Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

    Факультет дистанционного образования

    Томский государственный  университет 

    систем  управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

    Кафедра (АОИ) 
 
 
 

    Контрольная работа № 4

по дисциплине «Высшая математика»

учебное пособие Л.И Магазинников,А.Л Магазинникова

«Введение в математический анализ.Дифференциальное исчисление.» 

    Вариант№4.4 
 
 
 

    Выполнил:

    студент ФДО ТУСУР

    гр.: з-479-б

    специальности 80504 

    Пахомова  Ю.А

    25 июня 2010г 

    . 
 
 
 
 

    г. Абакан

    2010

 

1. Найти производные  от данных функций:

а) (184) y′(0.01);

 б) y=2^xe^-x+x, (T04)y^′(0);

 в) , (CT4)y’(0).

  Решение:

 

 

 

б) y=2^xe^-x+x   

 

y^’(0)=ln2-1+1=ln2

в)

 

Ответ : а)-9000; б) ln2; в) 1. 

2. Дана функция  Найти Вычислить (e).

Решение

Ответ:

3. Дана функция 

Найдите и Вычислите (ПС4.РП) и (904.РП)  

=

4. Доказать, что функция  z = cos(xy) удовлетворяет уравнению

  Решение 

Z = cos (xy) , =-xsin(xy)

что и требовалось  доказать.

5. Дана функция 

Найдите

Вычислите (654) В ответ введите сумму элементов матрицы =

=

=

 

Ответ: 0 

6. Дана функция  .

 Найдите:

а) (994.РП) координаты вектора grad u в точке М

б) (2А4) в точке М в направлении вектора a{1,-2,2}.

Решение

а) grad u=

grad u/M =

б)

Ответ: grad u в точке M = ;     .

7. Найти  , если    (2СА).

Вычислить , если

Решение

Ответ:    .

8. Функция z=z(x,y) задана неявно уравнением

Вычислите :

а) (654)

б)  (26Б)

Решение:

    

Ответ: а) ; б) . 

9. К графику функций  в точке с абсциссой х = 1, проведена касательная. (88А). Найти ординату точки графика касательной, абсцисса которой равна 31.

Решение

Уравнение касательной  имеет вид

, где  

 Следовательно, 

При x = 31 имеем 31-2y+1=0,

2y=32,

y=16.

Ответ : y=16.

10. Найти dy, если . (0С4.ДЛ) Вычислить значение dy, если х = 2,

Решение

,

Ответ: 1.024 

11. Дана функция  и точки и Вычислите (Т94.ДЛ) и (Р31.ДЛ) dz при переходе из точки в точку (ответы округлить до сотых).

Решение :  dx=2,02-2=0,02

dy=2,97-3=-0,03

(y-константа)

(x-константа)

dz(M₀)=

Ответ: ; dz=0,29

12. Дана функция  . Найти ее (С74) наибольшее и (ССА) наименьшее значения на отрезке [-3,3] .

Решение:

Находим производную:

x² – 2x – 3 = 0

.

Находим значения функции на концах отрезка [-3; 3]

Находим f(-3) = 1,2

y_наиб.=f(3)=3;    y_наим.=f(-1)=1

Ответ:  y_наиб.=3;    y_наим.=f(-1)=1. 

13. Дана функция   z = x²  +2xy- y² - 4x. Найти ее (454) наибольшее и (8С4) наименьшее значение на замкнутом множестве, ограниченном прямыми y =x + 1, y = 0, x = 3.

Решение:

  

  x=1; y=1

(1;1)- подозрительная  на экстримум

       

AC-B² >0

-2*2 - 4 < 0 - экстремума нет 

Найдем наибольшее и наименьшее значения  на заданных областях

y = 0

z = x² – 4x

x =2

z(2;0) = - 4

x = 3

z = 9+ 2*3y – y² – 4*3 = 6y – y² - 3

y =3

z(3;3) = 6     на границах (в вершинах)

y = x+1

z = x²+ 2x(x+1) – (x+1)² – 4x = 2x²-4x-1

x =1   y=2

z(1;2) = - 3

Ответ:

z(2;0) = -4  min

z(3;3) = 6  max

14.Провести  полное исследование  функции  и начертить ее график.

Решение: 

1.Область определения и область значения функции.

x² <> 0

x<>∞

2.Четность или нечетность функции

-функция общего вида

3.Периодичность

2х-1 = 0

x=1/2- функция  не периодическая

4.Исследование функции на непрерывность,

х=0 - точка разрыва  второго рода  (не устранимая)

х=0 - вертикальная асимптота

5.Наклонные асимптоты.

y= 0 - горизонтальная  асимптота

6.Участки монотонности функции, точки экстремума.

Участки монотонности

y' > 0                       y'<0

x-1>0; x³<0             x-1>0; x³>0

x-1<0; x³>0             x-1<1; x³<0

1) x>0             1) x>1; x>0

2) x<0             2) x<1; x<0

(-∞;0) ; (0;1) ; (1;∞) – участки монотонности

Экстремум

y' = 0

х=1

U - функция убывает, y’ < 0

_- функция возрастает, y’ > 0

х=1 -точка максимума    ;  y(1)=1

7.Точки перегиба, участки выпуклости

y'' = 0

 

х = 3/2

U - выпуклость (y''<0)

- вогнутость (y'>0)

y(3/2)= 0,889

8.Значения ф-ии в характерных точках.

y=0

x = 1/2 

9.Построим график.