Аналітична геометрія Лобачевського

Ця залежність називається функцією Лобачевського:  
П (a) = 2 arctg ( ),  
де до - деяка константа, що визначає фіксований за величиною відрізок. Вона отримала назву радіусу кривизни простору Лобачевського. Подібно сферичної геометрії існує нескінченна безліч просторів Лобачевського, що розрізняються величиною к.

Дві різні прямі по площині утворюють пару одного з трьох типів.

Пересічні прямі. Відстань від точок одній прямій до іншої прямої необмежено збільшується при видаленні точки від перетину прямих. Якщо прямо не перпендикулярні, то кожна проектується ортогонально на іншу у відкритий відрізок кінцевої величини.

Паралельні прямі. На площині через дану точку проходить єдина пряма, паралельна даній прямій в заданому на останній напрямку. Паралель в точці Р зберігає в кожній своїй точці властивість бути паралеллю тій же прямій в тому ж напрямку. Паралелізм володіє взаємністю (якщо а | | b в певному напрямку, то й b | | а у відповідному напрямку) і транзитивності (якщо а | | b і з | | b в одному напрямку, то а | | з у відповідному напрямку). У напрямку паралельності паралельні необмежено зближуються, в протилежному напрямку - необмежено віддаляються (в сенсі відстані від перемещающейся точки одній прямій до іншої прямої). Ортогональна проекція однієї прямої на іншу є відкритою полупрямой.

Суперечать прямі. Вони мають один спільний перпендикуляр, відрізок якого дає мінімальну відстань. По обидві сторони від перпендикуляра прямі необмежено розходяться. Кожна пряма проектується на іншу у відкритий відрізок кінцевої величини.

Трьом типам прямих відповідають на площині три типи пучків прямих, кожен з яких покриває всю площину: пучок 1-го роду - безліч всіх прямих, що проходять через одну точку (центр пучка); пучок 2-го роду - безліч всіх прямих, перпендикулярних до однієї прямий (базі пучка); пучок 3-го роду - безліч всіх прямих, паралельних одній прямій в заданому напрямку, що включає і цю пряму.

Ортогональні траєкторії прямих цих пучків утворюють аналоги окружності евклідової площині: окружність у власному розумінні; еквідистанта, або лінія рівних відстаней (якщо не розглядати базу), яка увігнута у бік бази; гранична лінія, або орициклом, її можна розглядати як коло з нескінченно віддаленим центром . Граничні лінії конгруентний. Вони не замкнуті і увігнуті в сторону паралельності. Дві граничні лінії, породжені одним пучком, - концентричні (висікають на прямих пучка рівні відрізки).

Ставлення довжин концентричних дуг, укладених між двома прямими пучка, убуває в бік паралельності як показова функція відстані х між дугами:  
s '/ s = e .

Кожен з аналогів окружності може ковзати по самому собі, що породжує три типи однопараметричних рухів площині: обертання навколо власного центру; обертання навколо ідеального центру (одна траєкторія - база, решта - еквідістанти); обертання навколо нескінченно віддаленого центру (всі траєкторії - граничні лінії) .

Обертання аналогів кіл навколо прямої породжує пучка призводить до аналогів сфери: соб ственно сфері, поверхні рівних відстаней і орисфере, або граничної поверхні.

На сфері геометрія великих кіл - звичайна сферична геометрія; на поверхні рівних відстаней - геометрія еквідістанти, що є планіметрії Лобачевского, але з великим значенням до; на граничній поверхні - евклідова геометрія граничних ліній.

Зв'язок між довжинами дуг і хорд граничних ліній і евклідові тригонометричні співвідношення на граничній поверхні дозволяють вивести тригонометричні співвідношення на площині, тобто тригонометричні формули для прямолінійних трикутників.

2.2. Несуперечність  геометрії Лобачевского.

