Эвристические методы

    Содержание

 

Введение                                                                 

 

 

I. Основные понятия                                               

 

1.Эйлеровы  графы.                                                            

 

2. Кротчайшие пути.                                                         

 

3. Деревья.                                                                                        

 

II.Задача коммивояжера.                                              

 

1.Общие  описание.                                                                  

 

2.Методы  решения ЗК.                                                      

   а. Жадный алгоритм.                                                       

   б. Деревянный  алгоритм.                                                

   в. Метод ветвей  и границ.                                               

 

III. Выводы.                                                                          

 

Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                             Введение.

ТЕОРИЯ  ГРАФОВ - это область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Теория графов находится сейчас в самом расцвете. Обычно её относят к топологии (потому что во многих случаях рассматриваются лишь топологические свойства графов), однако она пересекается со многими разделами теории множеств, комбинаторной математики, алгебры, геометрии, теории матриц, теории игр, математической логики и многих других математических дисциплин. Основной объект теории графов-граф и его обобщения.

Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о Кенигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задачи о перевозках, задача о кругосветном путешествии и другие). Одним из первых результатов в теории графов явился критерий существования обхода всех ребер графа без повторений, полученный Л. Эйлером при решении задачи о Кенигсбергских мостах. Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта 1736 году: ” Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый  мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может“.  Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так.

Существует еще один вид задач, связанных с путешествиями  вдоль графов. Речь идёт о задачах, в которых требуется отыскать путь, проходящий через все вершины, причем не более одного раза через каждую. Цикл, проходящий через каждую вершину один и только один раз, носит название гамильтоновой линии( в честь Уильяма Роуэна Гамильтона, знаменитого ирландского математика прошлого века, который первым начал изучать такие линии). К сожалению, пока еще не найден общий критерий, с помощью которого можно было бы решить, является ли данный граф гамильтоновым, и если да, то найти на нём все гамильтоновы линии. 

  Сформулированная в середине 19 в. проблема четырех красок  также выглядит как развлекательная задача, однако попытки ее решения привели к появлению некоторых  исследований графов, имеющих теоретическое и прикладное значение. Проблема четырех красок формулируется так: ”Можно ли область любой плоской карты раскрасить четырьмя цветами так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в различные цвета?”. Гипотеза о том, что ответ утвердительный, была сформулирована в середине 19в. В 1890 году было доказано более слабое утверждение, а именно, что любая плоская карта раскрашивается в пять цветов. Сопоставляя любой плоской карте двойственный ей плоский граф, получают эквивалентную формулировку задачи в терминах графов: Верно ли, что хроматическое число любого плоского графа меньше либо равно четырёх? Многочисленные попытки решения задачи оказали влияние на развитие ряда направлений теории графов. В 1976 году анонсировано положительное решение задачи с использованием ЭВМ.

 

 

 

 

 

 

 

I. Основные понятия теории графов.

1. Граф G(V,E) - комбинаторный объект, состоящий из двух конечных множеств: V - называемого множеством вершин и множества пар элементов из V, т.е. Е VxV, называемого множеством ребер, если пары неупорядочены, и множеством дуг, если пары упорядочены. В первом случае граф G(V,E) называется неориентированным, во втором ориентированным. Если е = (v₁,v₂).

e Е, то говорят, что ребро е соединяет вершины v₁,v₂, если v₁ = v₂, то ребро е называется петлей. Две вершины v₁,v₂ называются смежными, если существует соединяющее их ребро. Аналогично, два различных ребра смежны, если они имеют общую вершину.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень d₀(v) по выходящим дугам и d₁(v) - по входящим.

Путь - это последовательность ребер e₁, е₂, ... , е_m, такая, что e_i, e_i+1 имеют общую вершину. Число ребер называется длиной пути. Если ни одна из вершин не появляется более одного раза, то путь называется простым. Ясно, что в простом пути ни одно ребро не используется дважды.

Путь называется циклом, если его начальная вершина совпадает с конечной, простым циклом, если это не выполняется для других вершин.

В случае ориентированного графа, если путь проходит в направлении дуг, он называется ориентированным. Аналогично определяется ориентированный цикл.

Граф называется связным, если для любых двух вершин существует путь, их соединяющий. Ориентированный граф называется сильно связным, если для любых двух вершин существует ориентированный путь, их соединяющий. Для ориентированного графа определяем скелетный граф, как неориентированный граф, полученный снятием ориентации исходного графа.

3. Двудольные графы. Это графы, у которых множество вершин можно

разбить на два множества V₁, и V₂ , и так что каждое ребро графа соединяет только некоторую 
вершину из V₁ с некоторой вершиной из V_2.

4. Граф единичного n-мерного куба В_n. Вершины графа - n-мерные двоичные наборы. Ребра соединяют вершины, отличающиеся одной координатой.

Факт 1. Любой граф содержит четное число вершин нечетной степени. ♦ Если граф G имеет x_i вершин  степени i, то

X₁+2_x2+…+kx_k=2E  (1)

поскольку мы подсчитываем число концевых вершин ребер, а каждое ребро имеет точно  две концевые вершины. Отсюда получаем, что x₁+ x₃+ ... + x_2s+1-  четное число.  Число ребер в графе существенно влияет на его связность. Заметим, что любой граф можно разбить на связные части - компоненты связности, задав следующее отношение эквивалентности на множестве его вершин: две вершины эквивалентны, если существует путь из одной вершины в другую. Таким образом, связный граф состоит из одной компоненты.

Факт 2. Пусть G - граф с n вершинами и k компонентами. Тогда число m его ребер удовлетворяет неравенствам:

 

              Нижнюю оценку доказывают индукцией по числу ребер в G. Если множество 
ребер пусто, то утверждение очевидно. Если в графе G число ребер минимально (скажем m₀), удаление любого ребра приводит к увеличению числа компонент на единицу. Значит, в графе k+1 компонента и m₀ -1 ребро. По предположению индукции , m₀-1 n-(k+1)откуда m₀ > n - к. Для доказательства верхней оценки считаем каждую компоненту графа G полным графом. Если C_i и C_j - две компоненты с n_i и n_j вершинами (n_i > n_j > 1), то заменяя их на полные графы с n_i + 1 и n_j -1 вершинами, мы, не меняя 
числа вершин, увеличиваем число ребер. Действительно,

      Значит, максимальное число ребер имеет граф G , у которого k -1 изолированных вершин и компонента из полного графа на n - к + 1 вершинах. Отсюда и следует верхняя оценка.

Следствие. Любой граф с n вершинами, имеющий более, чем

                                                                                     ребер, связан.

                Действительно, если граф имеет k компонент, то по предыдущему, число его ребер не превышает

                Но неравенство: <

справедливо только при к = 1.

  Убедимся теперь в том, что степени вершин существенно влияют на наличие циклов в графе.

Факт 3. Если степень каждой вершины графа G(V,E) не меньше двух, то G содержит цикл.

Пусть v - произвольная вершина из V. Строим последовательность ребер 
(v,v₁), (v₁,v₂), ..., выбирая v₁ смежной с v, ... , V_i+₁ - смежной с v₁, и отличной от v_i-1. По условию вершина V_i+₁ существует. В силу конечности V на некотором шаге будет выбрана вершина, уже встретившаяся раньше. Пусть это v_k. Тогда часть последовательности ребер между вхождениями v_k образует цикл.

2. Пусть G - связный граф, u, v - произвольные вершины. Определим d(u, v) - расстояние между u и v как длину кратчайшего пути из u в v. При этом полагаем  d(u, v) = 0 при u = v.

Ясно, что  введенное таким образом расстояние удовлетворяет аксиомам метрики:

1. d(u,v) 0
2. d(u, v) = 0 u = v
3. d(u,v) = d(v,u)

4. d(u, v)+d(v, w) d(u, w) (неравенство треугольника)  
   Для связного графа G диаметр d(G) определяется как` 

d(G) = max d(u,v)

3. Графы G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) называются изоморфными, если существует биекция f: V₁ V₂, такая, что выполнено

(v₁, v₂) E (f(v₁), f(v₂) E₂

При этом f называется изоморфизмом графов G₁ и G₂. Изоморфизм графа G на себя называется автоморфизмом.

Пример 1. Следующие  графы имеют только тождественные  автоморфмы

 

 

Пример 2. Следующий  граф имеет, кроме тождественного, автоморфизмы (1,3), (2,4), (13)(24).

Широко известна так  называемая проблема изоморфизма графов, в которой для любых двух графов требуется установить, изоморфны они или нет. Для знакомства с результатами по данной проблеме следует обратиться к приведенному списку литературы.

4. Поскольку  графы можно рассматривать как  частные случаи бинарных отношений, то для них могут быть определены аналогичные операции. Укажем некоторые из них.

Пусть G₁ + (V₁, E₁), G₂ = (V₂, E₂) - два графа.

Объединение графов G₁ и G₂ есть граф, у которого V = V₁ V₂,

 Е = E₁ Е₂.

Соединение  графов G₁+G₂ есть граф, у которого

V = V₁ V₂, Е = E₁ Е₂ {(v₁, v₂)} для всех v₁ V₁, v₂ V₂

Прямое произведение графов есть граф, у которого V = V₁ V₂,

((c₁,v₂),(v₁,v₂)) E (v₁,v₁) E и (v₂,v₂) E₂

Пример. Пусть даны графы отображений f₁ V₁ Vi, f₂: V₂ V₂. Тогда пря 
мое произведение соответствует отображению 
f₁ f₂: V V₂ V₁ V₂ где f₁ f₂(v₁,v₂) = (f₁,(v₁), f₂(v₂))

Пусть f₁ и f₂  имеют    и    начальных вершин соответственно. Тогда f₁ f₂ будет

иметь

Некоторые классы графов допускают характеристическое описание. В качестве примера приведем критерий двудольности графа (Кёниг, 1936 г.)

Теорема. Для двудольности графа необходимо и достаточно, чтобы он не содержал циклов нечетной длины.

Пусть G = (V, Е) - двудольный граф, С - один из его циклов длины k. Фиксируем вершину v₁ С и проходим цикл, начиная с v₁. Пусть это вершины v₁, v₂,..., v_k. Поскольку концы каждого ребра лежат в разных долях, то k - четное число.

Пусть G = (V, Е) - связный и все его циклы четной длины. Определим разбиение V = V₁ V₂ следующим образом: Фиксируем произвольную вершину v₁ V и включаем ее в V₁. Теперь включаем u V₁ d(u, v₁) - четное число. Остальные вершины включаем в V₂.

Покажем, что  граф G двудольный. Пусть, напротив, существует ребро (v', v"), где v', v" V₁. Следовательно, d(v₁, v'), d(v₁, v") - четны. Ребро (v', v") дает цикл нечетной длины, содержащий путь от v₁ к v', ребро (v', v"), путь от v" к v₁. Аналогично показываем, что нет ребер (v', v"), v', v" V₂.