Аналітична геометрія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сторінка першого видання «Геометрії» Р. Декарта (1637):

початок доведення рівняння лінії ЕС

 

 

 

 

Замінюючи пряму CNK іншими лініями, можна отримувати таким чином  нескінченну безліч кривих. Так, якщо CNK є коло з центром L, то буде описана конхоіда (​​безсумнівно, що прийом Декарта є якраз узагальненням античного визначення конхоіди), а якщо CNK є парабола з діаметром KB, то виникає крива другого роду, саме та, яку Ньютон назвав тризубцем). Взагалі, заявляє Декарт, якщо утворена  крива має рід n, то описана лінія буде роду n - 1. Це одна з небагатьох помилок Декарта, який не довів, мабуть, до кінця легкі, за його власними словами, обчислення. Насправді, якщо в рухомій системі координат СВ = у, BL = х ', рівняння лінії CNK є

f(x',y) = 0,

то крива ECG має в прежних координатах рівняння

Неточність Декарта показав  на приватному прикладі ще Ферма. У  розглянутому щойно прикладі намальовані дві взаємно перпендикулярні координатні осі , хоча і не в звичайному для нас положенні. Проте найчастіше Декарт , так само як Ферма і найближчі покоління їх послідовників , креслив тільки одну вісь з початковою точкою і вказував напрям інших координат , взагалі кажучи похилих . відємні абсциси не розглядалися , що іноді призводило до неточних або неповних креслень. Ці зауваження не відносяться до Ньютону або Лейбніцу .Правильне розрізнення знаків координат і застосування обох осей стало звичайною справою вже у XVIII ст .

Силу свого методу Декарт потім демонструє на запропонованої йому Я. Гоолем задаі Паппа про геометричні місця до 2n або 2n - 1 прямим , яке визначається так: дано 2n (або 2n - 1) прямих , потрібно знайти геометричне місце таких точок , щоб твір відрізків , наведених від них під даними кутами до n з цих прямих , знаходилося в даному відношенні до твору аналогічних відрізків . проведених до решти n (або n - 1) прямим. Древні знали , що при n= 2 геометричне місце є конічний перетин , але не залишили аналізу і цього випадку : випадок ж n > 2 залишився нерозглянутим . Якщо ми запишемо рівняння прямих у вигляді а_kх + b_kу + c_k = 0, то довжини прове дених до них відрізків d_k пропорційні лівим частинам цих рівнянь, і для нас звідси ясно , що рівняння це буде , взагалі кажучи , кривою порядку n. Декарт , отримавши вирази для d_k у вибраній ним косокутній координатної системі з геометричних міркувань , приходить до того ж загального результату . Більш докладно він розглянув випадки n = 2 і п = 3. Це насамперед місце до трьох чи чотирьох прямих , дослідження якого дає йому привід досліджувати рівняння другого порядку , дуже загального , хоча і не самого загального вигляду . Нехай дані прямі АВ , AD , EF і GH , причому кути , утворені з ними відрізками СВ , CD , CF і СH , проведеними з точки С шуканого геометричного места , що визначається умовою CB –( -CF) = CD - CH , відомі ( рис. 8). Декарт приймає одну з даних і одну з проведених ліній , саме АВ і ВС , за осі АВ = х , ВС = у і позначає дані довжини відрізків ЕА = k , AG = l . Даними є також кути трикутників на рис. 8 , а значить , відношення їх сторін

АВ : BR = z : b, CR : CD = z : с и т. д., где z, b, с, ...дані відрізки (Декарт не вводить синуси кутів). Після цього не потрібні відрізки выражаються через x, у, z, b, с, ..., k,l, лінійно відносно х и у:

 

CB = y, ,

а умова CB·CF = CD·CH виражається рівнянням другої степені без вільного члена, розвязок якого відносно у, після введення деяких скорочених позначок, дає

Однорідність отриманого рівняння пояснюється прийнятими для  відношень сторін виразами і, по суті, не була в очах Декарта обов'язковою), але представляла в даному випадку ту зручність, що в принципі дозволяла відразу будувати одні відрізки по інших

Спираючись на теореми I книжки «Конічних перетинів» Аполлонія, Декарт показує, що отримане рівняння належить конічному перетину, а в особливих випадках, коли радикал звертається в нуль або корінь отримується без остачі, виявляється прямою лінією: в самостійному вигляді рівняння прямої відсутнє і про «виродження» кривої другого порядку в пару прямих нічого не говориться. У ході аналізу з'ясовується, при яких знаках коефіцієнтів виходять парабола, гіпербола і еліпс, зокрема коло, і визначаються положення і форма конічного перетину - у разі параболи

вершина, діаметр і «пряма сторона», а в разі центральних  кривих-центр вершини, «пряма сто рона» і діаметри. Тут же Декарт розбирає числовий приклад, беручи ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так що рівняння є уу = 2у — ху + 5x — хх: крива при цьому виявляється колом. Загальний висновок свідчить, що до першого роду належать круг, парабола, гіпербола і еліпс. Пряма не згадується, - її приналежність до першого роду підкреслив Дебон, який розглянув так же випадок, коли в рівнянні немає членів з х² и у², но есть ху, оставленный Декартом в стороне.

