Векторная алгебра

     Контрольная работа №1 

Элементы  векторной алгебры  и аналитической  геометрии.

Комплексные числа

5. Даны векторы , и . Найдите :

а) скалярное  произведение векторов ;

б) векторное  произведение векторов ;

в) смешанное  произведение векторов ;

г) проекцию вектора  на вектор ;

д) площадь  треугольника, построенного на векторах , ;

       е) объем пирамиды, построенной на векторах , , .

,     ,     ,     A(0; 22; 1),     B(1; 2; 21).

Решение:

а) скалярное  произведение векторов :

б) векторное  произведение векторов :

в) смешанное  произведение векторов :

г) проекцию вектора  на вектор :

д) площадь  треугольника, построенного на векторах , :

       е) объем пирамиды, построенной на векторах , , :

         

15. Заданы координаты вершин пирамиды ABCD.

 1. Составьте:

а)  уравнение  плоскости, проходящей через точки А, В, С;

б)  уравнение  прямой, проходящей через точки А, В;

в)  уравнение  прямой, проходящей через точку D, перпендикулярно плоскости (АВС).

2. Найдите:

а)  длину  ребра АВ;

б)  угол между ребрами АВ и АD;

             в)  угол между  ребром AD и гранью ABC.

A(10; 6; 6), B(22; 8; 2),  C(6; 8; 9), D(7; 10; 3).

Решение:

а)  уравнение  плоскости, проходящей через точки А, В, С:

     Если  точки А(x₁; y₁; z₁), В(x₂; y₂; z₂), С(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

     Уравнение плоскости ABC 

     (x-10)(2 • 3-2 • (-4)) - (y-6)(12 • 3-(-4) • (-4)) + (z-6)(12 • 2-(-4) • 2) = 14x - 20y + 32z + 212 = 0

     14x - 20y + 32z + 212 = 0 – уравнение плоскости АВС. 

б)  уравнение  прямой, проходящей через точки А, В:

     Прямая, проходящая через точки А(x₁; y₁; z₁) и В(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями: 

     Уравнение прямой AB 
 

         в)  уравнение прямой, проходящей через  точку D, перпендикулярно плоскости (АВС):

     Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
 
 

а)  длину  ребра АВ:

AB(12;2;-4) 
 

б)  угол между ребрами АВ и АD:

     AB(12;2;-4) 

     AD(-3;4;-3) 

     Угол  между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 

     где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

     Найдем  угол между ребрами AB и AC 
 
 

в)  угол между  ребром AD и гранью ABC.

Синус угла между  прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле 
 
 
 

35. Постройте кривые второго порядка:

а)

     Данная крива является параболой с вершиной в точке (2,0). Ее график содержит только положительную ветку .

б) .

Данная кривая является эллипсом. Найдем ее каноническое уравнение, разделим на 32 обе части:

 

Центр - ;   ,    

 

55. Задано комплексное число .

a)  Запишите число z  в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

б)  Найдите  все корни уравнения  .

     Решение:

       

        – алгебраическая форма записи числа. 
 

        – тригонометрическая форма комплексного числа.

1. Решим уравнение вида .

 
 

     

. 

Если  , то  . 

Если  , то . 
 

Контрольная работа № 2 

Элементы  линейной алгебры. Введение в математический анализ 

65. Решите систему линейных уравнений:

1. методом Гаусса,

  б) средствами матричного исчисления,

  в)  по формулам Крамера.

Решение:

а) решим систему  методом Гаусса:

        Используя первое уравнение, исключим вначале  из второго и третьего уравнений. Для этого сложим первое  уравнение со вторым,  умноженным на -3. Затем второе уравнение сложим с третьим уравнением, умноженным на -2.

        Получим

        

     Исключим  из третьего уравнения  , складывая второе уравнение с третьим:

     

        Теперь последовательно  находим  и :

             ,     ,     ;   

         ,     ,     . 

        Ответ:     ,   ,   . 
 

    б) Решим систему средствами матричного исчисления: 
 
 
 
 

        Ответ:     ,   ,   . 

    в)  Решим систему по формулам Крамера: 
 
 

, ,  
 
 

        Ответ:     ,   ,   . 

     75. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей A.

        

        Решение:

Пусть даны

, .

     Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования,  заданного матрицей А, если 

     

, 

где – собственное значение, находящееся из характеристического уравнения

     

,

     или

     

. 

     Найдем  определитель: 

Получаем  корни уравнение

     Для каждого значения найдем свой собственный  вектор: 

     

     Если  , тогда имеем ОСЛУ, решим ее методом Гаусса:

       
 
 

     

     Если  , тогда имеем ОСЛУ, решим ее методом Гаусса:

       
 

     95. Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

     _а) , 

     _б)  
 

Контрольная работа №3 

Производная функции и её приложения 

125. Найдите производные данных функций. В пункте д) функция y=f(x) задана параметрически формулами x=x(t), y=y(t).

     

       

       
 

       
 

     

       

       
 
 
 

 

 

  
 

145. Вычислите предел, используя правило Лопиталя. 

 
 
 
 
 
 

155. Провести полное исследование функции и построить её график.

 

Область определения  вся числовая прямая.

Функция не четная ни не четная, непериодическая.

С осью Оу функция пересекается в точке (0; -1)

С осью Ох пересекается в точке (0,58; 0)

Следовательно, интервалы знакопостоянства функции:

           

     Вертикальных  и горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как она непрерывна на всей числовой прямой.

       

, при . Это критическая точка. 

 

При функция достигает минимума, .

;

  при  . 

-2

 

        Точка x = -2 является точкой перегиба, так как производная второго порядка меняет знак в этой точке; при xÎ(-¥; -2) график является выпуклым, а на интервале (-2; +¥) – вогнутым. 

Построим график функции

 
 

     Контрольная работа №5

Функции нескольких переменных 

235.  Найти экстремумы функции.

Решение: