Анықталмаған және анықталған интегралдар, олардың қасиеті

КІРІСПЕ

 

Интеграл ұғымының тарихи квадратураларды табу есептерімен аса тығыз байланысты. Қандай да болмасын жазық фигураның квадратурасы туралы есептер деп Ежелгі Греция мен Римнің математиктері қазір өзіміз аудандарды есептеп шығаруға берілген есептерге жатқызып жүрген есептерді айтқан. Латын сөзі guadratura деген квадрат пішінге келтіру деп аударылады. Ал осындай арнаулы терминдердің қажеттігі өзімізге қазір үйреншікті нақты сандар жайлы ұғымның сонау көне заманда(кейініректе XVIII ғасырға дейін) жеткілікті дамытылғанмен түсіндіріледі. Сондықтан аудандарды табуға берілген есептерді былайша тұжырымдауға тура келеді, мысалы: «Берілген дөңгелекпен тең шамалас квадратты салу керек». Мұнда «дөңгелектің квадратурасы туралы» құнды есеп циркуль мен сызғыштың көмегімен шығарылмайтыны белгілі.

Интеграл символын Лейбниц (1675ж.) енгізген. Бұл белгі латынның әрпінің (summa сөзінің бірінші әрпі) өзгерген түрі. Интеграл деген сөздің өзін Я.Бернулли (1690ж.) ойлап шығарған. Шамасы оның шығу тегі латынның integro сөзіне саятын болар, оның мағынасы: бұрыңғы қалпына түсіру, орнына келтіру. Интеграл терминінің шығу тегі өзге болуы дамүмкін: integer деген сөз бүтін дегенді білдіреді. И.Бернулли мен Г.Лейбниц хат-хабар алыса жүріп, Я.Бернуллидің ұсынысымен келіскен болатын. Сол 1696 жылы математиканың жаңа тармағының атауы интегралдық есептеу (calculus integralis) пайда болды, мұны И.Бернулли енгізді.

Қос интегралды алғаш рет Эйлер өзінің 1769 жылы Петербург академиясына баяндаған жұмысына енгізген болатын. Ең әуелі ол өзінше анықталмаған қос интегралды және функциясы деп қарастырады. Егер осы функцияны біртіндеп осы айнымалылар бойынша әуелі бір ретпен, кейін екінші ретпен дифференциалдаса, өрнегіне келтіретін болу керек. Сонымен, осы қос интеграл қайталанған мына екі және интегралмен   теңбе-тең түседі және оның жалпы өрнегіне қосылғыш ретінде -тің ғана, сондай-ақ  -тің ғана қалауымызша алынған функциясы енеді. Содан кейін, дененің бетін және көлемін есептеу жөніндегі есептерге байланысты, Эйлер анықталған қос интегралды енгізеді. Мұны ол әрі өзінің элементтерінің қосындысы деп және де әйтеуір бір типті қайталанған интеграл деп қарастырады.

Қазіргі таңда қос интеграл геометрия мен физикадағы есептерде дененің көлемін есептеп шығару, координат дененің ауырлық центрін анықтау, инерция моментін есептеу, пластинаның массасын есептеу т.б. есептер шығаруда кеңінен қолданылады. Кейбір (Р) фигурасының бойынан үздіксіз жазық бетпен орналасқан массаларына байланысты әрі облыстың аддитивті функциялары болып табылатын барлық геометриялық және механикалық шамаларда принципиалды түрде сол фигурада алынған қос интеграл өрнектеледі. Қос интеграл геометриялық тұрғыдан дене көлемін кескіндейді. Цилиндрлік бетпен шенелген қисықсызықты цилиндрдің көлемі

 

формуласымен анықталады. жазықтығында жатқан шенелген D аймағының ауданын

 

анықтайды. Инерция моментін есептеп шығару үшін мына формула қолданылады: 

Интегралдық есептеуді дамыту барысында еңбектерімен үлес қосқан орыс математиктері М.В.Остраградский, В.Я.Буняковский, П.Л.Чебычев, А.Я.Хинчин, көрнекті неміс математигі Б.Риман, француз математиктері Г.Дарбу, А.Лебег, А.Даржуа болған.

Курстық жұмыстың мақсаты: Еселі интегралдар ұғымдарымен таныстырып, оларды есептеуде формулалар қолданудың маңызын түсіндіріп, оларға мысалдар келтіру.

Курстық жұмыстың міндеті: Осы қойылған мақсатқа жету үшін Фурье қатары туралы толық анықтама беріп, кейбір қолданысына тоқталып,  мәнін ашу керек.