Вивівши вже у своїй першій роботі "Про начала геометрії" формули тригонометрії своєї нової системи, Лобачевский помітив, що "ці рівняння переменяются в . (рівняння) сферичній Тригонометрії, як скоро замість боків а, b, c ставимо в а - 1, b - 1, з - 1, але в звичайній Геометрії і сферичній Тригонометрії скрізь входить один зміст( тобто стосунки ) ліній : отже, звичайна Геометрія, Тригонометрія і ця нова геометрія завжди будуть погоджені між собою". Це означає, що якщо ми запишемо теорему косинусів, теорему синусів і подвійну теорему косинусів сферичної тригонометрії для сфери радіусу r у виді

sinA sinB sinC,

sin(a/r) sin(b/r) sin(c/r)

cos(a/r)=cos(b/r)*cos(c/r)+sin(b/r)*sin(c/r)*cosA,

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos(a/r),

це формули тригонометрії Лобачевского можна записати в тому ж вигляді, замінивши сторони а, b, c трикутника добутками ai, bi, ci; оскільки множення сторін а, b, c на i рівносильно множенню на i радіусу сфери, то, вважаючи r=qi і скориставшись відомими співвідношеннями

cos(ix) = ch x, sin(ix) = i sh x,

ми можемо переписати відповідні формули тригонометрії Лобачевского у виді

ch(a/q)=ch(b/q)*ch(c/q)-sh(b/q)*sh(c/q)*cosA,

sinA sinB sinC,

sh(a/q) sh(b/q) sh(c/q)

cosA = -cosBcosC + sinBsinCcos(a/q).

Сам Лобачевский користувався не функціями ch x і sh x, а комбінаціями введеної ним функції П(х) з тригонометричними функціями; постійна q в цих формулах - та ж, що і у формулах(1) і(2).

Фактично Лобачевский довів несуперечність своєї системи тим, що ввів як на площині, так і в просторі координати і таким чином побудував арифметичну модель площини і простору Лобачевского.

Проте сам Лобачевский бачив свідоцтво несуперечність відкритої ним геометрії у вказаному зв'язку формул його тригонометрії з формулами сферичної тригонометрії. Це виведення Лобачевского неправомірне. У своїх мемуарах він довів, що формули сферичної тригонометрії витікають з його геометрії, між тим, щоб стверджувати, що з несуперечності тригонометричних формул витікає несуперечність геометрії Лобачевского, потрібно було довести, що усі пропозиції останньою можна вивести з її тригонометричних формул і "абсолютної геометрії" - пропозицій, не залежних від п'ятого постулату. Лобачевский спробував провести такий доказ, але в його міркування вкралася помилка.

2.3. Аксіома Лобачевского . Паралельні прямі по Лобачевскому.

1.Геометрія Лобачевского(чи гіперболічна геометрія) основана на аксіомах груп I - IV абсолютної геометрії і на наступній аксіомі Лобачевского.

V*. Нехай а - довільна пряма, а A - точка, що не лежить на цій  прямій. Тоді в площині, визначуваній  точкою А і прямій а, існує  не менше двох прямих, що проходять  через точку А і що не  перетинають пряму а.

 

рис 1                                              рис 2

З аксіоми V* безпосередньо виходить, що якщо дані довільна пряма а і точка А, що не лежить на ній, то існує нескінченна безліч прямих, що проходять через точку А і що не перетинають пряму а.  Насправді, по аксіомі V* існують дві прямі, які позначимо через b і з, проходять через точку А і що не перетинають пряму а(мал. 1). Прямі b і з  утворюють дві пари вертикальних кутів, які на малюнку 2 позначені цифрами 1, 2 і 3, 4. Пряма а не перетинає прямі b і з, тому усі її точки належать внутрішній області одного з чотирьох кутів 1, 2, 3, 4, наприклад внутрішній області кута 1. Тоді, очевидно, будь-яка пряма, що проходить через точку А і що лежить усередині вертикальних кутів 3 і 4, не перетинає пряму а(наприклад, прямі L і d на мал. 1).

Умовимося вважати, що усі прямі, що розглядаються нами, є спрямованими прямими. Тому ми їх позначатимемо двома буквами, наприклад UV, вважаючи, що точка U передує точці V. Передбачається також, що точки U і V вибрані так, що точки, що розглядаються нами, на цій прямій лежать між точками U і V.

2.Введемо наступне визначення. Пряма АВ називається параллельной  прямої CD, якщо ці прямі не мають  загальних точок і, які б не  були точки Р і Q, що лежать  відповідно на прямих АВ і CD, будь-який внутрішній луч1 кута QPB перетинає промінь QD(мал. 2). Якщо  пряма АВ паралельна прямій CD, то пишуть так: AB||CD.

Має місце наступна ознака паралельності прямих.

Теорема 1. Якщо прямі АВ і CD не мають загальних точок і існують точки Р і Q, такі, що Р   АВ і Q   CD, і будь-який внутрішній промінь кута QPB перетинає промінь QD, то AB||CD.