Слідом за тим Декарт вивчає ще місце до п'яти прямих і спеціально випадок, в якому чотири прямі еквідістанти АВ, IH, ED, GF, а п'ята GA до них перпендикулярна (рис. 9), причому CF • CD • CH = СВ • СМ • а, де а - відстань між сусідніми еквідістантами. Тут з'являється перше в історії аналітичної геометрії рівняння кривої третього порядку. Позначивши СВ = у, СМ = х, Декарт знаходить

у³ — 2ay² — аау + 2а³ = аху,

тобто рівняння тризуба, и показує , що це крива CEG

«Пряма  сторона» - термін, висхідний до давнини, є відрізок, рівний нашому подвоєному параметру. Слово «параметр» (вимірюю) запропонував у цьому сенсі вживати друг Декарта Кл. Мідорж під «Введення в катоптрику і Діоптріка або працю про конічних перетинах» (Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631).

може бути , як він стверджував  раніше , описана перетином параболи CKN , діаметр якої KL = а рухається  по АВ , і лінійки GL , вра ¬ щающую навколо точки G і постійно проходить  через точку L . Він не випускає з  уваги , що шуканим місцем служить також крива NIo , описана перетином GL з іншою гілкою параболи ( HKN ) , можна взяти і зв'язані лінії cEGc и пI0, отримувані , якщо рухлива парабола звернена вершиною в інший бік. Креслення в « Геометрії» недосить чітко зображує другу частину тризуба , який складається з двох окремих ліній, що мають кожна - в термінології Ньютона - гіперболічну гілка з асимптотой АВ і параболічну гілку , яка асимптоти не має . Як і має бути , крива перетинає на кресленні горизонтальну вісь при значеннях у = - а , у = а , у = 2а , але точка перегину у частини , що лежить праворуч від асимптоти , не позначене .

Велике місце займають у «Геометрії » дослідження оптичних овалів , що розглядаються в біполярних координатах , і проведення нормалей . Друга книга твори завершується короткими зауваженнями про можливість поширення методу на про ¬ просторові криві допомогою проектування їх точок на дві вза ¬ імно перпендикулярні площини і заявою : «Я вважаю тепер , що нічого не пропустив з почав , необхідних для пізнання кривих ліній» .

Звичайно , в цих словах Декарта , як і в наведеній вище авторської оцінці « Введение» Ферма , було безсумнівну перебільшення. Але  дійсно-тельно , перед геометрією розкривалися небачено широкі перспективи . Історики науки чимало сперечалися про  те , чи була у Аполлонія аналіті -чна геометрія і чи було творчість  Ферма і Декарта у цій галузі новаторським . Відповідь залежить від визначення терміна « аналітична гео - метрія » , який , як зазначалося  в іншому зв'язку , розуміється по- різному. Безсумнівно , що обидва вчених надзвичайно багато чим зобов'язані  були древнім і що в саму теорію конічних перетинів вони не внесли якихось нових теорем , а також  не побудували її в чисто аналітичному плані. І разом з тим Декарт і Ферма закладали фундамент  воістину нової геометрії , хоча «  симптоми » Аполлонія і відповідали  буквеним рівнянням кривих другого  порядку .

Справа в тому , що , як правильно писав Г. Цейтен , « геометрична  форма , приданная методом древніх  самої алгебрі , була причиною численний  ¬ них комбінацій між коштами  і об'єктом геометричного дослід ¬ вання - комбінацій , які мали залишатися досить чуж ¬ дими аналітичної  геометрії , особливо оскільки остання  стре ¬ мілась перетворити геометричні  проблеми цілком в задачі обчис ¬  ня ». І до тих пір , поки засобом  дослідження залишалася геометри ¬  чна алгебра , синтетичне розгляд  неминуче перепліталося з аналітичним , а в очах деяких учених було принципово панівним . Ньютон , завершуючи свій висновок теореми про те , що місце до чотирьох прямим є конічний перетин , писав: «  Таке рішення , як наведене вище, тобто  виконуваний не за допомогою обчислення , але геометри ¬ ним побудовою , і вишукувалося древніми» . Тим  часом після Ферма і Декарта  і завдяки їм починає розвиватися  суто аналітичний ме ¬ тод дослідження  геометричних образів , в принципі не потребує зверненні до геометричних побудов і спирається лише на ал ¬ гебраіческое числення . Така загальна , ідейна сторона справи . До цього  слід додати , що нова алгебра давала кошти вивчення кривих будь-якого  порядку , перші приклади чого є вже  у Декарта ( таке застосування геометричній алгебри було неможливо) , що система  коор ¬ ДИНАТ ставала вільною  від зв'язку з тими чи іншими винятковими  точками і напрямами (наприклад , діаметром і вершиною конічного  перетину ) , що набували право на існування  негативні координати і т. д. Ми не говоримо вже про те , що в новій  геометрії вперше знайшло явне вираз  поняття про функції , заданої  формулою.

У світлі сказаного другорядне значення мають недоліки , при ¬  сущі аналітичної геометрії Декарта  і Ферма , що користувався до то ¬  му ж менш досконалою алгеброю Вієта , наприклад НЕ розробленість питання  про негативних координатах або  відсутність на більшості креслень другий осі , а також та обставина , що обидва вони обмежилися деякими  прикладами програми нового методу .

Сучасники сприйняли нову геометрію з ентузіазмом. Вже  в ла- тінскую виданнях « Геометрії» Декарта ми знаходимо окремі , заслу - жива згадки речі.

  В подвижной системе координат  ЕВ = у, LB = х' уравнение параболы CKN есть у² = а (a — х'), при этом х' = ху/(2а — х).