Курстық жұмыстың зерттеу обьектісі: Фурье қатары

Курстық жұмыстың зерттеу пәні: Математикалық талдау

Курстық жұмыстың зерттеу әдісі: Индукция, дедукция, бақылау, эксперимент.

Курстық жұмыстың өзектілігі: Бүгінгі таңда еселі интегралдарды геометрия мен физикада, сфералық және цилиндрлік координаталарда есептер шығаруда таптырмас бірден-бір ұғым.

Курстық жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс кіріспеден, 2 тараудан, қорытындыдан, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                               І. ИНТЕГРАЛДАР  ТУРАЛЫ  ТҮСІНІК

 

1. Анықталмаған және анықталған интегралдар, олардың  қасиеті

 

Анықталмаған интеграл. Айталық , ƒ және F функциялары қандай бір шекті немесе шексіз Х1 сан аралығында анықталған функциялар болсын.

Анықтама. Егер бір Х аралықтың әрбір нүктесінде F(х) функциясы үшін

 

                                  немесе                              (1.1)

 

теңдігі орындалса, онда  F(х) функциясы осы аралықта үшін алғашқы функция деп аталады.

 

Мысалдар. 1. функция сандар өсінде функциясының алғашқы бейнесі болады. Расында да, үшін теңдігі орындалады.

2. функция (-3,3) интервалда , функцияның алғашқы бейнесі. Шынында да,

Сонымен, берілген функциясының - алғашқы бейнесін табу амалын интегралдау амалы дейміз, демек, интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал болып табылады.                                 

Теорема. Егер Х аралығындағы функциясы функциясының алғашқы бейнесі болып табылса, онда                    

                                                                                                             (1.2)

Функциясы да, мұндағы С – кез-келген тұрақты сан, сол Х аралығында ƒ функциясының алғашқы бейнесі болып табылады, керісінше де, қарастырылып отырған Х аралығында функциясының кез-келген алғашқы Ф бейнесі (1.2) формуламен өрнектеледі.                                    

Анықтама. Егер функция [a,b] сегментте берілген функцияның алғашқы бейнесі (функциясы) болса, онда функция функцияның [a,b] сегменттегі анықталмаған интегралы деп аталады және ол былай белгіленеді:

                                          ,                                               (1.3)

мұндағы ʃ - интеграл белгісі, х – интегралдау айнымалы, - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек деп аталады және ол «интеграл эф икс дэ икс бойынша» деп оқылады, – өрнегі интеграл астындағы функцияны  x айнымалы арқылы интегралдау керек екендігін білдіреді. 

 

Интеграл астындағы функцияның анықталмаған интегралын табу амалын қысқаша интегралдау амалы дейміз. Сонымен, жоғарыда айтылғандай интегралдау амалы дифференциялдау амалына кері амал болып табылады.

Осы анықтамадан, егер функция функцияның [a,b] сегментінде алғашқы бейнесі бар болса, онда интеграл астындағы өрнек кез-келген алғашқы  бейнесінің дифференциалына тең. Расында да, онда функция функцияның [a,b] сегментіндегі алғашқы бейнесі болсын. Онда барлық үшін

                                                        

теңдігі орындалады. Осында                           

 

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

    1°Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға, ал дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады.

                                                      (1.4)

 

    2°Дифференциалдың анықталмаған интегралы дифференциалданған функция мен кез-келген тұрақтының қосындысына тең, яғни

                                                                                          (1.5)

 

      Олай болса,

    3°Тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға да, интеграл белгісінің астына алып баруға да болады.

        Демек k-тұрақты, теңдіктің екі жағын жеке-жеке алып дифференциалдасақ

            (1.6)

Яғни, теңдігі дұрыс.

    4° Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни

                                                       (1.7)

    5° Егер функциясы үшін алғашқы функция болса, (яғни    , онда

                                                                     (1.8)

            Дәлелдеу.                       

 

Анықталған интегралды есептегенде егер болса, онда оны төмендегі формулалармен есептейді:  

1.                                                                    (1.9)
2.                                                         (1.10)
3. .                                                 (1.11)                      

 

 

Төмендегі интегралдар анықталмаған интегралдың кестесі деп аталады. Берілген функцияның интегралын табу немесе интегралдау үшін алдымен интеграл астындағы функцияны өрнектеп, түрлендіріп және интегралдау әдістерін қолданып, интеграл кестесінің біріне келтіруіміз керек. Содан соң осы кестені пайдаланып, берілген функцияның алғашқы бейнесін табамыз. Демек, төменгі анықталмаған интегралдың кестесін білу өте қажет. Біз төменде элементар функциялардың интеграл кестесін келтіреміз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       

 

 

 Анықталған интеграл. Бізге [a,b] сегментінде анықталған оң таңбалы функциясы берілсін. Бұл функцияның графигі 1-суретте бейнеленген. Сонда қисық сызығымен, OX-осімен және x=a, x=b түрлерімен қоршалған фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды. Енді осы қисық сызықты трапецияның ауданын табайық. Осы мақсатпен [a,b] сегментін мына нүктелермен

 

                                    

1-сурет.

