматика в естественной логике. Новое в лингвистике”.

7. Якобсон Р.  “Взгляды Боаса на грамматическое  значение.”