Для доведення теореми досить встановити, що, які б  не були точки Р' і Q', лежать відповідно на прямих АВ і CD, будь-який внутрішній промінь h кута Q'P'B перетинає промінь Q'D. Можливі три випадки: точка Р' співпадає з точкою Р; б) точка Р' належить променю РА; в) точка Р' належить променю РВ.

Розглянемо перші два випадки

а)Точка Р' співпадає з точкою Р. Якщо Q' – точка світивши QC, то  Q'P'B є об'єднанням кутів Q'PQ і QPB, пій цьому промінь h або лежить усередині кута Q'P'Q, або співпадає з променем PQ, або лежить усередині кута QPB(мал. 3 а). У першому і в другому випадках промінь h перетинає відрізок Q'Q, тому перетинає і промінь Q'Q. У третьому випадку промінь h по умові теореми перетинає промінь QD і, отже, промінь Q'D.

Якщо Q' - точка променя QD, то кут Q'P'B є частиною кута QPB(мал. 3, б). Тому промінь h є внутрішнім променем кута QPB і по умові теореми перетинає промінь QD. Точка перетину є точкою променя Q'D, оскільки h не проходить усередині кута QPQ' і тому не перетинає відрізок QQ'.

б)Точка Р' належить променю РА. Промінь h лежить усередині кута Q'P'P, тому h перетинає відрізок PQ' в деякій точці М(мал. 4).

Відкладемо від променя РВ в напівплощину, містячу пряму CD, кут ВРМ', рівний куту РР'М. Оскільки  BPQ' - зовнішній кут трикутника PP'Q', те  PP'Q'<  LBPQ', тому  РР'М <  BPQ'. Звідси витікає, що РМ' - внутрішній промінь кута BPQ'. Отже, по доведеному(див. випадок а)  ) цей промінь перетинає промінь Q'D в деякій точці M(мал. 4). Пряма Р'М перетинає сторону PQ' трикутника PQ'M і не перетинає сторону РМ(оскільки  ВРМ1 =  BP'M), тому по аксіомі Паша пряма Р'М перетинає відрізок Q 'М 1. Таким чином, промінь h перетинає промінь Q'D.

Рис 3 а                                                              Рис.3 б

Рис 3 а                                                              Рис.3 б

 

                                                                       Рис. 4   

                                                                       Рис. 4   

2.4. Теорема про  існування паралельних прямих. 

Теорема 2. Нехай АВ - довільна спрямована пряма, а М - точка, що не лежить на ній. Тоді в площині МАВ існує одна і тільки одна пряма CD, що проходить через точку М і паралельна прямій АВ, т. е. CD||AB.                          

рис 5  .                                                   рис 6.

2. Розглянемо перпендикуляр MN, проведений з точки М до  прямої АВ, і пряму MP, перпендикулярну  до прямої MN(мал. 5). Ми припускаємо, що точки Р і В лежать  по одну сторону від прямої MN. По лемі 1 прямі MP і NB не перетинаються.

Точки відрізку NP розіб'ємо на два класи К1 і К2  за наступним законом. До першого класу віднесемо ті точки X цього відрізку, які задовольняють умові: промінь MX перетинає промінь NB, а до другого класу - усі інші точки відрізку NP. Доведемо, що вказане розбиття задовольняє умовам а) і б) пропозиції Дедекинда.

а)Очевидно, NК1 і РК2. Клас К1 містить точки, відмінні від N, наприклад, точки X перетину променя МХ1 з відрізком NP, де Х1 - довільна точка променя NB(мал. 5). Клас K2 містить точки, відмінні від Р. Насправді, по аксіомі V* існує пряма MS1, відмінна від прямої MP і неперетинаюча пряму АВ.

Пряма MS2, симетрична прямій MS1 відносно прямої MN, також не перетинає пряму АВ(мал. 5). Одна з прямих MS1 або MS2 проходить усередині кута NMP, тому перетинає відрізок NP в деякій точці Y, що належить класу К2.

б)Нехай X - довільна точка класу К1, відмінна від N, а Y - точка другого класу. Тоді  N - X - У, оскільки інакше маємо N - Y - X, що означає, що промінь MY - внутрішній промінь кута NMX. Звідси витікає, що промінь MY перетинає відрізок NХ1  тобто. У   К1.

Итак, на безлічі точок відрізку NP маємо Дедекіндовім сечении. Нехай точка D робить цей переріз. Доведемо, що D К2. Припустимо осоружне: DК1 . Тоді промінь MD перетинає промінь NB в деякій точці D1(мал. 6).