     п-бөлікке бөлейік те, осы нүктелерден АВ қисығына қарай перпендикулярлар тұрғызайық. Сонда АВСD  фигурасы п-вертикаль жолақтан тұратын болады. Әрбір жолақты шамамен табаны биіктігі -ке тең тікбұрышты төртбұрыш деп қарауға болады. Осындай төртбұрыштың ауданы болғандықтан, барлық сатылы фигураның ауданы          -ге тең, немесе               

 

болады. Бұл қосындыны  [a,b] аралығында функциясы үшін жазылған интегралдық қосынды деп атайды.

Егер [a,b] аралығын басқаша бөліктерге бөлсек және нүктелерін басқаша таңдасақ, онда осындай қосындының шексіз түрін жазуға болатыны өзінен-өзі түсікті.

 
тиянақты шегі бар болса және бәрі бірдей болса, онда сол шек жоғарыдағы қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады, яғни

 

Осы сияқты, енді физикадан айнымалы күштің атқаратын жұмысын табу есебін қарастырайық. Материалдық нүкте ОХ – осі бойынша бағытталған F=F(x) күшінің әсерінен a-дан b-ға дейін қозғалатын болсын. Сонда, жұмсалған А жұмысын табу үшін [a,b] кесіндісін бөліктерге бөлеміз. Енді аралығынан кез-келген бір ξi нүктесін алып

 

 

шегі бар болса, онда  А санын айнымалы күштің жұмысы деп атайды.

Анықтама. [a,b] aрaлығындa функциясы берілсін.

   a)  [a,b] кесіндісін кез-келген нүктелерімен бөліктерге бөлеміз (оны k-бөліктеуі деп aтaйық).

   б)  Әрбір бөліктен кез-келген нүктелерін aлып функциясының k-бөліктеуіне сәйкес интегрaлдық қосынды деп aтaлaтын

 

 қосындыны құрaмыз.

 

 

 

тaбaмыз.

Егер оның тиянaқты шегі бaр болсa, ондa оны функциясының [a,b] кесіндісіндегі aнықтaлғaн интегрaлы деп aтaлaды және былaй белгіленеді:

 

a және b сaндaры aнықтaлғaн интегрaлдың сәйкес төменгі және жоғaрғы шегі деп aтaлaды.

Aнықтaлғaн интегрaлдың aнықтaмaсын үзіліссіз функциялaр үшін фрaнцуз мaтемaтигі Коши, aл жaлпы жaғдaй үшін неміс мaтемaтигі Б.Ф.Римaн (1826-1866) енгізген.

Сондықтaн, (1.15)-тегі интегрaлды Римaн интегрaлы, aл сондaғы функциясын Римaн мaғынaсындa интегрaлдaнaтын функция деп aтaйды.

Осыдaн, үзіліссіз функция әрқaшaндa интегрaлдaнaтын функция болaды. (1.13),(1.14),(1.15) теңдіктерінен келесі қорытынды жaсaуғa болaды:

Кейбір жaғдaйлaрдa, осы ұғымдaр aнықтaлғaн интегрaлдың геометриялық және физикaлық мaғынaсы деп беріледі.

Енді жоғaрыдa берілген aнықтaлғaн интегрaлдың aнықтaмaсынaн шығaтын мынaндaй қaсиеттерді келтірейік:

 

 

 

 

 

Aнықтaлғaн интегрaлдың қaсиеттері:

Aйтaлық, функциясы [a,b] кесіндісінде интегрaлдaнaтын болсын және

 

    1°

  Дәлелдеу.

 

    2° 

    3° Егер [a,b] aралығындa  болсa,ондa

    4° Егер [a,b] aралығындa  болсa, ондa  

    5° 

    6°  Егер m және M функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндері болсa, ондa

           Дәлелдеу. Берілген шaрт бойыншa кез-келген үшін

Ондa, 4 қaсиетті пaйдaлaнғaндa

болaды , осыдaн жоғaрыдaғы теңсіздіктің орындaлaтынын көреміз.

    7°(ортaшa мән турaлы теоремa ). Егер функциясы [a,b] aрaлығындa үзіліссіз болсa, ондa осы aрaлықтa с-нүктесі тaбылып, мынaдaй теңдік орындaлaды: