Алгебраические линии и их порядок

Введение

 

Аналитическая геометрия- это раздел математики, в котором  изучаются свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и  тел) средствами алгебры и математического  анализа при помощи метода координат.

Сущность данного метода заключается  в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или их системы, так что геометрические свойства фигур выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом.

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраические  линии и их порядок

Важнейшим понятием аналитической  геометрии является понятие уравнения линии.

Пусть на плоскости дана какая–либо линия и указана система  координат, например прямоугольная  декартова система координат (x;y)

Уравнением  данной линии (в выбранной системе  координат) называется такое уравнение F(x;y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

Координаты произвольной (переменной) точки (x;y), как и в случае прямой линии, называются текущими координатами, а коэффициенты уравнения или их отношения называют параметрами. Например, коэффициенты  a, b, c  в общем уравнении прямой ax+by+c=0 сами по себе нельзя рассматривать как параметры. Но если мы это уравнение разделим на -b и приведем его к виду y=kx+b, то в качестве параметров можно рассматривать следующее отношение исходных коэффициентов:

k= -

, b= -

Таким образом, если известно  уравнение линии, то относительно каждой точки плоскости легко решить вопрос: лежит она на данной линии или нет. Для этого достаточно координаты испытываемой точки подставить в уравнение вместо переменных, и если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на линии. А если не удовлетворяют- не лежит.

Возможен и противоположный  подход: задано уравнение и необходимо определить, какой геометрический образ  ему соответствует. Чаще всего это  будет линия (одна или состоящая  из нескольких ветвей). Но может быть и совокупность нескольких точек или одна единственная точка. Кроме того, встречаются и такие уравнения, которые никакого геометрического образа не изображают. Поэтому, исследуя уравнение F(x;y)=0, будем говорить, что необходимо определить геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяет заданному уравнению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классификации линий

 

Уравнение вида

ax+by+c=0,

в котором по крайней мере одна из величин a и b не равна нулю, есть алгебраическое уравнение первой степени (c двумя неизвестными х и у). это уравнение всегда представляет прямую.

Алгебраическим уравнением второй степени называется всякое уравнение вида

,

в котором по крайней  мере одна из величин a,b,c не равна нулю. Это уравнение может представлять собой уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

Аналогично определяются алгебраические уравнения третьей, четвертой, пятой и высших степеней.

Таким образом, если F(x;y) есть многочлен, то кривая F(x;y)=0 называется алгебраической, а степень многочлена называется порядком кривой. Если же кривая не алгебраическая, то она называется трансцендентной.

 

Окружность

 

Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной, называемой центром. Выразим это свойство в виде функциональной связи между координатами точек окружности, т.е. получим уравнение окружности.

Обратное утверждение  тоже верно: всякая точка, координаты которой  удовлетворяют уравнению  , находится на расстоянии R от начала координат - центра окружности, т.е. лежит на окружности.

      Действительно, для всякой точки, лежащей вне окружности, согласно определению будем иметь

а для всякой внутренней точки

и окружность, таким образом, является линией раздела областей выполнения этих двух неравенств.

 

В общем случае, когда  центр окружности находится не в  начале координат, а в произвольной точке (a;b) ее уравнение будет

где a и b –координаты центра ее окружности, a R - ее радиус.

 

Эллипс

 

Если нарисованную окружность радиуса R=b равномерно «растянуть» вдоль оси х. то ее размеры (по оси х) пропорционально увеличатся. Если отрезок b растянется до величины a. То связь между обеими системами координат будет

 или  ,

где ( ) – координаты точек до растяжения, а - после растяжения. Величина характеризует собой степень растяжения.

Уравнение исходной окружности

.

Следовательно, уравнение  полученной кривой будет

Разделив все члены  на , получим

Эту кривую называют эллипсом, величину а – большой полуосью, величину b- малой полуосью, точки - вершинами эллипса.

От окружности эллипс унаследовал симметрию относительно осей и начала координат и замкнутость. Но окружность имела только одну выделяющуюся точку- центр. У эллипса таких точек две и называются они фокусами (на рис. ). Кроме того эллипс обладает своим замечательным свойством: сумма расстояний точки, принадлежащей эллипсу, от его фокусов постоянна для всех его точек.

Таким образом, эллипс есть геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

Парабола

 

Парабола – это геометрическое место всех точек плоcкости, равноудаленных от одной заданной точки (F-фокуса) и от одной прямой (ST-директрисы).

 

                                                       

  Заметим, что фокус и директриса параболы находятся на одинаковом расстоянии ( ) от ее вершины, а каждая из точек параболы находится на одинаковом расстоянии как от точки F, так и от прямой ST. Найдем, какой функциональной зависимостью связаны координаты произвольной точки М (х;у), равноудаленной от фокуса F и от директрисы ST, т.е. точки, для которой

MN=MF

Согласно рисунку

,

возведя обе части равенства в квадрат и заменив MN и MF их значениями. Получим

Выполнив упрощения, имеем

 или 

Уравнение называется каноническим уравнением параболы.

 

 

 

 

 

Гипербола

Гиперболой  называется геометрическое место  всех точек плоскости,  разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами,  есть величина постоянная (2а).

Выведем уравнение гиперболы. Пусть заданы две точки и - фокусы будущей параболы (рис).

                                       

 Примем середину  отрезка  за начало координат и ось х проведем через фокусы. Расстояние фокусов от начала пусть будет с, тогда их координаты будут и . Уравнение гиперболы получим, если в определяющем условии

величины и выразим через текущие координаты точки М (х;у) и параметры гиперболы а и с. Для этого перенесем в правую часть равенства и возведем обе его части в квадрат:

 

Тогда согласно формуле  расстояния между двумя точками

Внося эти результаты в наше уравнение. Имеем

Так, что, приведя подобные члены и сократив обе части  равенства на 4, получим,

Теперь остается еще исключить . Снова изолируем член, содержащий  , и возведем обе части уравнения в квадрат:

или

Заменяя здесь  его значением, имеем

или после очевидных  упрощений

Разделив все уравнение  на находим

Обозначив

Получаем уравнение  гиперболы, отличающееся от уравнения  эллипса только знаком при

Уравнение называется каноническом уравнением гиперболы.

 

 

 

 

Список используемой литературы.

1. Анисимов И. К. Конспекты лекций по начертательной геометрии. – Р. 1970.
2. Фролов С. А. Начертательная геометрия: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.